近世代數(shù)理論基礎36：分圓域

分圓域

設p為素數(shù), $\zeta=\zeta_p=e^{2\pi i/p}$ , $\zeta$ 是 $\Q$ 上的不可約多項式 $f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1$ 的根,域 $\Q(\zeta)$ 稱為 $\Q$ 上的p次分圓域,是 $\Q$ 上的伽羅瓦擴域

注： $1,\zeta,\zeta^2,\cdots,\zeta^{p-1}$ 將單位圓p等分

例：

1.設p為素數(shù),p次本原單位根 $\zeta_p=e^{2\pi/p}$ 在 $\Q$ 上的極小多項式為 $f(x)={x^p-1\over x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1$

$G=Gal(\Q(\zeta)/\Q)$ 是由相對 $\Q$ 的自同構(gòu) $\sigma(=\sigma_g)$ 生成的p-1階循環(huán)群,其中g(shù)是模p的一個原根, $\sigma(\zeta)=\zeta^g$

$G$ 的任一子群形如 $(\sigma^e)$ (由 $\sigma^e$ 生成的循環(huán)子群),其中e是p-1的因子,記 $p-1=ef$

確定子群 $H_e=(\sigma^e)$ 的固定子域,即 $\sigma^e$ 在 $\Q(\zeta)$ 中的固定子域

先證 $\zeta,\zeta^2,\cdots,\cdots,\zeta^{p-1}$ 是域 $\Q(\zeta)$ 在 $\Q$ 上的一組基

僅需證它們在 $\Q$ 上線性無關

若 $a_1\zeta+a_2\zeta^2+\cdots+a_{p-1}\zeta^{p-1}=0,a_i\in \Q$

則 $a_1+a_2\zeta+\cdots+a_{p-1}\zeta^{p-2}=0$

由 $\zeta$ 在 $\Q$ 上的極小多項式 $f(x)$ 的次數(shù)為p-1

故 $a_1=a_2=\cdots=a_{p-1}=0$

$\zeta,\zeta^2,\cdots,\zeta^{p-1}$ 是一組基

g是模p的原根,故 $\zeta,\zeta^g,\zeta^{g^2},\cdots,\zeta^{g^{p-2}}$ 是 $\zeta,\zeta^2,\cdots,\zeta^{p-1}$ 的一個置換

故它們也是一組基

令 $\zeta_v=\zeta^{g^v},0\le v\lt p-1$

易知 $\sigma(\zeta_v)=\sigma(\zeta^{g^v})=(\zeta^{g^v})^g=\zeta^{g^{v+1}}=\zeta_{v+1}$

設 $\alpha=a_0\zeta_0+a_1\zeta_1+\cdots+z_{p-2}\zeta_{p-2}?$ 是 $\sigma^e?$ 的固定元

即 $\alpha=\sigma^e(\alpha)=a_0\zeta_e+a_1\zeta_{e+1}+\cdots+a_{p-1}\zeta_{e+p-2}$

下標 $v+e\gt p-1$ 時,取為 $v+e\;mod(p-1)$

故 $a_{v+e}=a_v(0\le v\lt p-1)$

故 $a_v=a_{v+e}=a_{v+2e}=\cdots$

令 $\eta_v=\zeta_v+\zeta_{v+e}+\zeta_{v+2e}+\cdots+\zeta_{v+(f-1)e}(v=0,1,\cdots,e-1)?$

則 $\alpha=a_0\zeta_0+a_1\zeta_1+\cdots+z_{p-2}\zeta_{p-2}$ 成為

$\alpha=a_0\eta_0+a_1\eta_1+\cdots+a_{e-1}\eta_{e-1}$

故 $\eta_0,\eta_1,\cdots,\eta_{e-1}$ 是 $Inv(H_e)$ 在 $\Q$ 上的一組基,子域 $Inv(H_e)$ 隨之確定

$\eta_1,\cdots,\eta_{e-1}$ 被搞死稱為分圓域的(f項)周期,其中每個周期都是f個p次本原單位根之和

2.設 $p=17$ ,已知3是模17的原根,計算 $3^vmod 17(0\le v\lt 16)$

解：

$\begin{array}{ccc}v&0&1&2&3&4&5&6&7\\ 3^v&1&3&-8&-7&-4&5&-2&-6\\ v&8&9&10&11&12&13&14&15\\ 3^v&-1&-3&8&7&4&-5&2&6\end{array}$

$取e=2(f=8)得(8項)周期?$

$\eta_0=\zeta+\zeta^{-8}+\zeta^{-4}+\zeta^{-2}+\zeta^{-1}+\zeta^8+\zeta^4+\zeta^2$

$\eta_1=\zeta^3+\zeta^{-7}+\zeta^5+\zeta^{-6}+\zeta^{-3}+\zeta^7+\zeta^{-5}+\zeta^6$

$顯然\eta_0+\eta_1=-1$

$\{\eta_0,\eta_1\}為\Q(\zeta_{17})中子域Inv(H_2)的一組基?$

單位根

設 $\Pi$ 為一素域,n為一正整數(shù),當 $\Pi$ 的特征為0時,n可為任一正整數(shù),當 $\Pi$ 的特征為p時,n與p互素

在上述兩個情況下,多項式 $f(x)=x^n-1?$ 共有n個不同的根(f(x)與f’(x)沒有公共根),稱為n次單位根

若 $\alpha^n=1$ , $\beta^n=1$ ,則 $(\alpha/\beta)^n=1$ ,故全體n次單位根形成一個乘法群

設 $\alpha$ 是一個n次單位根,使 $\alpha^k=1$ 的最小正整數(shù)k稱為 $\alpha$ 的階

令n因子分解為 $n=\prod\limits_{i=1}^m p_i^{r_i}$ ,其中 $p_i(1\le i\le m)$ 為不同的素數(shù)

$x^{n/p_i}=1$ 最多有 $n/p_i$ 個根,故存在一個n次單位根 $a_i$ 使 $a_i^{n/p_i}\neq 1$

令 $b_i=a_i^{n/p_i^{r_i}}$ ,則 $b_i^{p_i^{r_i}}=1$ ,故 $b_i$ 的階為 $p_i^{r_i}$

令 $\zeta=\prod\limits_{i=1}^m b_i$ ,顯然 $\zeta$ 的階為n,即n次單位根組成一個循環(huán)群

階為n的單位根稱為n次本原單位根,顯然 $\varphi(n)$ 個n次本原單位根

設 $\zeta_1,\zeta_2,\cdots,\zeta_{\varphi(d)}$ 為 $\varphi(d)$ 個d次本原單位根,定義多項式 $\Phi_d(x)=(x-\zeta_1)(x-\zeta_2)\cdots(x-\zeta_{\varphi(d)})$ 稱為d次分圓多項式

任一n次單位根的階都是n的因子,故 $x^n-1=\prod\limits_{d|n}\Phi_d(x)$

右端乘積跑遍n的所有因子,可依次得到 $\Phi_d(x)$ 的表達式

例如最初的幾個

$\Phi_1(x)=x-1$

$\Phi_2(x)={x^2-1\over x-1}=x+1$

$\Phi_3(x)={x^3-1\over x-1}=x^2+x+1$

$\Phi_4(x)={x^4-1\over (x-1)(x+1)}=x^2+1$

$\Phi_5(x)={x^5-1\over x-1}=x^4+x^3+x^2+x+1?$

可由歸納法證所有的 $\Phi_d(x)$ 都是首1整系數(shù)多項式

定義正整數(shù)的M?bius函數(shù) $\mu(n)=\begin{cases}0\qquad n有重因子\\(-1)^\lambda\qquad n=p_1p_2\cdots p_\lambda(n無重因子)\\1\qquad n=1\end{cases}$

引理： $\sum\limits_{d|n}\mu(d)=\begin{cases}0\qquad n\gt 1\\1\qquad n=1\end{cases}$

證明：

$n=1時,結(jié)論顯然成立$

$n\gt 1時,n的因子分解為n=\prod\limits_{i=1}^mp_i^{r_i}$

$則\sum\limits_{d|n}\mu(d)=1-\begin{pmatrix}m\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}m\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}m\\3\end{pmatrix}+\cdots+(-1)^m\begin{pmatrix}m\\m\end{pmatrix}$

$=(1-1)^m=0\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理： $\Phi_n(x)=\prod\limits_{d|n}(x^d-1)^{\mu(n/d)}$

證明：

$\prod\limits_{d|n}(x^d-1)^{\mu(n/d)}=\prod\limits_{d|n}(\prod\limits_{d’|d}\Phi_{d’}(x))^{\mu(n/d)}$

$=\prod\limits_{d’|n}\Phi_{d’}(x)^{\sum\limits_{d’|d|n}\mu(n/d)}$

$令d=d’c$

$d|n\Rightarrow c|{n\over d’}$

$\forall d’|n,當c跑遍{n\over d’}的所有因子時$

$e={n\over d’c}也跑遍{n\over d’}的所有因子$

$\therefore \sum\limits_{d’|d|n}\mu({n\over d})=\sum\limits_{c|{n\over d’}}$

$=\mu\sum\limits_{e|{n\over d’}}\mu (e)=\begin{cases}1\qquad n=d’\\0\qquad n\gt d’\end{cases}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：設p為素數(shù)

$\Phi_{p^n}(x)={x^{p^n}-1\over x^{p^{n-1}}-1}={(x^{p^{n-1}})^p-1\over x^{p^{n-1}}-1}$

$=x^{(p-1)p^{n-1}}+x^{(p-2)p^{n-1}}+\cdots+x^{p^{n-1}}+1$

定理： $\forall n\in Z_+$ ,分圓多項式 $\Phi_n(x)$ 在整數(shù)環(huán)上不可約

證明：

$假設\Phi_n(x)在整數(shù)環(huán)上可約$

$則存在首1整系數(shù)不可約多項式f(x)$

$使\Phi_n(x)=f(x)h(x)$

$其中h(x)也是首1整系數(shù)多項式$

$設\zeta為f(x)的根,是一個n次本原單位根$

$下證所有的n次本原單位根都是f(x)的根$

$若p為素數(shù),且不是n的因子$

$則\zeta^p也是一個n次本原單位根,\zeta^p是\Phi_n(x)的根$

$\therefore \zeta^p或是f(x)的根,或是h(x)的根$

$假設\zeta^p是h(x)的根,即h(\zeta^p)=0$

$\therefore \zeta是h(x^p)的根$

$\because \zeta是f(x)的根,且f(x)不可約$

$\therefore f(x)|h(x^p)$

$設h(x^p)=f(x)k(x)$

$其中k(x)是首1整系數(shù)多項式$

$上式兩端模p可得$

$h(x^p)\equiv (h(x))^p\equiv f(x)k(x)(mod\;p)$

$設\varphi(x)是f(x)模p的一個不可約因子$

$則\varphi(x)是(h(x))^p模p的不可約因子$

$\therefore \varphi(x)也是h(x)模p的不可約因子$

$\therefore \varphi^2(x)是\Phi_n(x)模p的因子$

$又p與n互素,\Phi_n(x)模p沒有因子$

$x^n-1模p無重因子$

$\therefore \zeta^p必是f(x)的根$

$設\zeta^v是任一n次本原單位根,v與n互素$

$令v=p_1p_2\cdots p_s$

$其中p_i均為與n互素的素數(shù)$

$\therefore \zeta^{p_1}是f(x)的根$

$同理,\zeta^{p_1p_2}是f(x)的根$

$以此類推,\zeta^v是f(x)的根$

$\therefore 所有n次本原單位根都是f(x)的根$

$即f(x)=\Phi_n(x)$

$\therefore \Phi_n(x)在整數(shù)環(huán)上不可約\qquad\mathcal{Q.E.D}$

$\Phi_n(x)$ 在 $\Q$ 上也不可約

令 $\zeta_n$ 為一n次本原單位根,稱 $\Q(\zeta_n)$ 為n次分圓擴張,即 $\Phi_n(x)$ 在 $\Q$ 上的分裂域

顯然 $\Q(\zeta_n)/\Q$ 是伽羅瓦擴張, $Gal(\Q(\zeta_n)/\Q)$ 中任一元將 $\zeta_n$ 映射為 $\Phi_n(x)$ 的另一個根

記 $\sigma_\lambda$ 為將 $\zeta_n$ 映射為 $\sigma_n^\lambda$ 的同構(gòu),其中 $\lambda$ 為與n互素的任一整數(shù)

當且僅當 $\lambda\equiv \mu(mod\; n)$ 時, $\sigma_\lambda=\sigma_\mu$

$\sigma_\lambda\sigma_\mu(\zeta_n)=\sigma_\lambda(\zeta_n^\mu)=\zeta_n^{\lambda\mu}=\sigma_{\lambda\mu}(\zeta_n)$

故 $\sigma_\lambda\sigma_\mu=\sigma_{\lambda\mu}$

故 $Gal(\Q(\zeta_n)/\Q)$ 與模n的縮剩余系 $(\Z/n\Z)^*$ 所組成的乘法群同構(gòu),是一個交換群

例：

1.令 $n=12$ ,模12的縮剩余系代表元為 $1,5,7,11$ ,故 $G=Gal(\Q(\zeta_{12}/\Q))=\{\sigma_1,\sigma_5,\sigma_7,\sigma_{11}\}$

其中 $\sigma_1$ 為單位元, $\sigma_5,\sigma_7,\sigma_{11}$ 都是2階元

$G$ 中有3個2階子群： $\{\sigma_1,\sigma_5\}$ , $\{\sigma_1,\sigma_7\}$ 和 $\{\sigma_1,\sigma_{11}\}$

對于它們的固定子域

由于3次本原單位根 $\omega={-1+\sqrt{-3}\over 2}$ 和4次本原單位根 $i=\sqrt{-1}$ 都屬于 $\Q(\zeta_{12})$

故 $\Q(\sqrt{-1})$ 和 $\Q(\omega)$ 都是 $\Q(\zeta_{12})/\Q$ 的中間域

$i(2\omega+1)=\sqrt{-1}\sqrt{-3}=\sqrt{3}$

故 $\Q(i(2\omega+1))=\Q(\sqrt{3})$ 也是 $\Q(\zeta_{12})/\Q$ 的中間域

$\sigma_5(\sqrt{-1})=(\sqrt{-1})^5=\sqrt{-1}$

$\sigma_7(\omega)=\omega^7=\omega$

$\sigma_{11}(i(2\omega+1))=-i(2\omega^2+1)=-i(-2\omega+1)=i(2\omega+1)$

$\omega^2+\omega+1=0$

故 $\{\sigma_1,\sigma_5\}$ , $\{\sigma_1,\sigma_7\}$ , $\{\sigma_1,\sigma_{11}\}$ 的固定子域分別為 $\Q(\sqrt{-1})$ , $\Q(\sqrt{-3})$ , $\Q(\sqrt{3})$

顯然, $i\omega$ 是一個12次本原單位根

故 $\zeta_{12}$ 可表為 $\zeta_{12}=i\omega={\sqrt{3}-\sqrt{-1}\over 2}$

2.設n與域F的特征互素, $\zeta=\zeta_n\in F$ 為n次本原單位根, $a\in F$ ,E為 $x^n-a$ 在F上的分裂域

令 $b\in E$ 為 $x^n-a$ 的一個根,則 $x^n-a$ 在E中有n個根 $b,b\zeta,\cdots,b\zeta^{n-1}$

故 $E=F(b)$ , $E/F$ 為伽羅瓦擴張

$\forall \sigma\in Gal(E/F)$ ,將b映射為某個 $b\zeta^i$

將該 $\sigma$ 記作 $\sigma_i$

$\zeta^j\in F$ ,故 $\sigma_i(b\zeta^j)=\sigma_i(b)\zeta^j=\zeta^{i+j}$

令 $\sigma_i,\sigma_k$ 為 $Gal(E/F)$ 中兩個元,則 $\sigma_i\sigma_k(b)=\sigma_i(b\zeta^k)=b\zeta^{i+k}=\sigma_{i+k}(b)$

故得群的單同態(tài) $Gal(E/F)\to \Z/n\Z\\\quad \sigma_i\mapsto i\;mod\;n$

故 $Gal(E/F)$ 是加法群 $\Z/n\Z$ 的子群,是一個循環(huán)群,且 $|Gal(E/F)$ 是n的因子

例如 $x^2-1$ 在 $\Q$ 上的伽羅瓦群是 $\Z/2\Z=\{0,1\}$ 的子群 $\{0\}$

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