本章涉及知識(shí)點(diǎn)
1愉择、伽利略變換的數(shù)學(xué)推導(dǎo)
2、狹義相對(duì)論的兩個(gè)基本假設(shè)
3膊畴、洛倫茲變換的數(shù)學(xué)推導(dǎo)
4掘猿、狹義相對(duì)論的時(shí)空觀
5、狹義相對(duì)論的數(shù)學(xué)分類討論
6唇跨、狹義相對(duì)論案例的求解分析
7稠通、python編程來求解案例
一、伽利略變換的數(shù)學(xué)推導(dǎo)
在引入相對(duì)論之前买猖，我們必須先要了解牛頓經(jīng)典力學(xué)的支柱—伽利略變化改橘。該理論中，牛頓和伽利略認(rèn)為空間是獨(dú)立的玉控，與參考系中物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)飞主，且時(shí)間是均勻流逝的
即伽利略的時(shí)空變化是：空間和時(shí)間都是絕對(duì)的
如下圖實(shí)驗(yàn)所示
其中S和S'是兩個(gè)慣性參考系，對(duì)任意事件P在S和S'中的坐標(biāo)分別為（x,y,z,t）和（x',y',z',t'），顯然既棺，我們要研究的時(shí)空關(guān)系讽挟，即是研究空間變化(x和x'、y和y'丸冕、z和z'這三個(gè)方向)，以及時(shí)間變化(t和t')的關(guān)系即可薛窥。我們假設(shè)S'相對(duì)于S以平行于x軸的速度v做勻速運(yùn)動(dòng)
研究的事件為：以兩個(gè)參考系的坐標(biāo)原點(diǎn)O和O'重合為計(jì)時(shí)起點(diǎn)胖烛，經(jīng)過時(shí)間t后兩個(gè)參考系觀察到S系原點(diǎn)的位置關(guān)系？
由于我們推導(dǎo)是的伽利略變換诅迷，時(shí)間是絕對(duì)的佩番，所以我們可以得到時(shí)間的變化關(guān)系為
上面的方程式說明，時(shí)間是不受觀察者所在參考系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)影響罢杉，即時(shí)間是絕對(duì)的
下面我們來看兩個(gè)參考系的空間關(guān)系趟畏，由于運(yùn)動(dòng)只發(fā)生在x軸，所以我們可以得到y(tǒng)軸和z軸的空間變化關(guān)系為
當(dāng)在S系中觀察S系的原點(diǎn)時(shí)滩租，S系的x軸關(guān)系為
而在S'系中觀察該點(diǎn)時(shí)赋秀，S'系的x軸關(guān)系為
我們將上面兩個(gè)式子整合為
經(jīng)過上面分析，我們得到了伽利略變換的時(shí)空數(shù)學(xué)方程表達(dá)式為
我們對(duì)上面的方程式中的每個(gè)式子對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)律想，可以得到速度變化為
我們?cè)趯?duì)上面的方程式中的每個(gè)式子對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)猎莲，可以得到加速度的變化為
可以看到，在S參考系中牛頓力學(xué)F=ma技即，則在S'參考系中F=ma'也成立著洼，所以伽利略變換是牛頓經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)
但是在狹義相對(duì)論中，愛因斯坦卻認(rèn)為時(shí)間和空間是相對(duì)的而叼，并不是絕對(duì)的身笤！現(xiàn)代物理學(xué)中電、光葵陵、磁現(xiàn)象也是符合相對(duì)性原理的液荸，即時(shí)間和空間的關(guān)系和伽利略變換發(fā)生了嚴(yán)重的矛盾沖突，故而我們需要一套新的數(shù)學(xué)方程組埃难，來調(diào)和牛頓的經(jīng)典力學(xué)和愛因斯坦的狹義相對(duì)論莹弊，而洛倫茲變換就是做這件事的
二、狹義相對(duì)論的兩個(gè)基本假設(shè)
在推導(dǎo)洛倫茲變化之前涡尘，我們需要知道狹義相對(duì)論的兩個(gè)基本假設(shè)
（1）相對(duì)性原理：一切物理定律的方程式在洛倫茲變化下忍弛，依舊保持其數(shù)學(xué)形式
（2）光速不變?cè)恚涸谒袘T性坐標(biāo)系中，真空中的光速保持不變考抄，且光速c是物質(zhì)的極限速度
有了上面兩個(gè)基本假設(shè)细疚，接下來我們就可以推導(dǎo)洛倫茲變化
三、洛倫茲變換的數(shù)學(xué)推導(dǎo)
仍然以推導(dǎo)伽利略變化的實(shí)驗(yàn)來研究川梅，首選我們需要認(rèn)清一個(gè)事實(shí)疯兼，時(shí)間不是絕對(duì)的然遏！所以在S和S'參考系中，時(shí)間的關(guān)系也是相對(duì)的吧彪，即
這個(gè)方程非常重要待侵，這也說明了我們不能從絕對(duì)時(shí)間出發(fā)來推導(dǎo)空間關(guān)系，因?yàn)闀r(shí)間是相對(duì)的
同理姨裸，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)只發(fā)生在x軸秧倾，所以我們也可以得到y(tǒng)軸和z軸的空間變化關(guān)系為
當(dāng)在S系中觀察S系的原點(diǎn)時(shí)，S系的x軸關(guān)系為
而在S'系中觀察該點(diǎn)時(shí)傀缩，S'系的x軸關(guān)系為
注意上式中右側(cè)是t'（要和伽利略變化推導(dǎo)區(qū)分開）那先，我們整合兩個(gè)式子為
由于我們認(rèn)為時(shí)間和空間是均勻的，即時(shí)空坐標(biāo)的變化是線性的赡艰，因此我們?cè)O(shè)K是一個(gè)比例常數(shù)售淡，可以得到S參考系中任意一個(gè)點(diǎn)的空間x坐標(biāo)為
同理設(shè)K'是一個(gè)比例常數(shù)，我們也可以得到S'參考系中任意一個(gè)點(diǎn)的空間x'坐標(biāo)為
由狹義相對(duì)論的第一條相對(duì)性假設(shè)慷垮，慣性坐標(biāo)系S和S'的數(shù)學(xué)表達(dá)式一致揖闸，即二者是等價(jià)的，則可以得到比例闡述K和K'的關(guān)系為
下面我們需要求解出這個(gè)常數(shù)K换帜，此時(shí)我們還需要一組方程組楔壤，由義相對(duì)論的第二條光速不變?cè)恚砦覀兗僭O(shè)光信號(hào)在S系和S'系的原點(diǎn)重合處開始計(jì)時(shí)惯驼，在任意一個(gè)時(shí)刻沿著x軸前進(jìn)蹲嚣，則光信號(hào)到達(dá)S和S'系中的位置橫坐標(biāo)分別為
上面方程式中的c代表著光速，根據(jù)狹義相對(duì)論的第二個(gè)假設(shè)祟牲，c不受所在坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)影響隙畜，它是一個(gè)常數(shù)，是任意物質(zhì)速度的極限说贝，則我們將上面兩個(gè)關(guān)于c的方程式左右相乘得到
我們將S系和S'系中的橫坐標(biāo)(x和x')的表達(dá)式也左右相乘得到
我們將上式中的x和x'用ct和ct'帶入整理得
聯(lián)立x和x'的兩個(gè)表達(dá)式议惰，得
至此我們就求出了常數(shù)K的表達(dá)式，并且由上面的數(shù)學(xué)推導(dǎo)中可以看出乡恕，要保證分母不能為0言询，且根號(hào)里表達(dá)式非負(fù)，即滿足
這個(gè)不等式約束條件說明了光速c是任何物體的極限速度
我們帶入K的表達(dá)式运杭，就可以得到x和x'的洛倫茲數(shù)學(xué)方程為
為了方便以后的推導(dǎo)，我們?cè)O(shè)r為
我們稱r為洛倫茲因子函卒，可以看到r只與坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)速度v和光速c有關(guān)辆憔，是一個(gè)常量，則關(guān)于S和S'的位置橫坐標(biāo)變化的數(shù)學(xué)方程可以寫為
下面我們聯(lián)立x和x'的洛倫茲數(shù)學(xué)方程，來帶入消元分別求解洛倫茲時(shí)間的變化方程
消去x得到關(guān)于t的變化方程為
我們帶入r計(jì)算出右邊括號(hào)里的第一項(xiàng)結(jié)果為
帶入右邊第一項(xiàng)括號(hào)的計(jì)算結(jié)果虱咧，繼續(xù)化簡(jiǎn)t的洛倫茲變化方程為
同上面的解方程方法熊榛，我們消去x'就可以得到關(guān)于t'的洛倫茲變化方程為
至此，我們以狹義相對(duì)論的兩個(gè)基本假設(shè)為基石腕巡，通過求解方程租的方法玄坦，推導(dǎo)出了兩個(gè)參考系之間關(guān)于時(shí)間空間變化的數(shù)學(xué)關(guān)系—洛倫茲變化方程（洛倫茲時(shí)空數(shù)學(xué)方程）
從這組方程可以明顯的看出，時(shí)間不在是絕對(duì)的绘沉，而是相對(duì)的营搅，時(shí)間已經(jīng)和所處世界的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)產(chǎn)生了聯(lián)系，同時(shí)洛倫茲變化也是狹義相對(duì)論的基本方程組
四梆砸、狹義相對(duì)論的時(shí)空觀
有了以上關(guān)于洛倫茲變化的推導(dǎo)，狹義相對(duì)論的時(shí)空觀認(rèn)為：同時(shí)是相對(duì)的
即在一個(gè)慣性坐標(biāo)系中园欣，不同地點(diǎn)同時(shí)發(fā)生的兩件事情帖世，在另外一個(gè)慣性坐標(biāo)系中不一定是同時(shí)的！
考慮一個(gè)實(shí)驗(yàn)沸枯，S'為一列高速運(yùn)動(dòng)的列車日矫，S為列車站臺(tái)，有AB兩個(gè)觀察員绑榴，A站在列車?yán)锔S列車一起運(yùn)動(dòng)哪轿，B站在站臺(tái)上，列車的天花板上偶遇一盞關(guān)閉的吊燈翔怎，AB觀察員做同一件事情：同時(shí)記錄打開吊燈后窃诉，光線照射到車廂左右兩邊的時(shí)間，如下圖所示
我們?cè)O(shè)光線照射到列車左側(cè)的事件為P1赤套，照射到列車右側(cè)的事件為P2飘痛，根據(jù)實(shí)驗(yàn)要求，AB觀察員要同時(shí)測(cè)量吊燈打開后P1和P2發(fā)生的時(shí)間關(guān)系容握？
（1）對(duì)于觀察者A：他的參考系為S'宣脉，則A，吊燈都是相對(duì)于列車靜止的剔氏，則P1事件和P2事件都是同時(shí)到達(dá)塑猖，即P1消耗的時(shí)間 = P2消耗的時(shí)間
（2）對(duì)于觀察者B：他的參考系為S，則吊燈是運(yùn)動(dòng)的且運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和S'一致谈跛，由于光源射向列車左側(cè)(P1事件)的方向與列車的運(yùn)動(dòng)相反羊苟，而射向列車右側(cè)(P2事件)的方向與列車的運(yùn)動(dòng)相同，由光速不變的原理币旧，光線會(huì)先到達(dá)左側(cè)践险，再到達(dá)右側(cè)，即P1消耗的時(shí)間 <P2消耗的時(shí)間
為此，我們得出一個(gè)結(jié)論：同時(shí)性與參考系的運(yùn)動(dòng)有關(guān)巍虫，即同時(shí)是相對(duì)的
下面我們用數(shù)學(xué)方法的推導(dǎo)彭则，來證明這個(gè)結(jié)論
五、狹義相對(duì)論的數(shù)學(xué)分類討論
假設(shè)有兩個(gè)事件P1和P2占遥，在S參考系中的時(shí)空坐標(biāo)為
在S'參考系中的時(shí)空坐標(biāo)為
由倫倫茲方程得到事件P1在S和S'參考系中發(fā)生的時(shí)間關(guān)系為
由倫倫茲方程得到事件P2在S和S'參考系中發(fā)生的時(shí)間關(guān)系為
則在S和S'參考系中測(cè)得這兩個(gè)事件發(fā)生的時(shí)間間隔為（t2' - t1'）和（t2 - t1）瓦胎，它們的數(shù)學(xué)關(guān)系為
得到不同參考系下兩個(gè)事件發(fā)生的時(shí)間間隔的數(shù)學(xué)方程后，我們需要分類討論這個(gè)方程的可能情況
（1）如果：在S系中P1搔啊、P2同時(shí)刻發(fā)生柬祠，但在不同地點(diǎn)發(fā)生
上述討論情況翻譯為數(shù)學(xué)語言即為
帶入時(shí)間間隔方程后负芋，就可以得到在該情況下漫蛔，S'參考系中發(fā)生P1和P2的時(shí)間間隔為
從上述推導(dǎo)的時(shí)間間隔方程中，我們可以得出結(jié)論：同樣的兩個(gè)事件P1P2旧蛾，如果在參考系S下同時(shí)刻但不同地發(fā)生莽龟，那么在參考系S'下將不會(huì)是同時(shí)刻發(fā)生！
（2）如果：在S系中P1锨天、P2同時(shí)刻發(fā)生毯盈，且同地點(diǎn)發(fā)生
上述討論情況翻譯為數(shù)學(xué)語言即為
同理病袄，帶入時(shí)間間隔方程后搂赋，就可以得到在該情況下，S'參考系中發(fā)生P1和P2的時(shí)間間隔為
從上述推導(dǎo)的時(shí)間間隔方程中陪拘，我們可以得出結(jié)論：同樣的兩個(gè)事件P1P2厂镇，如果在參考系S下同時(shí)刻且同地發(fā)生，那么在參考系S'下也是同時(shí)刻發(fā)生左刽！
（3）討論在參考系S下發(fā)生某個(gè)事件捺信，則該事件在參考系S'中的因果關(guān)系
設(shè)在S參考系中，邏輯事件為：質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過△t后欠痴，到達(dá)位置x+△x處
則由洛倫茲變化得到該質(zhì)點(diǎn)在參考系S'下的時(shí)間方程為
在研究事件的因果關(guān)系順序迄靠，即要分析不同參考系下事件的時(shí)間方程的符號(hào)，如果符號(hào)相同喇辽，則說明在不同參考系下掌挚，同一個(gè)事件發(fā)生的因果關(guān)系不變；如果符號(hào)不同菩咨，則說明在不同參考系下吠式，同一個(gè)事件發(fā)生的因果關(guān)系會(huì)發(fā)生顛倒
下面設(shè)△x對(duì)時(shí)間△t的導(dǎo)數(shù)為u陡厘，即
整理質(zhì)點(diǎn)在參考系S'下的時(shí)間方程為
由于c > u、c > v特占，則比較上式就得到不同參考系下同一個(gè)事件發(fā)生的因果關(guān)系為
從上述推導(dǎo)結(jié)果中糙置，我們可以得出結(jié)論：在不同參考系下，同一個(gè)事件發(fā)生的時(shí)間方程符號(hào)是同號(hào)的是目，即事件的因果關(guān)系一致谤饭，事件的邏輯順序不會(huì)發(fā)生顛倒
（4）當(dāng)參考系S'的運(yùn)動(dòng)速度v遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到光速c時(shí)
上述討論情況翻譯為數(shù)學(xué)語言即為
由于上述不等式的限制，我們的洛倫茲因子將近似趨近于
則在S'參考系下的時(shí)間方程將趨近于
顯然懊纳，上述方程結(jié)果就是伽利略變化方程揉抵！
從上述推導(dǎo)結(jié)果中，我們可以得出結(jié)論：當(dāng)參考系S'運(yùn)動(dòng)的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光速c時(shí)嗤疯，洛倫茲時(shí)空方程就變?yōu)榱速だ詴r(shí)空方程冤今，即此時(shí)回到了牛頓經(jīng)典力學(xué)！（現(xiàn)實(shí)生活中大部分都是這種情況）
同時(shí)我們也可以得出另一個(gè)結(jié)論：洛倫茲方程是連接愛因斯坦狹義相對(duì)論和牛頓經(jīng)典力學(xué)的橋梁茂缚！
六辟汰、狹義相對(duì)論案例的求解分析
推導(dǎo)完了狹義相對(duì)論中的洛倫茲變化，我們來看以下案例：
案例：在慣性坐標(biāo)系S中阱佛，有兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，且在x方向上相距1000m戴而，從另一個(gè)慣性坐標(biāo)系S'中觀察這兩個(gè)事件在x方向上相距2000m凑术，求在S'系測(cè)得這兩個(gè)事件發(fā)生的時(shí)間間隔是多少？
顯然所意，根據(jù)狹義相對(duì)論的時(shí)空觀淮逊，同時(shí)具有相對(duì)性，且根據(jù)第五點(diǎn)的分析扶踊，同時(shí)不同地方生的兩件事泄鹏，在別的參考系觀察，這兩件事一定不是同時(shí)的秧耗，下面我們通過洛倫茲變化來求解這個(gè)問題
首先由洛倫茲方程得到這兩件事件在參考系S'中x方向的距離間隔為
我們從這個(gè)方程中求解出S'坐標(biāo)系的移動(dòng)速度v备籽，則需要用上式變化出v的方程式
可以看到參考系S'的運(yùn)動(dòng)速度v是一個(gè)關(guān)于變量v的二次函數(shù)，我們可以用二次函數(shù)的求根公式來求解v分井，注意既然是二次函數(shù)车猬，我們就必須依據(jù)根的判別式來判斷根的解情況
求解出v之后，我們用洛倫茲方程就可以求出這兩個(gè)事件在參考系S'中觀測(cè)的時(shí)間間隔為
七尺锚、python編程來求解案例
通過上述推導(dǎo)分析珠闰，我們將數(shù)學(xué)語言翻譯成Python代碼即可
洛倫茲方程計(jì)算在S'中兩個(gè)事件發(fā)生的距離間隔：
洛倫茲方程計(jì)算在S'中兩個(gè)事件發(fā)生的時(shí)間間隔
計(jì)算參考系S'的移動(dòng)速度
初始化兩個(gè)事件的各個(gè)條件為
求解案例的結(jié)果為
從結(jié)果中可以看到：當(dāng)S'的運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到光速的0.8倍時(shí)，S'系中的觀察者觀察到S系中的這兩件事情發(fā)生的時(shí)間間隔大于0瘫辩，說明這兩件事在S'系中并不是同時(shí)發(fā)生的７取（同時(shí)的相對(duì)性）
案例代碼見：洛倫茲方程
