數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之排序

排序作為計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)中的一種重要運(yùn)算，在實(shí)際中應(yīng)用很廣耗帕，據(jù)-統(tǒng)計(jì)穆端，計(jì)算機(jī)處理的25%的機(jī)時(shí)是用于排序的。

1仿便、排序的分類

根據(jù)排序中所涉及的存儲(chǔ)器体啰，可將排序分為內(nèi)部排序和外部排序兩大類
1、內(nèi)部排序：排序過(guò)程中嗽仪，所有記錄都放在內(nèi)存中處理的是內(nèi)部排序荒勇。
2、外部排序：當(dāng)待排序的記錄太多闻坚，排序是不僅要使用內(nèi)存沽翔，而且還要使用外部存儲(chǔ)器的排序方法是外部排序。

2窿凤、排序算法的性能分析

  • 穩(wěn)定性
    1仅偎、穩(wěn)定：如果待排序的記錄中，存在多個(gè)關(guān)鍵字相同的記錄雳殊，經(jīng)排序后這些記錄的相對(duì)次序仍然保持不變橘沥。
    2、不穩(wěn)定：如果待排序的值中夯秃，存在多個(gè)關(guān)鍵字相同的值威恼，經(jīng)排序后這些值的相對(duì)次序發(fā)生改變品姓，稱為不穩(wěn)定的排序。
  • 時(shí)間復(fù)雜度
    1箫措、 時(shí)間復(fù)雜度可以認(rèn)為是對(duì)排序數(shù)據(jù)的總的操作次數(shù)腹备。反映當(dāng)n變化時(shí)，操作次數(shù)呈現(xiàn)什么規(guī)律斤蔓。
    2植酥、常見(jiàn)的時(shí)間復(fù)雜度有：常數(shù)階O(1),對(duì)數(shù)階O(log2n),線性階O(n), 線性對(duì)數(shù)階O(nlog2n),平方階O(n2)。
    3弦牡、時(shí)間復(fù)雜度O(1)：算法中語(yǔ)句執(zhí)行次數(shù)為一個(gè)常數(shù)友驮，則時(shí)間復(fù)雜度為O(1)。
  • 空間復(fù)雜度
    1驾锰、算法在計(jì)算機(jī)內(nèi)執(zhí)行時(shí)所需存儲(chǔ)空間的度量卸留，它也是問(wèn)題規(guī)模n的函數(shù)。
    2椭豫、空間復(fù)雜度O(1)：當(dāng)一個(gè)算法的空間復(fù)雜度為一個(gè)常量耻瑟，即不隨被處理數(shù)據(jù)量n的大小而改變時(shí)，可表示為O(1)赏酥。
    3喳整、空間復(fù)雜度O(log2N)：當(dāng)一個(gè)算法的空間復(fù)雜度與以2為底的n的對(duì)數(shù)成正比時(shí)，可表示為O(log2n) ax=N裸扶，則x=logaN框都。
    4、空間復(fù)雜度O(n)：當(dāng)一個(gè)算法的空間復(fù)雜度與n成線性比例關(guān)系時(shí)呵晨，可表示為0(n)魏保。

  • 復(fù)雜度分析：
    1.png

3、排序算法

3.1摸屠、冒泡排序（Bubble Sort）

基本思路：從R1開(kāi)始囱淋，兩兩比較相鄰值的關(guān)鍵字，即比較Ri和Ri+1（i=1餐塘，2妥衣，...，n-1）的關(guān)鍵字大小戒傻，若逆序（如Ki > Ki+1）,則交換Ri 和Ri+1的位置税手，如此經(jīng)過(guò)一趟排序，關(guān)鍵字最大的記錄被安置在最后一個(gè)位置（Rn）上需纳。然后再對(duì)前n-1個(gè)記錄進(jìn)行同樣的操作芦倒，具有次大關(guān)鍵字的值被安置在Rn-1上。如此反復(fù)不翩。

void BobbleSort(int array[],int N){
    bool bExchangeFlag;
    for (int i = 1; i < N; i++) { //最多做length-1趟排序
          bExchangeFlag = false; //
        for (int j = 0; j < N - i; j++) {
            if (array[j] > array[j+1]) {
                swap(&array[i], &array[j+1]);
                bExchangeFlag = true;
            }
        }
        if (!bExchangeFlag) {//本趟排序未發(fā)生交換兵扬，則提前終止算法
            break;
        }
    }
}
3.1.1麻裳、性能分析

穩(wěn)定性：不穩(wěn)定
分類：內(nèi)排序
時(shí)間復(fù)雜度
(1)最好情況：O(n)--正好是正序的，不需要交換數(shù)據(jù)
(2)最壞情況：O(n^{2})--逆序
(3)平均復(fù)雜度：O(n)
(4)空間復(fù)雜度：O(1)

3.2器钟、插入排序（Insertion Sort）

基本思路：構(gòu)建有序序列津坑，對(duì)于未排序數(shù)據(jù)，在已排序中從后向前掃描傲霸，找到相應(yīng)位置插入疆瑰，直到將未排序隊(duì)列過(guò)濾完畢。
排序過(guò)程如下：


2.png
void Insertion_Sort(int array[],int N){
    for (int p = 1; p < N; p++) {
        int temp = array[p];
        int I;
        for (i = p; p > 0 && array[i-1] > temp; i--) {
            array[i] = array[i-1];
        }
        array[i] = temp;
    }
}
3.2.1昙啄、性能分析

穩(wěn)定性：穩(wěn)定
分類：內(nèi)排序
時(shí)間復(fù)雜度
(1)最好情況：O(n)--當(dāng)待排序數(shù)組是有序時(shí)
(2)最壞情況：O(n^{2}))--待排序數(shù)組是逆序時(shí)
(3)平均復(fù)雜度：O(n)
(4)空間復(fù)雜度：O(1)

3.3穆役、希爾排序（Shell Insertion Sort）

基本思路：定義增量序列D _{M} > D _{M-1}>...>D _{1} = 1,對(duì)每個(gè)D _{k}進(jìn)行“D _{k}間隔”插入排序_{(k=M,M-1,...1)}。
注意：“D _{k}間隔”有序的序列梳凛，在執(zhí)行“D _{k-1}間隔”排序后耿币，仍然是“D _{k}間隔”有序的。
排序過(guò)程如下：

3.png

#include<stdio.h>
#include <math.h>
#define MAXNUM 10
//根據(jù)當(dāng)前增量進(jìn)行插入排序
void shellInsert(int array[],int n,int dk)
{
    int i,j,temp;
    for(i=dk;i<n;i++)//分別向每組的有序區(qū)域插入
    {
        temp=array[I];
        for(j=i-dk;(j>=i%dk)&&array[j]>temp;j-=dk)//比較與記錄后移同時(shí)進(jìn)行
            array[j+dk]=array[j];
        if(j!=i-dk)
            array[j+dk]=temp;//插入
    }
}

//計(jì)算Hibbard增量
int dkHibbard(int t,int k)
{
    return (int)(pow(2,t-k+1)-1);
}
 
void Shell_Sort(int array[],int n,int t)
{
    for(int i=1;i<=t;i++)
       shellInsert(array,n,dkHibbard(t,i));
}

void ShellSort(void){
    int array[] = {1,10,3,5,4,2,15,9,54,18};
    Shell_Sort(array,MAXNUM,(int)(log(MAXNUM+1)/log(2)));//排序趟數(shù)應(yīng)為log2(n+1)的整數(shù)部分
       for(int i = 0;i< MAXNUM;i++)
           printf("%d ",array[I]);
}

再看一個(gè)序列：1 9 2 10 3 11 4 12 5 13 6 14 7 15 8 16


4.png

可以看到增量元素不互質(zhì)韧拒，則小增量可能不起作用淹接，所以選擇增量序列模式很重要。
目前主流增量序列：
Hibbard 增量序列：D_{k}=2^{k} - 1 相鄰元素互質(zhì)
最壞情況：T = O(N^{5/4})
猜想：T_{avg} = O(N^{3/2})
Sedgewick 增量序列：{1,5,19,41,109,...}
9\times4^{i}-9\times 2^{i}+1或4^{i}-3\times2^{i}+1
猜想：T _{avg} = O(N^{7/6})叭莫，T _{worst} = O(N^{4/3})

3.3.1、性能分析

穩(wěn)定性：不穩(wěn)定
分類：內(nèi)排序
時(shí)間復(fù)雜度
(1)最好情況：O(n)
(2)最壞情況：O(n^{2})
(3)平均復(fù)雜度：O(n)
(4)空間復(fù)雜度：O(1)

3.4烁试、快速排序（Shell Insertion Sort）

基本思路：設(shè)要排序的數(shù)組是A[0]……A[N-1]雇初，首先任意選取一個(gè)數(shù)據(jù)（通常選用數(shù)組的最后一個(gè)數(shù)）作為關(guān)鍵數(shù)據(jù)，然后將所有比它小的數(shù)都放到它左邊减响，所有比它大的數(shù)都放到它右邊靖诗，將該數(shù)組分成2個(gè)數(shù)組，再遞歸的處理左邊數(shù)組和右邊數(shù)組支示。
排序過(guò)程如下：


5.png
int Median(int array[],int left,int right){
        int center = (left + right)/2;
        if (array[left] > array[center]) {
            swap(&array[left], &array[center]);
        }
        if (array[left] > array[right]) {
            swap(&array[left], &array[right]);
        }
        if (array[center] > array[right]) {
            swap(&array[center], &array[right]);
        }
        swap(&array[center], &array[right - 1]);
        return array[right - 1];
}

void QickSort(int array[],int left,int right){
    
    if (1 < right-left) {
         int pivot = Median(array, left, right);
         int i = left;
         int j = right - 1;
         for (;;) {
             while (array[++i] < pivot) {}
             while (array[--j] > pivot) {}
             if (i < j) {
                 swap(&array[i], &array[j]);
             }else{
                 break;
             };
         }
         swap(&array[i], &array[right - 1]);
         QickSort(array, left, i-1);
         QickSort(array, i+1, right);
    }
}

void quick_sort(int array[],int N){
     QickSort(array, 0, N - 1);
}

void quicksort(void){
   int tree[] = {1,10,3,5,4,2,15,9,54,18};
   int n = 10;
   quick_sort(tree, 10);
   for (int i = 0; i < n; i++) {
       printf("%d ",tree[I]);
   }
}
3.4.1刊橘、性能分析

穩(wěn)定性：不穩(wěn)定
分類：內(nèi)排序
時(shí)間復(fù)雜度
(1)最好情況：O(nlog_{2}n)--當(dāng)待排序數(shù)組是有序時(shí)
(2)最壞情況：O(n^{2})--待排序數(shù)組是逆序時(shí)
(3)平均復(fù)雜度：O(nlog_{2}n)
(4)空間復(fù)雜度：O(nlog_{2}n)

3.5、直接選擇排序（Selection Sort）

基本思路：從待排序的數(shù)據(jù)元素中選擇最兴毯琛（或最大）的一個(gè)元素作為首元素促绵，把它與第一元素交換存儲(chǔ)位置，然后再在余下的元素中選出此小的嘴纺，把它與第二元素交換败晴，以此類推，直到排序完成栽渴。
排序過(guò)程如下：


5.png
void Select_Sort(int array[],int N){
    int nMinIndex;//用于記錄最小元素的下標(biāo)值
    for(int i = 0;i < N - 1;i++){
        nMinIndex = I;
        for (int j = i + 1; j < N; j++) {
            if (array[j] < array[nMinIndex]) {
                nMinIndex = j;
            }
        }
        if (nMinIndex != i) {
            swap(&array[nMinIndex], &array[I]);
        }
    }
}
3.5.1尖坤、性能分析

穩(wěn)定性：不穩(wěn)定
分類：內(nèi)排序
時(shí)間復(fù)雜度
(1)最好情況：O(n^{1.3})--當(dāng)待排序數(shù)組是有序時(shí)
(2)最壞情況：O(n^{2})--待排序數(shù)組是逆序時(shí)
(3)平均復(fù)雜度：O(n)
(4)空間復(fù)雜度：O(1)

3.6、歸并排序（Merge Sort）

基本思想：指的是將兩個(gè)順序序列合并成一個(gè)順序序列的排序方法闲擦。
歸并排序的實(shí)現(xiàn)方法：
3.6.1遞歸方法

6.png
//L = 左邊起始位置慢味，R= 右邊起始位置场梆，RightEnd 右邊終點(diǎn)位置
void Merge(int Array[],int TempArray[],int L,int R,int RightEnd){
    int LeftEnd = R - 1;
    int Temp = L; //存放結(jié)果數(shù)組的起始位置
    int NumCount = RightEnd - L + 1;
    while (L<=LeftEnd && R <= RightEnd) {
        if (Array[L] <= Array[R]) {
            TempArray[Temp++] = Array[L++];
        }else{
            TempArray[Temp++] = Array[R++];
        }
    }
    
    while(L <= LeftEnd) { //直接復(fù)制左邊剩下的元素
         TempArray[Temp++] = Array[L++];
    }
    while(R <= RightEnd) {//直接復(fù)制右邊剩下的元素
         TempArray[Temp++] = Array[R++];
    }
    
    for(int i = 0;i < NumCount;i++,RightEnd--){
        Array[RightEnd] = TempArray[RightEnd];
    }
}

void MSort(int Array[],int TempArray[],int L,int RightEnd){
    int Center;
    if (L < RightEnd) {
        Center = (L + RightEnd)/2;
        MSort(Array, TempArray, L, Center);
        MSort(Array, TempArray, Center+1, RightEnd);
        Merge(Array, TempArray, L, Center+1, RightEnd);
    }
}

void Merge_Sort(int Array[],int N){
    int *tempArray = (int *)malloc(N*sizeof(int));
    if (tempArray != NULL) {
        MSort(Array, tempArray, 0, N-1);
    }
}

3.6.2非遞歸方法


7.png
void MergePass(int Array[],int TempArray[],int L,int R,int RightEnd){
    int LeftEnd = R - 1;
    int Temp = L; //存放結(jié)果數(shù)組的起始位置
    int NumCount = RightEnd - L + 1;
    while (L<=LeftEnd && R <= RightEnd) {
        if (Array[L] <= Array[R]) {
            TempArray[Temp++] = Array[L++];
        }else{
            TempArray[Temp++] = Array[R++];
        }
    }
    
    while(L <= LeftEnd) { //直接復(fù)制左邊剩下的元素
         TempArray[Temp++] = Array[L++];
    }
    while(R <= RightEnd) {//直接復(fù)制右邊剩下的元素
         TempArray[Temp++] = Array[R++];
    }
}

void Merge_pass(int array[],int TempArray[],int N,int length){ //有序序列長(zhǎng)度
    for (int i = 0; i < N - 2*length; i +=2*length) {
        Merge(array, TempArray, i, i+length, i + 2*length - 1);
        if (i + length < N) {
            MergePass(array, TempArray, i, i + length, N-1);
        }else{
            for (int j = i; j < N; j++) {
                TempArray[j] = array[j];
            }
        }
    }
}


void Merge_no_recursion_Sort(int Array[],int N){
    int length = 1;//子序列長(zhǎng)度
    int *tempArray = (int *)malloc(N*sizeof(int));
    if (tempArray != NULL) {
        while (length < N) {
            Merge_pass(Array, tempArray, N, length);
            length *= 2;
            Merge_pass(tempArray, Array, N, length);
            length *= 2;
        }
        free(tempArray);
    }
}
3.6.3、性能分析

性能分析：
穩(wěn)定性：穩(wěn)定
分類：內(nèi)排序
時(shí)間復(fù)雜度
(1)最好情況：O(nlog _{} n)
(2)最壞情況：O(nlog _{} n)
(3)平均復(fù)雜度：O(nlog _{} n)
(4)空間復(fù)雜度：O(n)

3.7纯路、計(jì)數(shù)排序（Count Sort）

計(jì)數(shù)排序是一種非比較排序算法或油，它的優(yōu)勢(shì)在于在對(duì)一定范圍內(nèi)的整數(shù)排序時(shí)，它的復(fù)雜度為Ο(n+k)（其中k是整數(shù)的范圍）感昼，快于任何比較排序算法装哆。當(dāng)然這是一種犧牲空間換取時(shí)間的做法，而且當(dāng)O(k)>O(n*log(n))的時(shí)候其效率反而不如基于比較的排序定嗓。

基本思想：計(jì)數(shù)排序的基本思想就是對(duì)每一個(gè)輸入元素x蜕琴，確定小于x的元素個(gè)數(shù)，我們就可以直接把x放到最終輸出數(shù)組中的相應(yīng)位置上宵溅。
排序過(guò)程：
1凌简、查詢待數(shù)組中的最大值和最小值，根據(jù)最大元素和最小元素的差值（max-min+1）,申請(qǐng)額外空間恃逻。
2雏搂、遍歷待排序數(shù)組，將每一個(gè)元素出現(xiàn)次數(shù)（value）記錄到元素值（key）對(duì)應(yīng)的額外空間內(nèi)寇损。
3凸郑、從額外空間的第二個(gè)元素開(kāi)始，將當(dāng)前元素個(gè)數(shù)加上前一個(gè)元素的個(gè)數(shù)矛市，即可確定序列中值小于x的元素的個(gè)數(shù)芙沥，也就確定了元素x的位置。
4浊吏、將待排序數(shù)組的元素倒序移動(dòng)到新數(shù)組中而昨。

示例：


8.png
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#define MAXNUM 10
void Count_Sort(int Array[],int N){
    int Max = Array[0];
    int Min = Array[0];
    for (int i = 1; i < N-1; i++) {
        if (Array[i] >= Max) {
            Max = Array[i];
        }else if(Array[i] <= Min){
            Min = Array[i];
        }
    }
    int size = Max - Min +1;
    int* Array_B = (int*)malloc(size*sizeof(int));
    memset(Array_B, 0, sizeof(int)*size);
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        Array_B[Array[i] - Min]++;
    }
    
    for (int i = 1; i < size; i++) {
        Array_B[i] = Array_B[i] + Array_B[i - 1];
    }
      
    int* Array_C= (int *)malloc((N)*sizeof(int));
    memset(Array_C, 0, sizeof(int)*size);
    for (int i = N-1; i >= 0; i--) {
         Array_B[Array[i] - Min]--;
         Array_C[Array_B[Array[i] - Min]] = Array[i];
     }
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        Array[i] = Array_C[i];
    }
    free(Array_B);
    free(Array_C);
    Array_B = NULL;
    Array_C = NULL;
}

void CountSort(void){
    int array[] = {1,10,3,5,4,2,15,9,54,18};
    Count_Sort(array,MAXNUM);//排序趟數(shù)應(yīng)為log2(n+1)的整數(shù)部分
       for(int i = 0;i< MAXNUM;i++)
           printf("%d ",array[i]);
}
3.8、基數(shù)排序（Radix Sort）

基本思想：將整數(shù)按位數(shù)切割成不同的數(shù)字找田，然后按每個(gè)位數(shù)分別比較歌憨。
排序過(guò)程：
1、所有待排序整數(shù)統(tǒng)一成位數(shù)相同的數(shù)值墩衙，位數(shù)不夠的整數(shù)需要將缺位補(bǔ)零务嫡。
2、從低位開(kāi)始比較漆改，依此進(jìn)行排序植袍。
3、從低位到高位比較完成后籽懦，待排序數(shù)組就是一個(gè)有序數(shù)組于个。


//獲取數(shù)字位數(shù)
#include <math.h>
#define MAXNUM 10
int getLoopTimes(int num){
    int count = 1;
    int temp = num/10;
    while (temp != 0) {
        count++;
        temp = temp/10;
    }
    return count;
}
//查詢數(shù)組中的最大值
int findMaxNum(int *p,int n){
    int max = 0;
    for (int i = 0;i < n;i++) {
        if (*(p + i) > max) {
            max = *(p+i);
        }
    }
    return max;
}

void Radix_Sort(int *p,int n,int loop){
    int buckets[10][MAXNUM] = {};//建立一組桶此處的MAXNUM是預(yù)設(shè)的根據(jù)實(shí)際數(shù)情況修改，
    int tempNum = (int)pow(10,loop - 1);//求整數(shù)各占位的數(shù)字
    for (int i= 0; i < n; i++) {
        int row_index = (*(p + i)/tempNum)%10;
        for (int j = 0;j < MAXNUM;j++) {
            if(buckets[row_index][j] == 0) {
                buckets[row_index][j] = *(p + i);
                break;
            }
        }
    }
    int k = 0;
    for (int i = 0; i < 10; i++) {
        for (int j = 0; j < MAXNUM; j++) {
            if (buckets[i][j] != 0) {
                *(p + k) = buckets[i][j];
                buckets[i][j] = 0;
                k++;
            }
        }
    }
}

void bucketSort(int *p,int n){
    int maxNum = findMaxNum(p, n);//獲取數(shù)組中的最大數(shù)
    int loopTimes = getLoopTimes(maxNum);//獲取最大數(shù)的位數(shù)
    for (int i = 1;i <= loopTimes;i++) {
        Radix_Sort(p, n, i);
    }
}

void RadixSort(){
     int array[] = {512,240,666,520,43,76};
     int *array_p = array;
     int size = sizeof(array)/sizeof(int);
     bucketSort(array_p, size);
     for(int i = 0; i < size; i++){
        printf("%d\n", array[i]);
     }
}
3.8暮顺、桶排序（Bucket Sort）

基本思想：根據(jù)元素值特性將待排序集合拆分成多個(gè)區(qū)域厅篓，將這些區(qū)域稱為桶秀存，這些值域（桶）是處于有序的狀態(tài)。對(duì)桶中元素進(jìn)行排序后羽氮，所以元素就處于有序狀態(tài)了或链。
思想交換：
1、快速排序是將待排序集合拆分成兩個(gè)值域（桶）（一個(gè)有序隊(duì)列档押，一個(gè)無(wú)序隊(duì)列澳盐，也可以說(shuō)是兩個(gè)桶），分別對(duì)兩個(gè)值域（桶）進(jìn)行排序令宿，有一點(diǎn)不同的是快排是原地排序叼耙，是對(duì)集合本身排序，而桶排序是多個(gè)值域（桶）粒没，對(duì)每個(gè)值域（桶）排序筛婉，桶排序需要額外的空間，在額外空間對(duì)桶進(jìn)行排序癞松，避免構(gòu)建桶的過(guò)程的元素交換和比較爽撒，同時(shí)可以自主選擇恰當(dāng)?shù)呐判蛩惴ā?br> 2、對(duì)計(jì)數(shù)排序的改進(jìn)响蓉，計(jì)數(shù)排序也需要額外操作空間硕勿，額外空間跨度從最小值到最大值，如果待排序序列不是依次遞增的枫甲，就會(huì)造成操作空間的浪費(fèi)源武。桶排序則弱化操作空間的浪費(fèi)，將從最小值到最大值每個(gè)值都申請(qǐng)空間言秸，改進(jìn)成從最小值到最大值按照一定數(shù)值特性分成固定區(qū)域申請(qǐng)空間软能，盡量減少由于元素值不連續(xù)而造成的空間浪費(fèi)迎捺。
桶排序過(guò)程中兩個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)【1】：
1举畸、元素值域的劃分，也就是元素到桶的映射規(guī)則凳枝。映射規(guī)則需要根據(jù)待排序集合的元素分布特性進(jìn)行選擇抄沮，若規(guī)則設(shè)計(jì)的過(guò)于模糊、寬泛岖瑰，則可能導(dǎo)致待排序集合中所有元素全部映射到一個(gè)桶上叛买，則桶排序向比較性質(zhì)排序算法演變。若映射規(guī)則設(shè)計(jì)的過(guò)于具體蹋订、嚴(yán)苛率挣，則可能導(dǎo)致待排序集合中每一個(gè)元素值映射到一個(gè)桶上，則桶排序向計(jì)數(shù)排序方式演化露戒。
2椒功、排序算法的選擇捶箱，從待排序集合中元素映射到各個(gè)桶上的過(guò)程，并不存在元素的比較和交換操作动漾，在對(duì)各個(gè)桶中元素進(jìn)行排序時(shí)丁屎，可以自主選擇合適的排序算法，桶排序算法的復(fù)雜度和穩(wěn)定性旱眯，都根據(jù)選擇的排序算法不同而不同晨川。
示例：
待排序集合為：[-7, 51, 3, 121, -3, 32, 21, 43, 4, 25, 56, 77, 16, 22, 87, 56, -10, 68, 99, 70];
映射規(guī)則為:

待續(xù)。删豺。

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