解析幾何之目~拋物線的弦和切線：2019年全國卷C題21

2019年理科數(shù)學全國卷三題21（12分）

已知曲線 $C:y=\dfrac{x^2}{2},D$ 為直線 $y=-\dfrac{1}{2}$ 上的動點颗搂，過 $D$ 作 $C$ 的兩條切線靶草，切點分別為 $A,B$ .

（1）證明：直線 $AB$ 過定點蹄胰；

（2）若以 $E(0,\dfrac{5}{2})$ 為圓心的圓與直線 $AB$ 相切，且切點為線段 $AB$ 的中點奕翔，求四邊形 $ADBE$ 的面積裕寨。

【分析】

由形入手分析，對于題設(shè)直線上的每一個點派继，可以作兩條切線宾袜。從對稱性角度分析，因為拋物線和直線關(guān)于 $y$ 軸對稱驾窟，所以庆猫，弦 $AB$ 上的這個定點一定在 $y$ 軸上。直線 $AB$ 的方程可以化為以下形式： $y=kx+b$

拋物線 $2py=x^2$ 的弦的斜率與弦的中點存在以下聯(lián)系： $p \cdot k = x_0$ . 此處 $x_0$ 代表弦的中點的 $x$ 坐標绅络。這是用平方差法推導(dǎo)得出的常用結(jié)論阅悍。

假如在保持弦的斜率不變的情況下好渠，讓弦向下移動，兩個端點會向中點靠攏节视，最終三點重合拳锚，弦就變?yōu)閽佄锞€的切線。因此寻行，以上公式對切線同樣有效霍掺， $x_0$ 代表切點的坐標。

由形入手分析拌蜘，對于 $y=-\dfrac{1}{2}$ 上每個動點杆烁，可以作出兩條切線；從代數(shù)的角度简卧，把 $D$ 點坐標作為參數(shù)兔魂，可以列出一個方程（二次方程），該方程的解與兩個切點相對應(yīng)举娩。

有了兩個切點的坐標析校，就可以寫出弦 $AB$ 的方程。假如解出兩點坐標再寫方程铜涉，計算量較大智玻。

應(yīng)用以上常用結(jié)論，可以根據(jù)弦 $AB$ 的兩個端點的坐標求出其斜率芙代。借助韋達定理吊奢，在不解二次方程的情況下，即可求出中點坐標和弦的斜率纹烹，從而得出弦 $AB$ 的方程页滚。

【解答第1問】

$y=\dfrac{x^2}{2} \;\Rightarrow 2y=x^2$

本題中，拋物線的切線的斜率與切點坐標存在如下關(guān)系： $k=x_0$ . 其中铺呵， $x_0$ 代表切點坐標逻谦。

設(shè)點 $D$ 坐標為 $(t,-\dfrac{1}{2})$ ，切點坐標可記作： $(x_1,\dfrac{x^2_1}{2}),(x_2,\dfrac{x^2_2}{2})$

兩個切點的坐標滿足以下方程：

$\dfrac{ \dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2}}{x-t}=x \;\Rightarrow \dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2}=x^2-tx$

$\Rightarrow x^2-2tx-1=0$

$x_1+x_2=2t,\; x_1x_2=-1$

$x^2_1+x^2_2=(2t)^2-2 \cdot (-1)=4t^2+2$

$y_1+y_2=\dfrac{1}{2}(x^2_1+x^2_2)=2t^2+1$

$k_{AB}=\dfrac{1}{2}(x_1+x_2)=t$

直線 $AB$ 的點斜式方程為： $y=\dfrac{1}{2}(2t^2+1) + t(x-t)=tx+\dfrac{1}{2}$

結(jié)論：直線 $AB$ 經(jīng)過定點 $(0,\dfrac{1}{2})$

【解答第2問】

本題中陪蜻，拋物線關(guān)于 $y$ 軸對稱，所以弦 $AB$ 的斜率一定是存在的贱鼻。

當 $k_{AB}=0$ 宴卖，其方程為 $y=\dfrac{1}{2}$ , 中點為 $(0,\dfrac{1}{2})$ , 滿足題設(shè)要求。

此時的 $A,B$ 坐標為 $(\pm 1, \dfrac{1}{2}), |AB|=2$

$S_{ADBE}=S_{\triangle ABE} + S_{\triangle ABD}=3$

以下考慮 $k_{AB} \neq 0$ 的情況邻悬。

設(shè)弦 $AB$ 中點 $M$ 的橫坐標為 $m$ , 應(yīng)用第1問結(jié)論症昏，直線方程為： $y=\dfrac{1}{2}+mx$

中點坐標為： $M(m,\dfrac{1}{2}+m^2)$

$EM \perp AB \;\Rightarrow k_{EM} \cdot m=-1$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2}+m^2 - \dfrac{5}{2}=-1 \;\Rightarrow m=\pm 1$

滿足條件的直線 $AB$ 的有兩條： $y=\dfrac{1}{2}+x, \quad y=\dfrac{1}{2}-x$

兩條直線關(guān)于 $y$ 軸對稱，所得四邊形面積相等父丰。

今取 $m=1,$ 方程可化為： $x-y+\dfrac{1}{2}=0$ , 點 $D$ 坐標為 $(1,-\dfrac{1}{2})$

點 $E$ 與 $AB$ 的距離： $d_1=\sqrt{2}$

點 $D$ 與 $AB$ 的距離： $d_2=\sqrt{2}$

聯(lián)立直線與拋物線方程并消元可得： $x^2-2x-1=0$

$x_1+x_2=2,\;x_1x_2=-1$

$(x_1-x_2)^2=8 \;\Rightarrow |AB|^2=8 \times (1+1)=16$

$\therefore |AB|=4$

$S_{ADBE}=S_{\triangle ABE} + S_{\triangle ABD}$

$=\dfrac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{2} \times 2 = 4 \sqrt{2}$

結(jié)論：四邊形 $ADBE$ 的面積為 $3$ 或 $4\sqrt{2}$ .

【易錯點】

本題中肝谭， $AB$ 斜率為0時掘宪，滿足題設(shè)條件，但此時 $EM$ 斜率不存在攘烛，所以很容易漏解魏滚。

為避免漏解，應(yīng)從兩個方面著手：一是多畫圖坟漱，養(yǎng)成從幾何角度分析的習慣鼠次；二是針對直線與坐標軸平行或者垂直的情況，要分情況討論芋齿，同樣要在平時的解題過程中培養(yǎng)好習慣腥寇。

【提煉與提高】

本題難度不高，卻很有典型性觅捆。韋達定理和平方差法是高中解析幾何中最重要的兩種方法赦役，在本題解答中都用到了。

本題涉及了以下幾何對象：拋物線栅炒、圓掂摔、弦、切線职辅、四邊形和三角形棒呛。

在本題中還可以看到以下典型的基本問題：求弦長、求點和直線的距離域携、求三角形和四邊形的面積簇秒。

從高考例題的角度，這是一個優(yōu)秀的考題秀鞭；從備考的角度趋观，值得多花時間體會。

最后編輯于：2021.01.14 22:10:14

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