三維幾何的矩陣變換：

三維幾何的矩陣變換.png

平移變換：

平移變換.png

比例變換：

比例變換.png

繞X軸旋轉(zhuǎn)：

繞X軸旋轉(zhuǎn).png

繞Y軸旋轉(zhuǎn)：

繞Y軸旋轉(zhuǎn).png

繞Z軸旋轉(zhuǎn)：

繞Z軸旋轉(zhuǎn).png

X軸反射變換：

X軸反射變換.png

Y軸反射變換：

Y軸反射變換.png

Z軸反射變換：

Z軸反射變換.png

關(guān)于xoy面的反射：

關(guān)于xoy面的反射.png

關(guān)于xoz面的反射：

關(guān)于xoz面的反射.png

關(guān)于yoz面的反射：

關(guān)于yoz面的反射.png

錯切變換/剪切變換(shear transform)

錯切變換.png

沿X方向的錯切:

沿X方向的錯切.png

沿Y方向的錯切:

沿Y方向的錯切.png

沿Z方向的錯切:

沿Z方向的錯切.png

三維復(fù)合變換：
T為復(fù)合變換矩陣嗎畅铭，T1母债、T2 … Tn 為n個單次基本幾何變換的變換矩陣

三維復(fù)合變換.png

相對于任一參考點(diǎn)的三維幾何變換
在三維基本幾何變換中，比例變換和旋轉(zhuǎn)變換是與參考點(diǎn)相關(guān)的祷蝌。相對于任一參考點(diǎn)Q(x, y, z) 的比例變換和旋轉(zhuǎn)變換應(yīng)表達(dá)為復(fù)合變換形式次伶。變換方法是首先將參考點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)痴昧，相對于坐標(biāo)原點(diǎn)作比例變換或旋轉(zhuǎn)變換，然后再進(jìn)行反平移將參考點(diǎn)平移回原來的位置冠王。

相對于任意方向的三維幾何變換
相對于任一方向的變換方法是首先對任意方向做旋轉(zhuǎn)變換赶撰，使變換方向與某個坐標(biāo)軸重合，然后對該坐標(biāo)軸進(jìn)行三維基本幾何變換柱彻，最后最反向旋轉(zhuǎn)變換豪娜，將任意方向還原到原來的方向。三維幾何變換中需要進(jìn)行兩次旋轉(zhuǎn)變換哟楷，才能使任意方向與某個坐標(biāo)軸重合瘤载。一般做法是先將任意方向旋轉(zhuǎn)到某個坐標(biāo)平面內(nèi)，然后再旋轉(zhuǎn)到與該坐標(biāo)平面內(nèi)的某個坐標(biāo)軸重合卖擅。

坐標(biāo)系變換
在進(jìn)行三維觀察時鸣奔，需要將物體的描述從世界坐標(biāo)系變換到觀察坐標(biāo)系，然后通過旋轉(zhuǎn)視點(diǎn)可以觀察物體的全貌惩阶。
同一種變換既可以看做是點(diǎn)變換也可以看做是坐標(biāo)系變換挎狸。點(diǎn)變換是頂點(diǎn)位置發(fā)生改變，但坐標(biāo)系位置不發(fā)生改變琳猫。坐標(biāo)系變換是建立新坐標(biāo)系描述舊坐標(biāo)系內(nèi)的頂點(diǎn)伟叛，坐標(biāo)系位置發(fā)生改變，但頂點(diǎn)位置不發(fā)生改變脐嫂。

二維平移變換矩陣

二維平移變換矩陣.png

坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換统刮，應(yīng)使用相反方向的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。如繞Z軸的逆時針變換账千，應(yīng)使用順時針旋轉(zhuǎn)變換矩陣侥蒙，反之亦然。

繞Z軸的逆時針變換.png

三維坐標(biāo)系變換
平移變換矩陣

三維平移變換矩陣.png

相對于點(diǎn)變換而言匀奏，坐標(biāo)系變換的平移參數(shù)需要取為負(fù)值鞭衩。
同二維坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換類似，三維坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣應(yīng)使用點(diǎn)變換的反向旋轉(zhuǎn)變換矩陣表示。

繞X軸的逆時針三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

繞X軸的逆時針三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣.png

繞Y軸逆時針三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

繞Y軸逆時針三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣.png

繞Z軸的逆時針三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

繞Z軸的逆時針三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣.png

β 為順時針旋轉(zhuǎn)角

坐標(biāo)系的三維反射變換论衍，直接采用點(diǎn)變換的反射變換矩陣瑞佩。

投影變換分類

投影變換分類.png

平行投影
由于顯示器只能用二維圖像表示三維物體，因此三維土體就要靠投影來降低維數(shù)得到二維平面圖形坯台，因此把三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)槎S坐標(biāo)的過程稱為投影變換炬丸。
根據(jù)投影中心與投影面之間的距離不同，投影可分為平行投影和透視投影蜒蕾。投影中心到投影面的距離為無限大時得到的投影稱為平行投影稠炬，而對于透視投影，這個距離是有限的咪啡。平行投影又可分為斜投影和正交都應(yīng)首启。投影方向不垂直與投影面的平行投影稱為斜投影，投影方向垂直于投影面的平行投影稱為正交投影撤摸。正交投影的最大特點(diǎn)是無論物體距離視點(diǎn)(眼睛或相機(jī))多遠(yuǎn)毅桃，投影后的物體尺寸保持不變，常用于繪制物體的三視圖愁溜。

正交投影變換

正交投影變換.png

正交投影為

正交投影.png

三視圖
一個物體有6個視圖：從物體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖疾嗅，從物體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖，從物體的左面向右面投射所得的視圖稱側(cè)視圖冕象，還有其它三個視圖不是很常用代承。

主視圖

主視圖變換.png

俯視圖：

俯視圖變換.png

側(cè)視圖：

側(cè)視圖變換.png

斜投影
將三維物體向投影面內(nèi)作平行投影，但投影方向不垂直于投影面得到的投影稱為斜投影渐扮。與正交投影相比论悴，斜投影具有較好的立體感。斜投影也具有部分類似正交投影的可測量性墓律，平行于投影面的物體表面的長度和角度投影后保持不變膀估。

斜投影原理.png

斜投影變換公式.png

取b = 45度，當(dāng)cota = 1 時耻讽，即投影方向與投影面成 45 度夾角時察纯，得到的斜投影圖為斜等測圖。這時针肥，垂直于投影面的任何直線段的投影長度保持不變饼记。此時有：

變換公式.png

取b = 45 度，當(dāng)cota = 1/2 時慰枕，有a 約等于63.4度具则，得到的斜投影圖為斜二測圖，這時垂直于投影面的任何直線的投影長度為原來的一般具帮。此時有：

變換公式.png

透視投影
與平行投影相比博肋，透視投影的特點(diǎn)是所有投影線都從空間一點(diǎn)(稱為視點(diǎn)或投影中心)投射低斋，離視點(diǎn)近的物體投影大，離視點(diǎn)元的物體投影小匪凡，小到極點(diǎn)消失膊畴，稱為滅點(diǎn)(vanishing point)。一般將屏幕放下觀察者與物體之間病游。投影線與屏幕的交點(diǎn)就是物體上一點(diǎn)的透視投影巴比。視點(diǎn)代表人眼或相機(jī)、攝像機(jī)的位置礁遵，是觀察坐標(biāo)系的原點(diǎn)。視心是屏幕坐標(biāo)系的原點(diǎn)采记。

透視變換坐標(biāo)系
透視投影變換中佣耐，物體中西位于世界坐標(biāo)系OwXwYwZw的原點(diǎn)Ow，視點(diǎn)位于觀察坐標(biāo)系OvXvYvZv的原點(diǎn)Ov(a, b, c)唧龄，投影中心位于屏幕坐標(biāo)系OsXsYsZs的原點(diǎn)Os兼砖。

透視變換坐標(biāo)系.png

世界坐標(biāo)系
世界坐標(biāo)系OwXwYwZw，采用右手直角坐標(biāo)系既棺。視點(diǎn)的直角坐標(biāo)為Ov(a, b, c)讽挟。OwOv的長度為視徑R，視點(diǎn)的球面坐標(biāo)表示為Ov(R, θ, φ)丸冕，其中θ 為OwM 與Z軸的夾角耽梅，φ為OwOv與Y軸的夾角。視點(diǎn)的球面坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系為：

視點(diǎn)球面坐標(biāo)和直角坐標(biāo)系關(guān)系.png

觀察坐標(biāo)系
OvXvYvZv為左手直角坐標(biāo)系胖烛，坐標(biāo)原點(diǎn)取在視點(diǎn)Ov上眼姐。Zv軸沿著視線方向OvOw指向Ow點(diǎn)，視線的正右方向?yàn)閄v軸佩番，視線的正上方為Yv軸众旗。

屏幕坐標(biāo)
屏幕坐標(biāo)OsXsYsZs也是左手直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)Os位于視心趟畏。屏幕坐標(biāo)系的Xs 和Ys 軸與觀察坐標(biāo)系的Xv軸和Yv軸方向一致贡歧，屏幕垂直于視線，Zs軸自然與Zv軸重合赋秀。
世界坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換
首先將世界坐標(biāo)系的原點(diǎn)Ow 平移到觀察坐標(biāo)系的原點(diǎn)Ov利朵，然后將世界右手坐標(biāo)系變換為觀察左手坐標(biāo)系，就可以視線從世界坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換沃琅。
觀察變換矩陣為：

觀察變換矩陣.png

展開式為：

觀察變換矩陣展開式.png

改變φ，視點(diǎn)就會沿著緯度方向旋轉(zhuǎn)益眉，改變θ晌柬，視點(diǎn)就會沿著經(jīng)度方向旋轉(zhuǎn)姥份，增大視徑R，則視點(diǎn)到物體的距離變遠(yuǎn)年碘，物體的投影縮谐呵浮；減小視徑R屿衅，視點(diǎn)到物體的距離變近埃难，物體的投影放大。觀察坐標(biāo)系只是提供了一種從任意視向觀察物體的方法涤久。

觀察坐標(biāo)到屏幕坐標(biāo)系的變換
屏幕坐標(biāo)系為左手系涡尘，且Zs軸與Zv同向。視點(diǎn)Ov 與視心Os的距離為視距離d响迂。嘉定觀察坐標(biāo)系中物體上的一點(diǎn)為Pv(Xv, Yv, Zv)考抄，視線OvPv與屏幕的交點(diǎn)在觀察坐標(biāo)系中表示Ps(Xs, Ys, 0)代表物體上的Pv點(diǎn)在屏幕上的透視投影。

觀察坐標(biāo)到屏幕坐標(biāo)系的變換.png

由點(diǎn)Pv想XvOvZv平面內(nèi)作垂直教育N點(diǎn)蔗彤，再由N點(diǎn)想Zv軸做垂線教育Q點(diǎn)川梅。連接OvN交Xs軸于M點(diǎn)。
根據(jù)Rt△MOvOs 于Rt△MOvQ相似然遏，有

相似公式.png

根據(jù)Rt△PsOvM 于Rt△PvOvN相似贫途，有

相似公式.png

相似公式.png

image.png

image.png

于是可得：

image.png

透視變換矩陣為：

透視變換矩陣.png

透視投影整體變換為：

透視投影整體變換.png

透視投影分類
透視投影中，與屏幕平行的平行線投影后保持平行待侵。不予屏幕平行的平行線投影后匯聚為滅點(diǎn)丢早，滅點(diǎn)是無限遠(yuǎn)點(diǎn)再屏幕上的投影。每一組平行線都有其不同的滅點(diǎn)诫给。坐標(biāo)軸上滅點(diǎn)稱為主滅點(diǎn)香拉。
透視投影中主滅點(diǎn)數(shù)目是由屏幕切割坐標(biāo)軸的數(shù)量來決定，并據(jù)此將透視投影分類為一點(diǎn)中狂、兩點(diǎn)凫碌、三點(diǎn)透視。一點(diǎn)透視有一個主滅點(diǎn)胃榕，即屏幕僅與一個坐標(biāo)軸正交盛险，與另外兩個坐標(biāo)軸平行，二點(diǎn)透視有兩個主滅點(diǎn)勋又，即屏幕僅與兩個坐標(biāo)軸相交苦掘，與另一個坐標(biāo)軸平行。三點(diǎn)透視有三個主滅點(diǎn)楔壤，即屏幕與三個坐標(biāo)軸都相交

計(jì)算透視投影的深度坐標(biāo)
對于透視投影鹤啡，場景中所有投影均位于以視點(diǎn)為頂點(diǎn)，連接視點(diǎn)與屏幕死角點(diǎn)為棱邊的沒有底面的四棱錐內(nèi)蹲嚣。當(dāng)屏幕離視點(diǎn)太近或太遠(yuǎn)時递瑰，物體因此變得太大或太小而不可識別祟牲。定義視域四棱錐的Z向近剪切面和遠(yuǎn)剪切面分別為Near 和 Far，經(jīng)Zv 向裁剪后的視域四棱錐轉(zhuǎn)化為四棱臺抖部。

計(jì)算透視投影的深度坐標(biāo).png

物體在屏幕坐標(biāo)系中的深度計(jì)算公式為：

深度計(jì)算公式.png

其中Near 和Far是常數(shù)说贝，且Near就是視距d。透視變換的一個重要性質(zhì)是把直線映射為直線慎颗，平面映射為平面乡恕。

坐標(biāo)系相對關(guān)系圖.png

三維物體的動畫主要使用三維幾何變換來完成。透視投影是繪制真是感圖形的基礎(chǔ)俯萎，透視投影是在觀察坐標(biāo)系內(nèi)實(shí)施的傲宜。物體的旋轉(zhuǎn)通話可以使用兩種方法生成，一種是物體不動夫啊，視點(diǎn)旋轉(zhuǎn)蛋哭，稱為視圖變換。另一張方法是物體旋轉(zhuǎn)涮母，視點(diǎn)不動，稱為模型變換躁愿。真實(shí)感光照場景中叛本，由于世界坐標(biāo)系中設(shè)置了光源的位置，物體的旋轉(zhuǎn)主要采用的是模型變換方式彤钟，此時視點(diǎn)和光源位置不變来候，物體旋轉(zhuǎn)生成動畫。

視點(diǎn)逸雹、屏幕和物體的位置關(guān)系有三種营搅，屏幕位于物體和視點(diǎn)之間，物體位于屏幕和視點(diǎn)之間梆砸，視點(diǎn)位于屏幕和物體之間转质。視點(diǎn)位于屏幕和物體之間會使得圖像倒置。