復(fù)合映射
對于X看幼，Y和Z三個(gè)集合嫉柴，存在映射f暂筝，g和h
其中h可以表示為先f后g的復(fù)合映射贺嫂，所以復(fù)合映射h可以表示為下面的形式坡垫，注意書寫的順序和映射復(fù)合的順序相反月腋。
流形(Manifold)
粗略的說蜂挪，一個(gè)拓?fù)淇臻g(Topological Space)再加上一個(gè)微分結(jié)構(gòu)(Differentiable structure)蛾茉，稱為流形(Manifold)权薯。
開覆蓋(Open Cover)
假定有一個(gè)拓?fù)淇臻gM姑躲，存在一個(gè)由M上的若干開集(Open Set)組成的集合
如果下式成立，則說上面這個(gè)是M的一個(gè)開覆蓋(Open Cover)
如果M上存在一個(gè)開覆蓋盟蚣，并且滿足下面兩個(gè)條件黍析，則稱M為一個(gè)n維的流形(Manifold)。
-
對于這個(gè)開覆蓋中的任意一個(gè)開集Oα屎开，存在一個(gè)從Oα到拓?fù)淇臻gRn上的某個(gè)開子集的同胚映射阐枣。(注意：Rn的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在沒有特殊聲明的時(shí)候取通常拓?fù)?Usual topology)，即可表示為開球之并的子集的集合)
-
對于開集Oα和開集Oβ奄抽，如果它們的交集不為空蔼两，則從Vα到Vβ上的復(fù)合映射的無限階連續(xù)(任意階導(dǎo)函數(shù)存在且連續(xù))。
流形(Manifold)的維數(shù)是由映射ψ決定的逞度，ψ將一個(gè)開集映射到一個(gè)幾維的空間上额划，流形的維數(shù)就是幾。
對于條件二档泽，需要特別注意這個(gè)條件中映射的原像和像的范圍俊戳。
第一個(gè)條件使得一個(gè)n維的流形(Manifold)的局部上看起來像一個(gè)Rn揖赴。
第二個(gè)條件保證了不同的開集之間的相容性，又叫做相容性條件(Compatibility condition)抑胎。
圖/坐標(biāo)系&圖冊(Chart/Coordinate System& Atlas)
對于M上的某個(gè)點(diǎn)燥滑，通過ψ映射得到了Rn上的一組數(shù)(x1,...,xn)，這一組數(shù)稱作這個(gè)點(diǎn)在ψ映射下對應(yīng)的自然坐標(biāo)圆恤。
對于M中紅色區(qū)域中的點(diǎn)突倍，在ψα和ψβ的映射下得到了(x1,...,xn)腔稀，(x1',...,xn')兩個(gè)不同的自然坐標(biāo)盆昙，而這兩個(gè)不同的自然坐標(biāo)可以通過之前提到的復(fù)合映射進(jìn)行變換，這就是所謂的坐標(biāo)變換(Coordinate transformation)焊虏。
一般將流型上的某個(gè)開集O和其對應(yīng)的映射ψ稱作一個(gè)坐標(biāo)系(Coordinate system)淡喜，或者圖(Chart)，記作(O, ψ)诵闭。
若干圖(Chart)的集合稱做圖冊(Atlas)炼团，記作{ (O1, ψ1), ..., (On, ψn) }。
例子
給定R2上的一個(gè)拓?fù)淇臻g M = R2
- 尋找一個(gè)最簡單的開覆蓋：O1 = R2疏尿。
- 尋找一個(gè)最簡單的同胚映射：ψ1 : R2 -> R2（恒等映射）
則M是一個(gè)2維流形瘟芝，其圖冊為{ (O1, ψ1) }。
可以發(fā)現(xiàn)在上面的例子中褥琐，O1在映射ψ1下的坐標(biāo)就是普通的直角坐標(biāo)锌俱。
通過在開覆蓋中給定其它滿足條件的同胚映射，可以得到不同的坐標(biāo)系(Coordinate system)或者圖(Chart)敌呈。如果要使用極坐標(biāo)來表示2維流型上的某個(gè)點(diǎn)贸宏，只需要按照上面說的找到其相應(yīng)的映射即可。
給定R2上的一個(gè)拓?fù)淇臻gS
可以按照下面的方式劃分不同的坐標(biāo)系(Coordinate system)或圖(Chart)
由于圖中四個(gè)相交的部分都等效磕洪，可以取其中一個(gè)加以證明吭练，如黃色和綠色相交的地方。黃色區(qū)域的點(diǎn)在該坐標(biāo)系下的坐標(biāo)的值為該點(diǎn)在R2下自然坐標(biāo)的橫坐標(biāo)析显，即x鲫咽，同理綠色區(qū)域的點(diǎn)在其坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為y。
對于一個(gè)從黃色區(qū)域?qū)?yīng)的坐標(biāo)系到綠色區(qū)域的坐標(biāo)變換谷异，其表達(dá)式為
顯然上式無限階連續(xù)(任意階導(dǎo)函數(shù)存在且連續(xù))
則M是一個(gè)1維流形浑侥，其圖冊為{ (O1, ψ1), (O2, ψ2), (O3, ψ3), (O4, ψ4) }。
圖冊(Atlas)
對于一個(gè)拓?fù)淇臻gM晰绎，定義了兩個(gè)不同的圖冊{ (O1, ψ1) }和{ (O2, ψ2) }寓落。
當(dāng)這兩個(gè)圖冊不相容(O1和O2的交集不為空，并且從O1到O2的復(fù)合映射不是無限階連續(xù))荞下，這個(gè)時(shí)候就在同一個(gè)拓?fù)淇臻g上定義了兩個(gè)不同流形伶选。
一開始談流形的時(shí)候說過：一個(gè)拓?fù)淇臻g再加上一個(gè)微分結(jié)構(gòu)史飞，稱為流形。那么對于這兩個(gè)流形仰税，它們的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是相同构资，不同的是它們微分結(jié)構(gòu)。
而當(dāng)這兩個(gè)圖冊相容的時(shí)候陨簇，可以把這兩個(gè)圖冊合并為一個(gè)更大的圖冊{ (O1, ψ1), (O2, ψ2) }吐绵，這樣3個(gè)圖冊定義出來流形的是一樣的。為了方便河绽，一般定義一個(gè)流形都取最大的圖冊己单。
流形間映射
假定存在一個(gè)從流形M到流形M’上的映射f，根據(jù)流形的定義耙饰，分別選定它們開覆蓋上的開集O和O'纹笼，且它們分別存在從自身到對應(yīng)維度的拓?fù)淇臻gRn和Rn'上的某個(gè)開子集的同胚映射，如下圖所示
觀察圖中的映射關(guān)系苟跪，可以發(fā)現(xiàn)映射f是ψ廷痘、g和ψ'逆映射的復(fù)合，根據(jù)流形的定義可以知道ψ和ψ'為同胚映射件已，所以要看映射f的連續(xù)性笋额，只需要看映射g的連續(xù)性，如果g是無限階連續(xù)的篷扩，則f也是無限階連續(xù)的兄猩。
之前提到，兩個(gè)拓?fù)淇臻g的映射如果是One to one和onto瞻惋，并且正反映射都是C0連續(xù)的厦滤，則稱它們是同胚的。
同樣地歼狼，兩個(gè)流形之間的映射如果是One to one和onto掏导，并且正反映射都是無限階連續(xù)的，則稱它們是微分同胚(Diffeomorphism)的羽峰。
標(biāo)量場 & 函數(shù)(Scaler Field & Function)
假定存在一個(gè)從流形M到實(shí)數(shù)域R上的映射f趟咆，則稱映射f為一個(gè)函數(shù)(Function)或者標(biāo)量場(Scaler field)。
需要特別注意梅屉，這里的函數(shù)和我們之前學(xué)的函數(shù)是不一樣的值纱。
以前我們考慮一個(gè)n元函數(shù)需要給定一個(gè)n元的自變量，換句話說就是要給定一個(gè)坐標(biāo)坯汤，而對于流形M上的同一個(gè)點(diǎn)虐唠，由于給定的坐標(biāo)系或圖不同，得到的坐標(biāo)也不同惰聂。不同的坐標(biāo)通過函數(shù)得到的函數(shù)值相同疆偿，所以這幾個(gè)函數(shù)的函數(shù)關(guān)系也不同咱筛。
所以，對于之前理解的函數(shù)杆故，他是依賴于坐標(biāo)系或圖迅箩，它是相對的。而這里的我們所提到的函數(shù)是不依賴于具體坐標(biāo)系处铛，它是絕對的饲趋。
所以為了防止混淆，把這個(gè)從流形M到實(shí)數(shù)域R上的映射f稱作標(biāo)量場更加合適撤蟆。
開子集&閉子集
如果一個(gè)子集是開子集(Open Subset)奕塑，那么它的補(bǔ)集就是閉子集(Closed Subset)。
一個(gè)集既可以是開的枫疆，也可以是閉的爵川，還能是不開不閉和即開又閉的敷鸦。
全集是開子集息楔，全集的補(bǔ)集是空子集，所以空集是閉子集扒披，而空集又是開子集值依，所以空集即開又閉，反之同理可以得到全集也是既開又閉的碟案。
連通性(Connectivity)
如果一個(gè)拓?fù)淇臻g的既開又閉的子集只有兩個(gè)愿险，則稱它是連通的(Connected)。
還有一個(gè)和上面連通性定義比較像的定義：對于一個(gè)拓?fù)淇臻g內(nèi)的任意兩點(diǎn)价说，如果它們都能夠被處于該拓?fù)淇臻g內(nèi)部的一條曲線連接辆亏，則稱它是弧連通。
這兩個(gè)定義本身是有一定區(qū)別的鳖目，不過在研究流形的時(shí)候它們是沒有區(qū)別的扮叨。
