? ? ? ? ? ? ? ? ? ?“圣經(jīng)中并沒有說過一切大自然的定律都可以用線性方程來表示”
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?——恩里科·費米
? 雖然教材上的數(shù)學證明題總是能基于固定的公理在有限步內(nèi)證完鸳吸，哥德爾的著名工作卻告訴我們存在著無限多根本不能這樣證出的真命題。類似的事情同樣也出現(xiàn)在物理學中策橘，不妨引用理查德·費曼的演說中的一段來表達這種困惑：
It always bothers me that, according to the laws as we understand them today, it takes a computing machine an infinite number of logical operations to figure out what goes on in no matter how tiny a region of space, and no matter how tiny a region of time. How can all that be going on in that tiny space? Why should it take an infinite amount of logic to figure out what one tiny piece of space/time is going to do??
? 乍一看這不是什么問題敦间，有限步運算本來就無法給出有界連續(xù)變量的大多數(shù)取值（反正有不可數(shù)無窮多個）瓶逃，而物理學允許做有效近似，能用有限步運算逼近到充分的精度就算是成功了廓块。但是厢绝，這并沒有完全消除疑問，費曼本人探討物理現(xiàn)象的計算機仿真時就特別提及：即使做了全面離散化也不保證仿真的有效性带猴，從而所謂有限自然假說的初衷無法滿足（拙作《一種舊科學》論及此事）代芜。不過，費曼說明的只是運算步數(shù)隨尺度指數(shù)增長浓利，在有限尺度上并不會真的發(fā)散挤庇。
? 把這種矛盾推向極端的是下面的事實：在實數(shù)域上存在無限多不可計算的連續(xù)函數(shù)，并且求導和積分不保持可計算性贷掖。描述某個物理體系的微分方程完全可以有一個不可計算的解嫡秕，不滿足“總能用有限步運算逼近到充分的精度”的條件。換言之苹威，有效的數(shù)值解都不會存在（更不用說解析解了）昆咽。這種體系更符合費曼原文描述的情況：我們非得用“無限的邏輯”才能理解“有限的時空”中的演化，即使做了近似也幫不上多大忙牙甫。
? 上世紀80年代掷酗，文獻[1]早已用機械波構(gòu)造出了初始條件可計算，但解一般不可計算的一個范例窟哺。不可計算性會導致初始條件精確已知時依然難以做長期預測泻轰，而可計算的混沌則會失去威力。顯然且轨，論起“證明決定論的失敗”“體現(xiàn)了大自然不可預測”之類的特征浮声，單純的混沌在不可計算現(xiàn)象面前根本是小巫見大巫（文獻[2]則早就對比了這兩種不可預測性虚婿，得出上述結(jié)論）。
? 引用費米的話以強調(diào)非線性研究的人可能會非秤净樱看重數(shù)值計算的作用然痊，經(jīng)驗告訴他們，面對沒有解析解的非線性方程屉符，數(shù)值近似是有力的武器——但是那同時也就不知不覺假設了算法可解性剧浸，一個同樣是“圣經(jīng)里”沒有的假設。不曉得費米倘若意識到數(shù)值計算的局限性矗钟，會不會說：憑什么大自然的規(guī)律就要都能被計算機表示呢辛蚊？上帝玩電腦上了癮？
? 存在不可計算的物理現(xiàn)象真仲，固然會使大自然顯得更加高深莫測袋马，但能有什么應用呢？在最樂觀的情況下秸应，它們可被利用于制造突破現(xiàn)有計算設備根本限制的超凡計算機——不受丘奇-圖靈論題約束的強力裝置虑凛，有時也被稱作“跨越圖靈屏障（Bypassing Turing's barrier）”。
? 顯然软啼，不可計算的物理現(xiàn)象至少可以幫助我們完成一個圖靈機做不好的任務——仿真它自己桑谍。但要做出實用的計算機，必須要說明能將有意義的難題化歸為前者祸挪。幸好锣披，這點在原理上是可行的。
? 例如贿条，先前的不可計算機械波雹仿，就曾被提議用于構(gòu)造能做超凡計算的“聲波計算機”。更具物理意義的設想則是利用廣義相對論中的Malament–Hogarth時空來進行超凡計算整以，事實上胧辽，可以證明存在一族所允許的超凡計算能力逐級遞增的時空結(jié)構(gòu)，它們依次能判定不可解度不同的集合公黑∫厣蹋看起來，計算機還有無限的潛力等待著發(fā)掘呢凡蚜。
? 只是現(xiàn)實并沒有這么樂觀人断。至今為止，圖靈屏障依然沒有被跨越朝蜘。一個常見的誤解是：因為計算機的存儲容量和運行時間是有限的恶迈，物理觀測的精度也是有限的，所以追求理想情況下的超凡計算毫無必要芹务，反正現(xiàn)實中只能做有限計算蝉绷。這并不是個正確的反對理由，超凡計算機被限制在有限狀態(tài)后枣抱，仍可能有大幅節(jié)約計算資源的優(yōu)勢熔吗。文獻[3]列舉了阻礙超凡計算可行性的一些物理因素，相對單純的“計算有限性”要更加具體合理佳晶。
?現(xiàn)在讓我們切換到悲觀角度來看問題桅狠。假如這些不可計算現(xiàn)象確實是不可利用的，可實行的計算最終還是脫離不了圖靈機的能力范圍轿秧，就回到了本文一開始所述的情形：圖靈屏障阻止我們?nèi)ァ翱辞濉币徊糠肿匀滑F(xiàn)象中跌。那么還有一件事情是很值得做的：弄清楚這種異常背后的原因（啊，對此菇篡，我完全沒有頭緒……）漩符。
參考文獻：
[1]?Advances in mathematics 39,215-239（1981）
