同濟(jì)高等數(shù)學(xué)第七版1.7習(xí)題精講

1.當(dāng) $x\to 0$ 時舀透， $2x-x^2$ 與 $x^2-x^3$ 相比灯荧，那一個是高階無窮小量？

解：(1) $\lim_{x\to 0}\frac{2x-x^2}{x^2-x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{2-x}{x-x^2}=\infty$

所以盐杂， $x^2-x^3$ 是高階無窮小量。

2.當(dāng) $x\to 0$ 時哆窿， $（1-cosx)^2$ 與 $sin^2x$ 相比链烈，那一個是高階無窮小量？

解： $\lim_{x\to 0}\frac{(1-cosx)^2}{sin^2x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{4}x^4}{x^2}=0$ .

所以挚躯， $(1-cosx)^2$ 是高階無窮小量强衡。

3.當(dāng) $x\to 1$ 時，無窮小 $1-x$ 和 $1-x^3$ , $\frac{1}{2}(1-x^2)$ 是否同階码荔，是否等價漩勤？

解： $\lim_{x\to 1}\frac{1-x^3}{1-x}=\lim_{x\to 1}(1+x+x^2)=3$ 感挥，所以二者同階但不是等價無窮小。

$\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{2}(1-x^2)}{1-x}=1$ 越败，所以二者同階触幼，等價無窮小。

4.證明：當(dāng) $x\to 0$ 時究飞，有

(1) $arctanx \sim x$ ;(2) $secx-1 \sim \frac{x^2}{2}$

證明：(1)設(shè) $arctanx=t,x=tant,x\to 0,t\to0$

所以 $\lim_{x\to 0}\frac{arctanx}{x}=\lim_{t\to 0}\frac{t}{tant}=1$ 置谦。證明完畢。

(2) $\lim_{x\to 0}\frac{secx-1}{\frac{x^2}{2}}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{cosx}-1}{\frac{x^2}{2}}=\lim_{x\to 0}\frac{(1-cosx)2}{cosx\cdot x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2\cdot 2}{cosx\cdot x^2}=1$

5.利用等價無窮小性質(zhì)亿傅，求下列極限媒峡。

(1) $\lim_{x\to 0}\frac{tan3x}{2x}$

(2) $\lim_{x\to 0}\frac{sin(x^n)}{sin(x^m}$

(3) $\lim_{x\to 0}\frac{tanx-sinx}{sin^3x}$

(4) $\lim_{x\to 0}\frac{sinx-tanx}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+sinx}-1)}$

解：(1) $\lim_{x\to 0}\frac{tan3x}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$

(2) $\lim_{x\to 0}\frac{sin(x^n)}{sin(x^m)}=\lim_{x\to 0}\frac{x^n}{x^m}=\begin{cases}0,n>m\\1,n=m\\ \infty ,n<m \end{cases}$

(3) $\lim_{x\to 0}\frac{tanx-sinx}{sin^3x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{sinx}{cosx}-sinx}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{sinx\frac{1-cosx}{cosx}}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x\frac{\frac{1}{2}x^2}{cosx}}{x^3}=\frac{1}{2}$

(4) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{sinx-tanx}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+sinx}-1)}=\lim_{x\to 0}\frac{sinx(1-\frac{1}{cosx})}{\frac{1}{3}x^2\frac{1}{2}x}=\lim_{x\to 0}\frac{sinx(\frac{cosx-1}{cosx})}{\frac{1}{3}x^2\frac{1}{2}x}=-3$

6.證明無窮小的等價關(guān)系具有下列性質(zhì)：

(1) $\alpha \sim \alpha$

(2)若 $\alpha \sim \beta$ ，則 $\beta \sim \alpha$

(3)若 $\alpha \sim \beta葵擎，\beta \sim \gamma$ 谅阿，則 $\alpha \sim \gamma$

證明：(1) $\because \lim \frac{\alpha}{\alpha}=1$ ，問題得證酬滤。

(2) $\because \lim \frac{\alpha}{\beta}=1,\therefore \lim \frac{\beta}{\alpha}=1$ 签餐，問題得證。

(3) $\because \lim \frac{\alpha}{\beta}=1, \lim \frac{\beta}{\gamma}=1,\therefore \lim \frac{\alpha}{\gamma}=lim\frac{\alpha}{\beta}\frac{\beta}{\gamma}=1$ 敏晤，問題得證贱田。

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