大學普通物理公式——熱學

熱學

熱力學第零定律

  • 如果兩個系統(tǒng)分別與第三個系統(tǒng)的同一狀態(tài)處于熱平衡腊尚，則它們彼此也必定處于熱平衡

氣體分子動理論

理想氣體狀態(tài)方程

pV = \frac{M}{M_{mol}}RT = \nu RT

p = nkT

  • 普適氣體常量：R = \frac{p_0 V_{mol}}{T_0} = 8.31 \frac{J}{mol K}


    • 描述1mol氣體行為的普適常量


  • 玻爾茲曼常量：k = \frac{R}{N_A} = 1.38 \times 10^{-23} J/K


    • 描述一個分子或一個粒子行為的普適常量


  • 氣體分子數(shù)密度：n = \frac{N}{V}

    • 為單位體積氣體內分子數(shù)


    • Loschmidt 數(shù)：標況下1m^3體積中氣體分子數(shù):

      • n = \frac{p}{kT} = \frac{1.013 \times 10^5}{1.38 \times 10^{-23} \times 273.15} = 2.6876 \times 10^{25}

壓強

理想氣體壓強公式

p = \frac{2}{3}n \overline{e_k}

大氣壓強

  • 1atm = 1.013 \times 10^5 pa = 76 cmHg = 760 mmHg

壓強與密度的關系

\rho = \frac{pM}{RT}


推導過程：


\begin{aligned} pV = \nu RT &\Rightarrow p = \frac{\nu}{V} RT \\\\ &\Rightarrow p = \frac{\frac{m}{M}}{V} RT \\\\ &\Rightarrow p = \frac{m}{V} \frac{RT}{M} \\\\ &\Rightarrow p = \rho \frac{RT}{M} \\\\ &\Rightarrow \rho = \frac{pM}{RT} \end{aligned}

氣體分子自由度

分子種類 平動自由度t 轉動自由度r 總自由度 i=t+r
單原子分子 3 0 3
剛性雙原子分子 3 2 5
剛性多原子分子 3 3 6

氣體分子的三種速率

  1. 方均根速率：v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{M_{mol}}} \approx 1.73\sqrt{\frac{RT}{M_{mol}}}

    • 計算分子平均平動動能


  1. 最可幾速率：v_p = \sqrt{\frac{2kT}{m}} = \sqrt{\frac{2RT}{M_{mol}}} \approx 1.41\sqrt{\frac{RT}{M_{mol}}}

    • 討論分子速率分布


  2. 平均速率：\overline{v} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{mol}}} \approx 1.60\sqrt{\frac{RT}{M_{mol}}}


    • 計算分子運動的平均自由程


  • M_{mol}單位：kg/mol


v_{rms} > \overline{v} > v_p

氣體的能量

氣體分子的能量

  • 理想氣體分子的平均平動動能：\begin{cases} p = \frac{2}{3} n \overline{e_k} \\\\ p = nkT \\\\ \overline{e_k} = \frac{1}{2} m \overline{v^2} \end{cases} \Rightarrow \frac{1}{2} m \overline{v^2} = \frac{3}{2}kT


  • 氣體分子平均總動能：\overline{e_k} = \frac{1}{2} (t + r + s)kT

    • 單原子分子：\overline{e_k} = \frac{3}{2}kT

    • 剛性雙原子分子：\overline{e_k} = \frac{5}{2}kT

    • 剛性多原子分子：\overline{e_k} = 3kT


  • 氣體分子平均總能量：\overline{e_k} = \frac{1}{2} (t + r + 2s)kT

    • 諧振子在一個周期內的平均動能和平均勢能是相等的

    • s：振動自由度

理想氣體的內能

U = \frac{1}{2} \nu (t + r + 2s)RT

分子平均自由程

  • \overline{z}：平均碰撞次數(shù)/頻率

    • \overline{z} = \sqrt{2} n \pi d^2 \overline{v}

    • n：單位體積內氣體分子數(shù)

    • d：分子直徑


  • \overline{\lambda}：平均自由程


    • \begin{cases} \overline{\lambda} = \frac{\overline{v}}{\overline{z}} \\\\ \overline{z} = \sqrt{2} n \pi d^2 \overline{v} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \overline{\lambda} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n} \\\\ p = nkT \end{cases} \Rightarrow \overline{\lambda} = \frac{kT}{\sqrt{2} \pi d^2 p}

范德瓦爾斯方程

  • 1mol氣體的范德瓦爾斯方程：
    (p + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT

  • 對于質量為M的氣體的范德瓦爾斯方程：
    (p + \frac{M^2}{M_{mol}^2} \frac{a}{V^2})(V - \frac{M}{M_{mol}}b) = \frac{M}{M_{mol}}RT

例題

由范德瓦爾斯方程(p + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT峡蟋，證明氣體在臨界狀態(tài)下的溫度T_C及壓強p_C以及體積V_C為


T_C = \frac{8a}{27bR}, p_C = \frac{a}{27b^2}, V_C = 3b


（提示：由范德瓦爾斯方程寫出V的三次方程蕊蝗，對于臨界點蓬戚，以T_C，p_C代入對V求解石洗，應得V的三重解）

解：



(p + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT



方程兩邊同時乘以V^2得



(pV^2 + a)(V - b) = V^2 RT



\begin{cases} V^3 - (\frac{pb+RT}{p}) V^2 + \frac{a}{p} V - \frac{ab}{p} = 0 \\\\ (V - V_C)^3 \equiv 0 \Rightarrow V^3 - 3V_C V^2 + 3V_C V - V_C \equiv 0 \end{cases}



有重根：V_{C_1} = V_{C_2} = V_{C_3} = V_C



對應系數(shù)相等：
\begin{cases} 3V_C = \frac{pb + RT}{p} \\\\ 3{V_C}^2 = \frac{a}{p} \\\\ {V_C}^3 = \frac{ab}{p} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} V_C = 3b \\\\ P_C = \frac{a}{27b^2} \\\\ T_C = \frac{8a}{27bR} \end{cases}

理想氣體的內能

  • E = \frac{M}{\mu} \frac{i}{2} RT

功

  • W = \int^{V_f}_{V_i} pdV

熱量

  • Q = \int dQ = \int^{T_2}_{T_1} \frac{M}{\mu}C_mdT

熱力學第一定律

  • 外界對系統(tǒng)傳遞的熱量，一部分是使系統(tǒng)的內能增加涉兽，另一部分是用于系統(tǒng)對外做功

  • Q = E_2 - E_1 + W

    • 在任何一個熱力學過程中枷畏，系統(tǒng)所吸收的熱量Q等于系統(tǒng)內能的增量E_2 - E_1與系統(tǒng)對外做功

  • 微分形式

    • dQ = dE + dW = dE + pdV

氣體的熱容

摩爾熱容

  • 1 mol 物質矿辽，溫度升高 1K 所吸收的熱量

    • C_m = \frac{\triangle Q}{\triangle T}

摩爾定容熱容

  • 1 mol 氣體在體積不變的條件下袋倔，溫度改變 1K 或（1°C）所吸收或放出的熱量宾娜，用 C_{V, m} 表示

    • C_{V, m} = \frac{\triangle U}{\triangle T}

    • E_2 - E_1 = C_{V, m} \triangle T

理想氣體摩爾定容熱容

\begin{aligned} dE &= \delta Q_V \\\\ dE &= \frac{m}{M} C_{V, m} dT \\\\ \frac{m}{M} \frac{i}{2} RdT &= \frac{m}{M} C_{V, m} dT \\\\ C_{V, m} &= \frac{i}{2}R \end{aligned}

摩爾等壓熱容

  • 1 mol 氣體在壓強不變的條件下前塔，溫度改變 1K 所需要的熱量华弓，用 C_{p, m} 表示

    • C_{p, m} = \frac{\triangle Q}{\triangle T}

    • \triangle Q = C_{p, m} \triangle T

理想氣體摩爾定壓熱容

\begin{aligned} \frac{m}{M}C_{p, m}dT = \delta Q_p &= dE + dW = dE + pdV = dE + \frac{m}{M} RdT \\\\ \frac{m}{M} C_{p, m} (T_2 - T_1) = Q_p &= E_2 - E_1 + \frac{m}{M} R(T_2 - T_1) \\\\ \frac{m}{M} C_{p, m} (T_2 - T_1) &= \frac{m}{M} C_{V, m}(T_2 - T_1) + \frac{m}{M}R(T_2 - T_1) \\\\ C_{p, m} &= C_{V, m} + R \\\\ C_{p, m} &= \frac{i + 2}{i}R \end{aligned}

比熱比

  • \gamma = \frac{C_{p, m}}{C_{V, m}}


  • 理想氣體的比熱比（摩爾熱容比）：\gamma = \frac{i + 2}{i}
    • 單原子：\gamma = 1.67
    • 剛性雙原子：\gamma = 1.40
    • 剛性多原子：\gamma = 1.33

邁耶公式

  • C_{p, m} = C_{V, m} + R

等溫過程

  • 特點：dE = 0

\begin{aligned} Q_T &= A = \int_{V_1}^{V_2} pdV \\\\ &= \int_{V_1}^{V_2} \frac{p_1 V_1}{V} dV \\\\ &= p_1 V_1 \ln \frac{V_2}{V_1} = p_1 V_1 \ln \frac{p_1}{p_2} \\\\ &= \nu RT \ln \frac{V_2}{V_1} = \nu RT \ln \frac{p_1}{p_2} \end{aligned}

絕熱過程

  • 特點：\delta Q = 0


  • dE + pdV = 0


  • \begin{cases} \delta W = pdV = -dE \\\\ W = -(E_2 - E_1) = -\frac{m}{M}C_{V, m}(T_2 - T_1) \end{cases}


絕熱過程方程

理想氣體等值和絕熱過程公式表

準靜態(tài)過程 特征 過程方程 功W 熱量Q 內能增量\triangle U 摩爾熱容C_m
等容過程 V = C \frac{p}{T} = C 0 \nu C_{V, m}(T_2 - T_1) \nu C_{V, m}(T_2 - T_1) C_{V, m}
等壓過程 p = C \frac{V}{T} = C p(v_2 - v_1)
或 \nu R(T_2 - T_1) 		\nu C_{p, m}(T_2 - T_1) \nu C_{V, m}(T_2 - T_1) C_{p, m} = C_{V, m} + R
等溫過程 T = C pV = C \nu RT \ln \frac{V_2}{V_1}
或 \nu RT \ln \frac{P_2}{P_1} 		\nu RT \ln \frac{V_2}{V_1}
或 \nu RT \ln \frac{P_2}{P_1} 		0 ∞

絕熱過程
\delta Q = 0 		pV^\gamma = C
TV^{\gamma - 1} = C
p^{\gamma - 1} T^{-\gamma} = C
-\nu C_{V, m}(T_2 - T_1)
0
\nu C_{V, m}(T_2 - T_1)
0

循環(huán)過程

正循環(huán)

  • 順時針方向閉合曲線

熱機

  • 作正循環(huán)的設備稱為熱機

逆循環(huán)

  • 逆時針方向閉合曲線

制冷機

  • 作逆循環(huán)的設備稱為制冷機

循環(huán)的特點

  • 系統(tǒng)經歷一個循環(huán)后內能不變

  • \triangle E = 0, Q = W

    • 系統(tǒng)吸收（或放出）的凈熱量等于系統(tǒng)對外做的凈功（或外界對系統(tǒng)做的凈功）

熱機效率

工質從高溫熱源吸取熱量 Q_1考廉，其中一部分熱量 Q_2 傳給低溫熱源携御，同時工質對外做功 W


  • \eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}

制冷系數(shù)

工質從低溫熱源吸取熱量 Q_2，接受外界對工質所做的功 W岸更，向高溫熱源傳遞熱量 Q_1 = W + Q_2


  • \omega = \frac{Q_2}{W} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2}

奧托循環(huán)

\begin{aligned} 爆炸等容過程吸熱 \\ Q_1 &= \frac{m}{M} C_{V, m} (T_d - T_c) \\\\ 排氣等容過程放熱 \\ Q_2 &= \frac{m}{M} C_{V, m} (T_e - T_b) \\\\ \eta &= 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{T_e - T_b}{T_d - T_c} \\\\ T_e V^{\gamma - 1} &= T_d V^{\gamma - 1}，T_b V^{\gamma - 1} = T_3 V^{\gamma - 1}_0 \\\\ \frac{T_e - T_b}{T_d - T_c} &= (\frac{V_0}{V})^{\gamma - 1} \\\\ \eta &= 1 - \frac{1}{(\frac{V}{V_0})^{\gamma - 1}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma - 1}} \end{aligned}

卡諾循環(huán)

  • 在兩個溫度恒定的熱源（一個高溫熱源评肆，一個低溫熱源）之間工作

  • 由兩個準靜態(tài)的等溫過程和兩個準靜態(tài)的絕熱過程組成


\begin{aligned} 從高溫熱源吸取熱量 \\ Q_1 &= \frac{m}{M} RT_1 \ln \frac{V_2}{V_1} \\\\ 向低溫熱源放出熱量 \\ Q_2 &= \frac{m}{M} RT_2 \ln \frac{V_3}{V_4} \\\\ 應用絕熱過程方程 \\ T_1 V_2^{\gamma - 1} &= T_2 V_3^{\gamma - 1}, T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_4^{\gamma - 1} \\\\ (\frac{V_2}{V_1})^{\gamma - 1} &= (\frac{V_3}{V_4})^{\gamma - 1}, \frac{V_2}{V_1} = \frac{V_3}{V_4} \\\\ Q_2 &= \frac{m}{M} RT_2 \ln \frac{V_3}{V_4} = \frac{m}{M} RT_2 \ln \frac{V_2}{V_1} \\\\ \frac{Q_1}{T_1} &= \frac{Q_2}{T_2} \\\\ \eta_C &= 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1} \end{aligned}

卡諾逆循環(huán)

  • 制冷系數(shù)：\omega_C = \frac{Q_2}{W} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2} = \frac{T_2}{T_1 - T_2}

卡諾定理

  1. 在同樣高低溫熱源（高溫熱源的溫度為T_1，低溫熱源的溫度為T_2）之間工作的一切可逆熱機久橙，無論用什么工作物管怠，效率都等于 (1 - \frac{T_2}{T_1})

  2. 在同樣高低溫熱源之間工作的一切不可逆機的效率渤弛，不可能高于（實際上是小于）可逆機她肯，即 \eta \leqslant 1 - \frac{T_2}{T_1}

熱力學第二定律

  • 開爾文表述：不可能制成一種循環(huán)動作的熱機晴氨，只從一個熱源吸取熱量，使之完全變?yōu)橛杏玫墓ζ啾牵划a生其他影響

  • 克勞修斯表述：熱量不可能自動地從低溫物體傳向高溫物體

例：試證在 p-V 圖上兩條絕熱線不能相交

假定兩條絕熱線 I 與 II 在 p-V 圖上相交于一點A.
現(xiàn)在，在圖上再畫一條等溫線 III膘格，使它與兩條絕熱線組成一個循環(huán).
這個循環(huán)只有一個單熱源财松，它把吸收的熱量全部轉化為功即 \eta = 100\%，并使周圍沒有變化
顯然甜害，這是違反熱力學第二定律的尔店，因此兩條絕熱線不能相交

熵

  • \delta S = (\frac{\delta Q}{T})_{可逆}
    • 與路徑無關主慰，只與初末狀態(tài)有關

  • 可逆循環(huán)中熵變?yōu)?0
    • \oint \frac{dQ_r}{T} = 0

  • 絕熱過程等熵

理想氣體經歷可逆過程的熵的變化

  • \triangle S = \int^f_idS = \int^f_i \frac{dQ_r}{T} = \nu C_{V, m} \ln \frac{T_f}{T_i} + \nu R \ln \frac{V_f}{V_i}


推導：

\begin{aligned} dQ_r &= dU + dW = dU + pdV \\\\ dQ_r &= \nu C_{V, m} dT + \nu RT \frac{dV}{V} \\\\ dS &= \frac{dQ_r}{T} = \nu C_{V, m} \frac{dT}{T} + \nu R \frac{dV}{V} \end{aligned}

玻爾茲曼關系

  • S = k \ln W

    • k：玻爾茲曼常量该肴，k = 8.31 \frac{J}{mol K}

    • W：系統(tǒng)宏觀狀態(tài)所包含的微觀狀態(tài)數(shù)

理想氣體自由膨脹中的熵增

  • \triangle S = \nu R \ln \frac{V_2}{V_1}
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