域的相對自同構(gòu)
自同構(gòu)
定義：設E是F的擴域,
為域的擴張,
為E的自同構(gòu),若
,有%3Da)
,即在F上是恒等映射,則稱為E相對于F的自同構(gòu),所有E相對于F的自同構(gòu)組成一個群,稱為擴張E/F的伽羅瓦群,記作)
例：
1.設p為素數(shù),p次本原單位根
在
上的極小多項式為%3D%7Bx%5Ep-1%5Cover%20x-1%7D%3Dx%5E%7Bp-1%7D%2Bx%5E%7Bp-2%7D%2B%5Ccdots%2Bx%2B1%E2%80%8B)
)
的所有根為
,故)
是在
上的分裂域
定義相對的自同構(gòu))
,
在上為恒等映射,且%3D%5Czeta_p%5Ei)
在任一相對的自同構(gòu)下,
一定映射為的某一個根,故
是的所有相對的自同構(gòu),即%2F%5CQ)%3D%5C%7B%5Csigma_1%2C%5Csigma_2%2C%5Ccdots%2C%5Csigma_%7Bp-1%7D%5C%7D)
,故![|Gal(\Q(\zeta_p)/\Q)|=[\Q(\zeta_p):\Q]=p-1](https://math.jianshu.com/math?formula=%7CGal(%5CQ(%5Czeta_p)%2F%5CQ)%7C%3D%5B%5CQ(%5Czeta_p)%3A%5CQ%5D%3Dp-1)
顯然%3D%5Csigma_i(%5Csigma_j(%5Czeta_p))%3D%5Csigma_i(%5Czeta_p%5Ej)%3D%5Czeta_p%5E%7Bij%7D%3D%5Csigma_%7Bij%7D)
群))
與模p乘法群)%5E*)
同構(gòu),后者是循環(huán)群,任一模p的原根g是它的生成元,故伽羅瓦群%2F%5CQ))
也是循環(huán)群
當g為模p的原根時,
即的生成元
伽羅瓦群中任一相對自同構(gòu)可看作多項式所有根的一個置換
注：將求解代數(shù)方程轉(zhuǎn)化為研究方程所有根的一個置換群(伽羅瓦群)
2.令
表示有
個元的有限域,其中q為素數(shù)方冪,將看作它的子域
的n次擴張
)
,
是
上的一個n次不可約多項式的根
的所有根為
,故
是的正規(guī)擴張
域相對的任一自同構(gòu)必將映射為的某一個根
令
為相對的自同構(gòu)
,有%3Da%5Eq%3Da)
,則%3D%5C%7B%5Ctau%2C%5Ctau%5E2%2C%5Ccdots%2C%5Ctau%5E%7Bn-1%7D%2C%5Ctau%5En%3D1%5C%7D)
是由
生成的n階循環(huán)群,其中%3D%5Ctheta%5E%7Bq%5Ei%7D(1%5Cle%20i%5Cle%20n))
引理：設為有限擴張,則![|Gal(E/F)|\le [E:F]](https://math.jianshu.com/math?formula=%7CGal(E%2FF)%7C%5Cle%20%5BE%3AF%5D)
證明：
%2C%5CSigma%E4%B8%BAF%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%AD%A3%E8%A7%84%E6%89%A9%E5%BC%A0%2C%E4%B8%94%E4%BD%BFE%5Csubset%20%5CSigma)
)
%5Cto%20%5CSigma%E7%9A%84%E4%BB%BB%E4%B8%80F-%E5%B5%8C%E5%85%A5%E5%B0%86%5Calpha_1%E6%98%A0%E5%B0%84%E4%B8%BAf_1(x)%E7%9A%84%E6%9F%90%E4%B8%80%E6%A0%B9)
![\therefore F(\alpha_1)\to \Sigma的F-嵌入映射個數(shù)\le [F(\alpha_1):F]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Ctherefore%20F(%5Calpha_1)%5Cto%20%5CSigma%E7%9A%84F-%E5%B5%8C%E5%85%A5%E6%98%A0%E5%B0%84%E4%B8%AA%E6%95%B0%5Cle%20%5BF(%5Calpha_1)%3AF%5D)
%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%9E%81%E5%B0%8F%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E4%B8%BAf_2(x))
%5Cto%20%5CSigma%E7%9A%84%E4%BB%BB%E4%B8%80F%E5%B5%8C%E5%85%A5%E6%89%A9%E5%85%85%E4%B8%BAF(%5Calpha_1%2C%5Calpha_2)%5Cto%20%5CSigma%E7%9A%84F-%E5%B5%8C%E5%85%A5%E6%97%B6)
%E7%9A%84%E6%9F%90%E4%B8%80%E6%A0%B9)
![\therefore F(\alpha_1)\to \Sigma的任一F-嵌入可擴充為F(\alpha_1,\alpha_2)\to \Sigma的F-嵌入個數(shù)\le [F(\alpha_1,\alpha_2):F(\alpha_1)]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Ctherefore%20F(%5Calpha_1)%5Cto%20%5CSigma%E7%9A%84%E4%BB%BB%E4%B8%80F-%E5%B5%8C%E5%85%A5%E5%8F%AF%E6%89%A9%E5%85%85%E4%B8%BAF(%5Calpha_1%2C%5Calpha_2)%5Cto%20%5CSigma%E7%9A%84F-%E5%B5%8C%E5%85%A5%E4%B8%AA%E6%95%B0%5Cle%20%5BF(%5Calpha_1%2C%5Calpha_2)%3AF(%5Calpha_1)%5D)
![\therefore E\to \Sigma的F-嵌入個數(shù)\le [F(\alpha_1):F]\cdot[F(\alpha_1,\alpha_2):F(\alpha_1)]\cdots[E:F(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{n-1})]=[E:F]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Ctherefore%20E%5Cto%20%5CSigma%E7%9A%84F-%E5%B5%8C%E5%85%A5%E4%B8%AA%E6%95%B0%5Cle%20%5BF(%5Calpha_1)%3AF%5D%5Ccdot%5BF(%5Calpha_1%2C%5Calpha_2)%3AF(%5Calpha_1)%5D%5Ccdots%5BE%3AF(%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_%7Bn-1%7D)%5D%3D%5BE%3AF%5D)
![\therefore |Gal(E/F)|\le [E:F]\qquad\mathcal{Q.E.D}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Ctherefore%20%7CGal(E%2FF)%7C%5Cle%20%5BE%3AF%5D%5Cqquad%5Cmathcal%7BQ.E.D%7D)
伽羅瓦擴張
定義：域的可分正規(guī)擴張稱為伽羅瓦擴張,域的有限可分正規(guī)擴張稱為有限伽羅瓦擴張
注：為交換群或循環(huán)群時,分別稱為交換擴張(阿貝爾擴張)或循環(huán)擴張
定理：若是有限伽羅瓦擴張,則![|Gal(E/F)|=[E:F]](https://math.jianshu.com/math?formula=%7CGal(E%2FF)%7C%3D%5BE%3AF%5D)
證明：
)
![\therefore 在F上的極小多項式在E中有n=[E:F]個不同的根](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Ctherefore%20%E5%9C%A8F%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%9E%81%E5%B0%8F%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%9C%A8E%E4%B8%AD%E6%9C%89n%3D%5BE%3AF%5D%E4%B8%AA%E4%B8%8D%E5%90%8C%E7%9A%84%E6%A0%B9)
%E5%86%B3%E5%AE%9AE%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E7%9B%B8%E5%AF%B9F%E7%9A%84%E8%87%AA%E5%90%8C%E6%9E%84)
![\therefore |Gal(E/F)|=[E:F]\qquad\mathcal{Q.E.D}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Ctherefore%20%7CGal(E%2FF)%7C%3D%5BE%3AF%5D%5Cqquad%5Cmathcal%7BQ.E.D%7D)
注：若K為F和E的中間域(
),E/F為伽羅瓦擴張,E為F的可分正規(guī)擴張,則E也是K上的可分正規(guī)擴張,故E/K也是伽羅瓦擴張,此時K是F上的可分擴張,但不一定是正規(guī)擴張
例：
1.設p為素數(shù),p次本原單位根
,%2F%5CQ)
是伽羅瓦擴張
2.令表示有
個元的有限域,其中q為素數(shù)方冪,將看作它的子域的n次擴張,
是伽羅瓦擴張
伽羅瓦群
定義：設為域F上的多項式,E為在F上的分裂域,則稱為多項式或方程%3D0)
在F上的伽羅瓦群
例：設![E=\Q(\sqrt[3]{2},\omega)](https://math.jianshu.com/math?formula=E%3D%5CQ(%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D%2C%5Comega))
,
,E為
在上的分裂域,故
是伽羅瓦擴張
在上的極小多項式為
,![\sqrt[3]{2}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D)
在上的極小多項式為
故![[E:\Q]=[\Q(\sqrt[3]{2},\omega):\Q(\omega)][\Q(\omega):\Q]\le 3\cdot 2=6](https://math.jianshu.com/math?formula=%5BE%3A%5CQ%5D%3D%5B%5CQ(%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D%2C%5Comega)%3A%5CQ(%5Comega)%5D%5B%5CQ(%5Comega)%3A%5CQ%5D%5Cle%203%5Ccdot%202%3D6)
又![2=[\Q(\omega):\Q]|[E:\Q]](https://math.jianshu.com/math?formula=2%3D%5B%5CQ(%5Comega)%3A%5CQ%5D%7C%5BE%3A%5CQ%5D)
![3=[\Q(\sqrt[3]{2}):\Q]|[E:\Q]](https://math.jianshu.com/math?formula=3%3D%5B%5CQ(%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D)%3A%5CQ%5D%7C%5BE%3A%5CQ%5D)
故![[E:\Q]=6?](https://math.jianshu.com/math?formula=%5BE%3A%5CQ%5D%3D6%E2%80%8B)
,以%E2%80%8B)
表示%E2%80%8B)
中6個相對的自同構(gòu),
在![\sqrt[3]{2}?](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D%E2%80%8B)
和
上的作用分別為
![\sigma_1:\sigma_1(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2},\sigma_1(\omega)=\omega?](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Csigma_1%3A%5Csigma_1(%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D)%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D%2C%5Csigma_1(%5Comega)%3D%5Comega%E2%80%8B)
![\sigma_2:\sigma_2(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}\omega,\sigma_2(\omega)=\omega](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Csigma_2%3A%5Csigma_2(%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D)%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D%5Comega%2C%5Csigma_2(%5Comega)%3D%5Comega)
![\sigma_3:\sigma_3(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}\omega^2,\sigma_3(\omega)=\omega](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Csigma_3%3A%5Csigma_3(%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D)%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D%5Comega%5E2%2C%5Csigma_3(%5Comega)%3D%5Comega)
![\sigma_4:\sigma_4(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2},\sigma_1(\omega)=\omega^2](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Csigma_4%3A%5Csigma_4(%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D)%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D%2C%5Csigma_1(%5Comega)%3D%5Comega%5E2)
![\sigma_5:\sigma_5(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}\omega,\sigma_1(\omega)=\omega^2](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Csigma_5%3A%5Csigma_5(%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D)%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D%5Comega%2C%5Csigma_1(%5Comega)%3D%5Comega%5E2)
![\sigma_6:\sigma_6(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}\omega^2,\sigma_1(\omega)=\omega^2](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Csigma_6%3A%5Csigma_6(%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D)%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D%5Comega%5E2%2C%5Csigma_1(%5Comega)%3D%5Comega%5E2)
