3．十進(jìn)位小數(shù)和循環(huán)小數(shù)
? ? ? 一個十進(jìn)位小數(shù)，如果小數(shù)有n個數(shù)碼，可以寫成f＝z＋a1·10??－1＋a2·10??－2＋?＋an·10??－n．這里z是一整數(shù)．而這些a表示十分之一扮叨、百分之一等等的數(shù)碼一一 0鹏溯，1，2蒙袍，?，9．在十進(jìn)位數(shù)系中f簡記為Z．a(chǎn)1a2?an．可以看出，這些十進(jìn)位小數(shù)能寫成一個普通形式的分?jǐn)?shù)p/q形式玩郊，其中q＝10??n．例如f＝1．314＝1＋3/10＋1/100＋4/1000＝1314/1000．如果p和q有公因子，這個十進(jìn)位小數(shù)可以寫成分母是10??n的某個因子的分?jǐn)?shù)枉阵，例如0．2＝2/10＝1/5译红；0．004＝4/1000＝1/250
? 另一方面，當(dāng)不可約分?jǐn)?shù)的分母不是10的某個冪的因子時兴溜，這個分?jǐn)?shù)不能表示為有限十進(jìn)位小數(shù)侦厚，如1/3不能?成n位十進(jìn)位小數(shù)(這里n為任意的有限數(shù))耻陕，因為形如1/3＝b/10??n會推出10??n＝3b的等式，而這是荒謬的刨沦，因為3不是10的任意次冪的因子．但1/3＝0．333?＝3/10＋3/10??2＋?＋3/10??n＋3/10??(n＋1)＋?即1/3是序列｛3·10??－n｝的和诗宣，也就是說1/3可表示成10進(jìn)位小數(shù)的無限和。在數(shù)軸上想诅，我們把單位區(qū)間十等分召庞，每個長為10??－1，這時1/3在0．3和0．4之間来破，如果我們把每個長10??－1的區(qū)間再十等分篮灼，即把單位區(qū)間10??2等分，每個區(qū)間長為10??－2徘禁，這時1/3在0．33和0．34之間诅诱，這樣繼續(xù)下去，把單位區(qū)間分成10??n等分送朱，則1/3在0．3333?33(n個3)和0．3333?34［(n－1)個3］之間．當(dāng)n無限增大時娘荡，“趨向于1/3”，寫成1/3＝0．333? 由此可見一個有理數(shù)P/q可以寫成有限十進(jìn)位小數(shù)或者無限十進(jìn)位小數(shù)．如果Kq＝10??n(K為非零整數(shù))驶沼，即P被q可以除盡炮沐；否則kq不等于10??n，即p被q不可以除盡商乎，會出現(xiàn)一個無窮循環(huán)的小數(shù)央拖，所有循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)．如p＝0．33222?這個數(shù)，我們有p＝33/100＋1/1000·2(1＋10??－1＋10??－2＋?)
其中(1＋10??－1＋10??－2＋?)＝1/(1－1/10)＝10/9鹉戚，因此p＝33/100＋2·1/1000·10/9＝299/900
對于一般的循環(huán)小數(shù)p＝0．a(chǎn)1a2a3?amb1b2?bn鲜戒，我們令B＝0．b1b2?bn，使B表示這個小數(shù)的循環(huán)部分抹凳，于是p可寫成p＝0．a(chǎn)1a2?am＋10??－m·B(1＋10??－n＋10??－2n＋10??－3n＋?)
其中(1＋10??－n＋10??－2n＋?)＝1/(1－10??－n)遏餐，所以p＝0．a(chǎn)1a2?am＋10??－m·B/(1－10??－n)
可以看出來有理數(shù)與無窮級數(shù)是有密切關(guān)系的，如1＝1/2＋1/2??2＋1/2??3＋1/2??4＋?
? ? ? ? ? 9/10＋9/10??2＋9/10??3＋?＝9/10·1/(1－1/10)＝1赢底，所以0．9999?＝1．類似地失都，有限十進(jìn)位小數(shù)0．2374和無限十進(jìn)位小數(shù)0．23739999?表示同一個有理數(shù)1187/5000，這是因為0．23739999?＝0．2373＋10??－4·0·9·1/(1－1/10)＝2373/10000＋1/10000＝1187/5000．可見任何一個有限十進(jìn)位小數(shù)都可表示成無限十進(jìn)位小數(shù)幸冻。
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