數(shù)學(xué)的數(shù)字塞淹，類似于文字窟蓝，本質(zhì)是對時間和空間的機械劃分。數(shù)學(xué)家所操縱的所思考饱普、書寫的數(shù)字运挫，包括圖形、公式套耕、符號谁帕、圖表，都是劃分時間和空間的標(biāo)準(zhǔn)來予以接受冯袍。數(shù)學(xué)的起源匈挖，正是原始人類用限定和標(biāo)準(zhǔn)的名稱來捕捉和框定感官感受的時間和空間碾牌，正是數(shù)學(xué)的起源，人類的理解力可以征服世界了儡循。數(shù)學(xué)從誕生之日起舶吗，就反映了人的靈魂和意志。加和減择膝，是一級運算誓琼；乘和除，是二級運算肴捉；乘方腹侣、開方和對數(shù)，是三級運算每庆。

人類運用加筐带、減、乘缤灵、除伦籍、乘方、開方腮出、對數(shù)七項運算工具帖鸦，展開了對數(shù)字波瀾壯闊的挖掘史，挖掘成果稱之為數(shù)系胚嘲。

一作儿、正整數(shù)：上帝的創(chuàng)造

德國數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克曾說過：上帝創(chuàng)造了正整數(shù)，所有其余的數(shù)都是人造的馋劈。

這里面包含的就是大家熟知的1攻锰，2，3妓雾，...為什么說是上帝創(chuàng)造的娶吞？事實上，正整數(shù)是一種客觀存在械姻，不同的文明只是提出了正整數(shù)不同的寫法而已妒蛇。但無論是哪種寫法，正整數(shù)的性質(zhì)是不會變化的楷拳。比如一堆蘋果6個绣夺，不管用何種表示，兩個兩個分總是能分完不剩欢揖。以正整數(shù)為基礎(chǔ)陶耍，可以從邏輯上來引入所有其它的數(shù)。

二浸颓、十進制自然數(shù)：加法和乘法工具的挖掘

有了加法和乘法之后物臂，人們發(fā)現(xiàn)：任意兩個數(shù)相加或相乘旺拉，其得數(shù)必大于這兩個數(shù)(我們的祖先在這個時候還沒有發(fā)明負數(shù))，這樣就能不斷創(chuàng)造一個更大的數(shù)棵磷，于是一個偉大的結(jié)論出現(xiàn)了：數(shù)是無窮的蛾狗。而這樣的數(shù)正是自然數(shù)。那么仪媒，怎樣才能用有限的數(shù)字符號來代表所有的自然數(shù)呢沉桌？答案是需要進制。

當(dāng)前全世界通用的十進制數(shù)字是古印度人發(fā)明的算吩。從公元前2500到公元前1750年的哈拉帕文化時期開始留凭，古印度人就采用十進制計數(shù)法。他們先是發(fā)明了1—9這九個數(shù)字符號和定位計數(shù)法偎巢，后又提出了零的理論和作為演算基點的十進制蔼夜。有了十進制，所需要的計數(shù)符號僅為0压昼，1求冷，2，3……9窍霞。中亞許多民族都逐漸采用了這個簡便的計數(shù)方法匠题。后來，阿拉伯人征服印度但金，對印度的10個數(shù)字加以修改韭山，傳到了歐洲，印度數(shù)字及其計算方式就逐漸演變成為現(xiàn)今世界通用的阿拉伯計數(shù)法了冷溃。

三钱磅、整數(shù)：減法工具挖掘負數(shù)

小數(shù)減大數(shù)，產(chǎn)生了負數(shù)似枕。人類在自然數(shù)上停留了很長時間续搀，因為它對于加法是夠用的，即使后來人類發(fā)明了乘法菠净，自然數(shù)系也依然夠用。換句話說彪杉，所有自然數(shù)通過加法和(或)乘法運算所得到的數(shù)依然是自然數(shù)毅往。但后來人類不可避免地發(fā)明了減法。當(dāng)然派近，自然數(shù)對于部分減法運算也是夠用的攀唯，譬如：6-4=2，15-3=12渴丸，但若遇到像2-3侯嘀，3-5這樣的情況就束手無策了另凌。于是負數(shù)就應(yīng)運而生了，從此數(shù)系從自然數(shù)擴充到了整數(shù)戒幔。

在歐洲一些數(shù)學(xué)家無法撩開負數(shù)的面紗吠谢，但也有一些思想開放的數(shù)學(xué)家逐漸讀懂了負數(shù)的內(nèi)涵。意大利數(shù)學(xué)家邦別利在《代數(shù)學(xué)》（1572年）一書中正式給出了負數(shù)的明確定義诗茎。荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾在《代數(shù)新發(fā)現(xiàn)》（1629年）中第一次提出了代數(shù)的基本定理工坊，最早指出一元n次方程有n個根，他是歐洲最早承認方程負根的數(shù)學(xué)家敢订，同時第一個提出用負號“－”表示負數(shù)王污。從此，負數(shù)符號“－”逐漸得到人們的公認楚午，一直沿用至今昭齐。直到17世紀(jì)，笛卡兒創(chuàng)立了坐標(biāo)系矾柜，負數(shù)獲得了幾何解釋和實際意義阱驾，才逐漸得到了公認。

四把沼、有理數(shù)：除法工具挖掘分?jǐn)?shù)

加法的逆運算減法被發(fā)明之后啊易，乘法的逆運算除法也如期而至，當(dāng)然也遇到了與減法相同的問題：類似于5÷2的計算結(jié)果是多少饮睬，顯然租谈，它位于2和3之間，不是一個整數(shù)捆愁，于是人們發(fā)明了分?jǐn)?shù)(有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù))去表示這樣的運算結(jié)果割去。從此，數(shù)系由整數(shù)擴充到了有理數(shù)昼丑。

五呻逆、實數(shù)：乘方和開方工具挖掘無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)合稱實數(shù)菩帝。

從自然數(shù)系擴充到有理數(shù)系似乎是必然的結(jié)果咖城，貌似所有的數(shù)都被有理數(shù)系包涵了，古希臘的數(shù)學(xué)家們尤其這樣認為呼奢。古希臘時期的畢達哥拉斯(約公元前580年-公元前500年）將數(shù)學(xué)知識運用得純熟之后宜雀，覺得不能只滿足于用來算題解題，于是他試著從數(shù)學(xué)領(lǐng)域擴大到哲學(xué)握础，用數(shù)的觀點去解釋一下世界辐董。經(jīng)過一番刻苦實踐，他提出“萬物皆為數(shù)”的觀點：數(shù)的元素就是萬物的元素禀综，世界是由數(shù)組成的简烘，世界上的一切沒有不可以用數(shù)來表示的苔严，數(shù)本身就是世界的秩序。而他所說的數(shù)孤澎，都可表示為整數(shù)或整數(shù)之比届氢，即有理數(shù)。但不久之后亥至，其“萬物皆為數(shù)”的觀點受到了致命的沖擊悼沈，而帶來這沖擊的這是畢達哥拉斯的門徒--希帕索斯。

希帕索斯在研究勾股定理時發(fā)現(xiàn)姐扮，如果直角三角形兩條直角邊都為1絮供，那么，它的斜邊的長度（平方數(shù)字是2的數(shù)字）就不能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比茶敏。

更令畢達哥拉斯啼笑皆非的壤靶，是希帕索斯居然用數(shù)學(xué)方法證實了這種新數(shù)存在的合理性，后來被命名為無理數(shù)惊搏。希帕索斯經(jīng)洞察力獲得的這一成果贮乳，本應(yīng)被畢達哥拉斯所接受，然而恬惯，畢達哥拉斯始終不愿承認自己的錯誤向拆，卻又無法經(jīng)由邏輯推理推翻希帕索斯的論證。然而更使他終身蒙羞的是酪耳，他竟然判決將希帕索斯淹死浓恳。這就是人類數(shù)學(xué)的第一次危機。對無理數(shù)的畏懼碗暗，將希臘人研究數(shù)學(xué)的視野緊緊局限于幾何中颈将。

無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)確實帶有一定的戲劇性，并且人類為此付出了生命的代價言疗，但從運算的角度來說晴圾，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)也會是一個必然。就像加法有其簡便運算乘法噪奄，乘法也有它的簡便運算死姚，那就是乘方，譬如：4+4+4+4=4×4=4^2勤篮。就像加法有逆運算減法知允，乘法有逆運算除法，乘方也有其逆運算——開方叙谨。人們發(fā)現(xiàn)每個有理數(shù)通過乘方（正整數(shù)次相乘）都能得到另一個有理數(shù)，然而開方卻不能保屯，譬如前面講到的手负，它是一個無限不循環(huán)小數(shù)涤垫，無法用整數(shù)或整數(shù)之比來表示，不是有理數(shù)的竟终。人們把無法用整數(shù)或整數(shù)之比來表示的無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)蝠猬。數(shù)系因此再次得到擴充，引入無理數(shù)统捶，擴充到實數(shù)系榆芦。

有理數(shù)的命名來源也頗有趣味。有理數(shù)在古希臘的名稱意為“成比例的數(shù)”喘鸟，英文翻譯為“rational number”,到了日本就翻譯成了“有理數(shù)”匆绣，因為“rational”更通俗的翻譯為“理性的”，國人那時便以訛傳訛什黑，直接照搬了過來崎淳。但仔細想想，這樣的翻譯也獨有韻味愕把，當(dāng)然拣凹，與有理數(shù)相對應(yīng)的數(shù)被稱作無理數(shù)也無可厚非了。

六恨豁、復(fù)數(shù)：解方程挖掘虛數(shù)嚣镜，虛數(shù)和實數(shù)共同構(gòu)成復(fù)數(shù)

虛數(shù)(Imaginary number)，直譯過來就是“想象中的數(shù)”橘蜜。在數(shù)學(xué)史上菊匿，有一段時間內(nèi)，虛數(shù)不被人們所接受扮匠，被認為是荒謬的數(shù)字捧请。直到公元16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達諾發(fā)表了一般三次方程的求解公式棒搜，從此虛數(shù)開始萌芽而生疹蛉，1637年，笛卡爾首先給出了“Imaginary number”這個命名力麸，而命名為虛數(shù)的原因可款，正是因為在當(dāng)時的觀念里這是不存在的數(shù)。到了1777年克蚂，歐拉出現(xiàn)了闺鲸，他在自己的論文中首次用“i”表示根號下負一。這里的“i”就被稱作是“虛數(shù)單位”埃叭，i2=-1摸恍。

復(fù)數(shù)(Complex number)，指二元有序?qū)崝?shù)對(a,b) ，記為z=a+bi,這里a和b是實數(shù)立镶，i是虛數(shù)單位壁袄。在復(fù)數(shù)a+bi中，a=Re(z)稱為實部媚媒，b=Im(z)稱為虛部嗜逻。當(dāng)虛部等于零時，這個復(fù)數(shù)可以視為實數(shù);當(dāng)z的虛部不等于零時缭召，實部等于零時栈顷，常稱z為純虛數(shù)。正如負數(shù)可以解釋反向等特征嵌巷，虛數(shù)可以描述一些實際問題中的振蕩萄凤、周期性和旋轉(zhuǎn)等特征。1830年晴竞，高斯詳細論述了用直角坐標(biāo)系復(fù)平面上的點來表示復(fù)數(shù)蛙卤，使虛數(shù)有了立足之地，人們才真正承認了虛數(shù)噩死。

到今天颤难，復(fù)數(shù)（實數(shù)和虛數(shù)）已經(jīng)成為現(xiàn)代科技中普遍運用的數(shù)學(xué)工具之一。