一元函數(shù)、多元函數(shù)的泰勒公式

本章涉及知識(shí)點(diǎn)：

1颂暇、一元函數(shù)的泰勒公式推導(dǎo)

2缺谴、擴(kuò)展：二元函數(shù)的泰勒公式

3、二元函數(shù)的泰勒矩陣形式

4蟀架、多元函數(shù)的泰勒矩陣形式

5瓣赂、案例演示

一榆骚、一元函數(shù)的泰勒公式推導(dǎo)

情況一：如果 $f(x)$ 為一階連續(xù)可微分片拍，且已知 $f(x_{0})$

則由微積分基本定理的Newton-Leibniz公式得

一階連續(xù)可微

即 $f(x)$ 可以拆分為已知的 $f(x_{0})$ 和未知的 $\int_{x_{0}}^{x} f^{(1)}(t)dt$ 兩部分之和

情況二：如果 $f(x)$ 為二階連續(xù)可微分煌集，且已知 $f(x_{0})$ 和 $f^{(1)}(x_{0})$

則由分部積分法得

二階連續(xù)可微

即 $f(x)$ 可以拆分為已知的 $f(x_{0})+ f^{(1)}(x_{0})(x-x_{0})$ 和未知的 $\int_{x_{0}}^{x} f^{(2)}(t) (x-t) dt$ 兩部分之和

情況三：如果 $f(x)$ 為三階連續(xù)可微分，且已知 $f(x_{0})$ 捌省、 $f^{(1)}(x_{0})$ 和 $f^{(2)}(x_{0})$

則繼續(xù)使用分部積分法得

三階連續(xù)可微

即 $f(x)$ 可以拆分為已知的 $f(x_{0})+ f^{(1)}(x_{0})(x-x_{0}) + \frac{f^{(2)}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}$ 和未知的 $\int_{x_{0}}^{x}\frac{f^{(3)}(t)}{2!}(x-t)^{2}dt$ 兩部分之和

由數(shù)學(xué)歸納法以此類推苫纤，如果 $f(x)$ 為n+1階連續(xù)可微分，則

n+1階連續(xù)可微

上式就是完美的泰勒公式纲缓，我們對(duì) $f(x)$ 的階數(shù)知道越多卷拘，則解剖的越精細(xì)

其中余項(xiàng) $R_{n+1}(x)$ 可以表示為積分形式，即

余項(xiàng)的積分形式

我們一般在數(shù)學(xué)分析學(xué)中使用泰勒二階展開祝高，即

泰勒二階展開

二栗弟、擴(kuò)展：二元函數(shù)的泰勒公式

通過類比一元函數(shù)得泰勒公式，我們?nèi)菀讓⒍瘮?shù) $f(x, y)$ 在點(diǎn) $(x_{0}, y_{0})$ 進(jìn)行二階泰勒展開來分析研究（其中 $f(x, y)$ 三階連續(xù)可微）

二元函數(shù)的二階泰勒展開

我們整理 $f(x, y)$ 一次展開項(xiàng)工闺，得

1次展開項(xiàng)

整理 $f(x, y)$ 二次展開項(xiàng)乍赫，得

2次展開項(xiàng)

則 $f(x, y)$ 在點(diǎn) $(x_{0}, y_{0})$ 進(jìn)行二階泰勒公式可以寫為：

二元函數(shù)的2階泰勒公式

由數(shù)學(xué)歸納法，易知 $f(x, y)$ 的n次展開項(xiàng)為

n次展開項(xiàng)

則 $f(x, y)$ 在點(diǎn) $(x_{0}, y_{0})$ 進(jìn)行n階泰勒公式可以寫為：

二元函數(shù)的n階泰勒公式

至此我們得到了二元函數(shù)的n階泰勒公式陆蟆，當(dāng)然雷厂，我們還可以繼續(xù)化簡得

二元函數(shù)的n階泰勒公式

三、二元函數(shù)的泰勒矩陣形式

為了便于以后研究分析多元函數(shù)的極值和凸優(yōu)化最值問題叠殷，我們需要繼續(xù)探索二元并推廣到多元函數(shù)的泰勒矩陣形式改鲫，一般展開到二階

將二元函數(shù) $f(x, y)$ 在點(diǎn) $(x_{0}, y_{0})$ 的二階泰勒公式寫為矩陣形式，即

二元函數(shù)的二階泰勒矩陣形式

我們記： $X = \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}$ 林束， $X_{0} = \begin{bmatrix}x_{0}\\ y_{0}\end{bmatrix}$

$\triangledown f(x_{0}, y_{0}) = \triangledown f(X_{0}) = \begin{bmatrix}f_{x}(X_{0})\\ f_{y}(X_{0})\end{bmatrix}$

$H(x_{0}, y_{0}) = H(X_{0})= \begin{bmatrix}f_{xx}(X_{0}) & f_{xy}(X_{0})\\ f_{yx}(X_{0}) & f_{yy}(X_{0})\\\end{bmatrix}$

則 $f(x, y)$ 在點(diǎn) $(x_{0}, y_{0})$ 的二階泰勒的矩陣形式為

二元函數(shù)的二階泰勒矩陣形式

其中H矩陣叫做 $f(x_{0}, y_{0})$ 的Hessian矩陣(黑塞矩陣)像棘，我們?cè)诙嘣瘮?shù)極值分析中再分析討論

四、多元函數(shù)的的泰勒矩陣形式

由上述二元函數(shù)的泰勒矩陣形式壶冒，我們很容易推廣到多元函數(shù)的泰勒矩陣形式

對(duì)于n元函數(shù) $f(x_{0}, x_{1},...,x_{n})$ 缕题，研究其在點(diǎn) $(a_{0}, a_{1},...,a_{n})$ 的泰勒矩陣形式

同理，我們記： $X = \begin{bmatrix}x_{0}\\ x_{1} \\...\\x_{n}\\\end{bmatrix}$ 依痊， $X_{0} = \begin{bmatrix} a_{0}\\ a_{1}\\...\\a_{n}\\\end{bmatrix}$

$\triangledown f(X_{0}) = \begin{bmatrix}f_{x_{0}}(X_{0})\\ f_{x_{1}}(X_{0})\\...\\f_{x_{n}}(X_{0} )\\\end{bmatrix}$

$H(X_{0} ) = \begin{bmatrix}f_{x_{0}x_{0} }(X_{0}) & f_{x_{0}x_{1}}(X_{0}) & ... & f_{x_{0}x_{n}}(X_{0})\\ ... & ... & ...\\f_{x_{n}x_{0}}(X_{0}) & f_{x_{n}x_{1}}(X_{0}) & ... & f_{x_{n}x_{n}}(X_{0} ) \\\end{bmatrix}$

同理避除，我們可以推出 $f(x_{0}, x_{1},...,x_{n})$ 在點(diǎn) $(a_{0}, a_{1},...,a_{n})$ 的二階泰勒的矩陣形式為

多元函數(shù)的二階泰勒矩陣形式

可以看到在矩陣形式下，多元函數(shù)的二階泰勒矩陣形式和二元函數(shù)的區(qū)別為：函數(shù)自變量的維度和Hessian矩陣的shape

且由線性代數(shù)的知識(shí)可知胸嘁，多元函數(shù)的二階泰勒矩陣形式是一個(gè)關(guān)于 $(X^T - X_{0})$ 的二次型方程瓶摆，這對(duì)于我們后面分析多元函數(shù)極值的情況非常有用

五、案例演示

下面我們以一元函數(shù)為例性宏，通過一個(gè)案例演示泰勒公式

案例函數(shù)為： $f(x) = 2\sin x + x$

已知： $f(x_{0})$ 和 $f^{1}(x_{0})群井、f^{2}(x_{0})...f^{k}(x_{0})$ 的值（注意我們只知道 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 處的k階導(dǎo)函數(shù)值，并不知道 $f(x)$ 的k階導(dǎo)函數(shù)）

未知： $f(x)$ 的函數(shù)表達(dá)式毫胜，以及 $f(x)$ 的k階導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式

需求：給定任意x逼近計(jì)算 $f(x)$

解決方案： $f(x)$ 的taylor近似計(jì)算

遞歸求fx的高階導(dǎo)函數(shù)值

計(jì)算fx的N階泰勒公式函數(shù)值

近似擬合結(jié)果

從結(jié)果中可以看到：從15階高階導(dǎo)數(shù)開始书斜，taylor公式已非常近似逼近未知的 $f(x)$

案例代碼見：一元函數(shù)的泰勒公式

最后編輯于：2019.07.08 10:42:06

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