微分方程概要

一垂谢、一階齊次線性微分方程

形如
$\frac{d y}{dx}+P(x)y=0$
其通解為
$y=c e^{-\int P{(x)}dx}$

二厦画、一階非齊次線性微分方程

形如
$\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x)$
其通解為
$y=[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]e^{-\int P(x)dx}$

常數(shù)變易法推導過程：

已知一階非齊次線性微分方程如
$\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x)$

將原方程改為一階齊次線性微分方程，即
$\frac{d y}{d x}+P(x) y=0$
? 并求出其通解滥朱，即
$y=c e^{-\int P{(x)}dx}$

在一階齊次線性微分方程的通解形式中根暑，將其中的常數(shù) $C$ 變?yōu)橐粋€關于 $x$ 的函數(shù)即
$y=c(x) e^{-\int P{(x)}dx}$

根據(jù)形式娃豹，求解 $y$ 的導數(shù)，即
$y^{\prime}=C^{\prime}(x)e^{-\int P(x)dx}-P(x)C(x)e^{-\int P(x)dx}$

將函數(shù) $y$ 购裙， $y^{\prime}$ 代入一階非齊次線性微分方程的形式之中懂版，即
$C^{\prime}(x)e^{-\int P(x)dx}-P(x)C(x)e^{-\int P(x)dx}+P(x)C(x)e^{-\int P(x)dx}=Q(x)$

$C^{\prime}(x)e^{-\int P(x)dx}=Q(x)$

$C^{\prime}(x)=Q(x)e^{\int P(x)dx}$

$C(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C$

將此 $C(x)$ 替代原來一階齊次線性微分方程 $y=c e^{-\int P{(x)}dx}$ 的 $C$ ，最終就能得到一階非齊次線性微分方程的通解形式躏率，即

$y=[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]e^{-\int P(x)dx}$

三躯畴、可降階的高階微分方程

形如 $f(x,y^{\prime},y^{\prime \prime})=0$

例1. 求 $xy^{\prime \prime}+2y^{\prime}=0$ 的通解

解：令 $y^{\prime}=p$ ， $y^{\prime \prime}= \cfrac {dp}{dx}$ 薇芝，帶入原方程

? 得 $x \frac{d p}{d x}+2 p=0\Rightarrow \frac{d p}{d x}+\frac{2}{x} p=0$

? 即其通解為 $p=C_{1} e^{-\int \frac{2}{x} dx}=C_{1} e^{-\ln x^{2}}=C_{1} e^{\ln \frac{1}{x^{2}}}=\frac{C_{1}}{x^{2}}$

? 即 $y^{\prime}=\frac{C_{1}}{x^{2}}$

? 故 $y=-\frac{C_{1}}{x}+C_{2}$

形如 $f\left(y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}\right)=0$

思路：令 $y^{\prime}=p$ 蓬抄， $y^{\prime \prime}= \cfrac {dp}{dx}$ ，由此可得 $f\left(y, p, \frac{d p}{d x}\right)=0$

? 再令 $y^{\prime \prime}=\frac{d p}{d x}=\frac{d y}{d x} \cdot \frac{d p}{d y}=p \frac{d p}{d y}$ 夯到，帶回原方程嚷缭，可得 $f\left(y, p, p \frac{d p}{d y}\right)=0$

四、線性微分方程的基本結論

首先耍贾，我們有如下定義

n階齊次線性微分方程形如
$y^{(n)}+a_{1}(x) y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}(a) y^{\prime}+a_{n}(a) y=0\tag{$*$}$
n階非齊次線性微分方程形如
$y^{(n)}+a_{1}(x) y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}(a) y^{\prime}+a_{n}(a) y=f(x)\tag{$**$}$
那么阅爽，我們有如下結論：

如果 $f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)$ ，則 $(**)$ 也能夠寫成
$y^{(n)}+a_{1}(x) y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}(a) y^{\prime}+a_{n}(a) y=f_{1}(x) \tag{$***$}$

$y^{(n)}+a_{1}(x) y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}(a) y^{\prime}+a_{n}(a) y=f_{2}(x)\tag{$****$}$
如果 $\varphi_{1}(x),···,\varphi_{s}(x)$ 為 $(*)$ 的解

則 $y=c_{1}\varphi_{1}(x)+···+c_{s}\varphi_{s}(x)$ 也為 $(*)$ 的解
如果 $\varphi_{1}(x),···,\varphi_{s}(x)$ 為 $(**)$ 的解荐开，那么有如下兩個結論：
- $c_{1}\varphi_{1}(x)+\dots+c_{s}\varphi_{s}(x)為(*)的解\Leftrightarrow C_{1}+\dots+C_{s}=0$
- $c_{1}\varphi_{1}(x)+\dots+c_{s}\varphi_{s}(x)為(**)的解\Leftrightarrow C_{1}+\dots+C_{s}=1$
如果 $\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x)$ 分別為 $(*),(**)$ 的解付翁，則 $\varphi_{1}(x)-\varphi_{2}(x)$ 為 $(*)$ 的解
如果 $\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x)$ 分別為 $(***),(****)$ 的解，則 $\varphi_{1}(x)-\varphi_{2}(x)$ 為 $(*)$ 的解

五晃听、可以求解的線性方程

二階常系數(shù)齊次線性微分方程
$y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$
此時百侧，可以求解其特征方程
$\lambda^{2}+p \lambda+q=0$
- $\Delta>0\Rightarrow \lambda_{1}\neq \lambda_{2}$
  
  則其通解形式為
  $y=C_{1} e^{\lambda_{1} x}+C_{2} e^{\lambda_{2} x}$
- $\Delta=0\Rightarrow \lambda_{1}= \lambda_{2}$
  
  則其通解形式為
  $y=(C_{1}+C_{2}x)e^{\lambda_{1}x}$
- $\Delta<0 \Rightarrow \lambda_{1,2}=\alpha \pm i \beta$
  
  則其通解形式為
  $y=e^{\alpha x} \cdot\left(C_{1} \cos \beta x+C_{2} \sin \beta x\right)$
三階常系數(shù)齊次線性微分方程
$y^{\prime \prime \prime}+p y^{\prime \prime}+q y^{\prime}+r y=0$
此時，可以求解其特稱方程
$\lambda^{3}+p \lambda^{2}+q \lambda + r=0$
- $\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$ 皆為實數(shù)單根
  
  則其通解形式為
  $y=C_{1}e^{\lambda_{1} x}+C_{2}e^{\lambda_{2} x}+C_{3}e^{\lambda_{3} x}$
- $\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$ 皆為實數(shù)能扒，但是 $\lambda_{1}=\lambda_{2} \neq \lambda_{3}$
  
  則其通解形式為
  $y=(C_{1}+C_{2}x)e^{\lambda_{1}x}+C_{3}e^{\lambda_{3} x}$
- $\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$ 皆為實數(shù)佣渴，且 $\lambda_{1}=\lambda_{2} = \lambda_{3}$
  
  則其通解形式為
  $y=(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2})e^{\lambda_{1}x}$
- $\lambda_{1}\in R,\lambda_{2,3}=\alpha \pm i \beta$
  
  其通解形式為
  $y=C_{1}e^{\lambda_{1} x}+e^{\alpha x} \cdot\left(C_{2} \cos \beta x+C_{3} \sin \beta x\right)$
二階常系數(shù)非齊次線性微分方程
$y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x)$
求解思路：
- 求解對應的二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解，即
  $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$
- 求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解

在已知二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解的情況下初斑，求通解的各階導數(shù)并帶回原方程中通過待定系數(shù)法求出各非齊次線性方程特解的各系數(shù)
非齊次方程的通解 = 齊次方程的通解 + 非齊次方程的一個特解

最后編輯于：2019.06.02 11:01:52

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