上大學備考研究生考試時論證過的落蝙，時隔久遠，沒有配圖荆烈，信號與系統(tǒng)的學生诈胜，看著應該沒啥問題！
一蚁滋、左邊函數(shù)的正變換的相關(guān)性質(zhì)及證明宿接。
1赘淮、宗函數(shù)f(t)的右截取函數(shù)f(t)ξ(t)與它的左截取函數(shù)的相反函數(shù)-f(t)ξ(-t)具有相同形式的拉普拉斯變換F(s)，即ζ[f(t)ξ(t)]=ζ[-f(t)ξ(-t)]睦霎。
其中梢卸，對宗函數(shù)分別采取以上左右截取翻折所得的兩個函數(shù)稱為該宗函數(shù)下的一對單邊函數(shù)，右截取函數(shù)稱為“右邊函數(shù)”或“右邊信號”碎赢，左截取函數(shù)稱為“左邊函數(shù)”或“左邊信號”低剔。這一對函數(shù)也成為“絞對變函數(shù)對”。
f(t)肮塞、-f(t)均可稱為宗函數(shù)襟齿，ξ(t)、ξ(-t) 均為截取函數(shù)枕赵，由排列知識可知猜欺，宗函數(shù)與截取函數(shù)有四種一般形式：
f(t)ξ(t)、f(t)ξ(-t)拷窜、-f(t)ξ(t)开皿、-f(t)ξ(-t) 。
2篮昧、證明
令g(t)=f(t)ξ(t)赋荆，φ(t)=-f(t)ξ(-t)，G(s)=ζ[g(t)]懊昨，ψ(s)=ζ[φ(t)]窄潭。
G(s)=∫g(t)e∧(-st)dt
=∫f(t)ξ(t)e∧(-st)dt
=∫f(t)e∧(-st)dt。(積分區(qū)間為[0,∞]酵颁、收斂域為:σ＞α嫉你，α為某一常數(shù)。)
ψ(s)=∫{-f(t)ξ(-t)e∧(-st)}dt? ? (積分區(qū)間為[-∞,0])
=∫{-f(t)e∧(-st)}dt? ? ? ? ? ? ? (積分區(qū)間為[-∞,0])
=∫f(t)e∧(-st)dt? ? ? ? ? ? ? ? (積分區(qū)間為[0,-∞])
=G(s)
即G(s)=ψ(s)躏惋。(收斂域為:σ＜α幽污。)
但是，應注意此時這一對單邊函數(shù)積分區(qū)間(時域定義域定義域)是關(guān)于坐標軸縱軸對稱的簿姨，它們拉普拉斯變換的收斂域(復頻域定義域)也是關(guān)于縱軸對稱的距误。
3、由以上可知款熬，在求取宗函數(shù)的左邊函數(shù)的拉普拉斯變換的象函數(shù)時深寥，只需將左邊函數(shù)f(t)ξ(-t)中的宗函數(shù)f(t)先關(guān)于時間軸對稱后，后采取右邊截取得到相應的右邊函數(shù)｛-f(t)ξ(t)｝（或者先截取后取反）贤牛，求出該右邊函數(shù)的拉普拉斯變換就是左邊函數(shù)的象函數(shù)惋鹅。
二、反變換殉簸。
1闰集、在求解雙邊拉普拉斯反變換時沽讹，首先確定哪些極點對應右邊函數(shù)，哪些極點對應左邊函數(shù)武鲁。F(s)的極點位于收斂域的兩側(cè)爽雄，左側(cè)的極點對應t≥0的右邊函數(shù)(因為收斂域在極點的右側(cè)對應的宗函數(shù)的右截取函數(shù)的積分區(qū)間，即還極點對應右邊函數(shù))沐鼠，右側(cè)的極點對應t＜0的左邊函數(shù)(同理挚瘟，收斂域在極點的左側(cè)對應是宗函數(shù)的左截取函數(shù)的積分區(qū)間，即該極點對應左邊函數(shù))饲梭。
求右邊函數(shù)時乘盖，可經(jīng)過單邊拉普拉斯反變換得到；而求左邊函數(shù)時憔涉，就可由反變換求出的右邊函數(shù)經(jīng)過一個簡單的對稱截取(翻订框、折)即可。
三兜叨、相關(guān)定義(僅為理解本文下的定義)穿扳。
1、時間函數(shù):將函數(shù)f(t) [t∈（-∞,∞）]這類時間域的函數(shù)稱為時間函數(shù)国旷，此處也成為宗函數(shù)矛物。
2、相反函數(shù):將時間函數(shù)f(t)關(guān)于時間軸對稱的函數(shù)-f(t)稱為f(t)的相反函數(shù)跪但。
3泽谨、截取函數(shù):將具有區(qū)間截取功能而又不改變函數(shù)在該區(qū)間原貌的函數(shù)稱為“截取函數(shù)”。
ξ(t)=1(t＞0)稱為“右截取函數(shù)”特漩，ξ(-t)=1(t＜0)稱為“左截取函數(shù)”或“左邊截取函數(shù)”。如當a=0時骨杂，1×ξ(t) = ξ(t)涂身，對宗函數(shù)1 的截取，即為單位階躍信號搓蚪。
4蛤售、右邊函數(shù):將函數(shù)f(t)與右截取函數(shù)ξ(t)的乘積所得函數(shù)f(t)ξ(t)稱為“右邊函數(shù)”，即t＞0的區(qū)間內(nèi)函數(shù)妒潭。
5悴能、左邊函數(shù):將函數(shù)f(t)與左截取函數(shù)ξ(-t)的乘積所得函數(shù)f(t)ξ(-t)稱為“左邊函數(shù)”，即t＜0區(qū)間內(nèi)的函數(shù)雳灾。
6漠酿、翻折:將所求得的時間函數(shù)關(guān)于時間軸對稱(記為“翻”)，然后采用截取函數(shù)“截取”(記為“折”)谎亩。
7炒嘲、絞對變函數(shù)：取某一函數(shù)宇姚，將其定義域取反和函數(shù)值取反后所得的函數(shù)與原函數(shù)成為絞對變函數(shù)，它們是互為絞對變函數(shù)（此定義可忽略）夫凸。
(本文中主要用于對求雙邊反拉普拉斯變換中的左邊函數(shù)浑劳。即“將所求得的右邊時間函數(shù)中的宗函數(shù)關(guān)于時間軸對稱，然后采取“左截取”夭拌，即可得到象函數(shù)的左邊函數(shù))魔熏。
四、PS：后續(xù)補充鸽扁。
1蒜绽、收斂域σ 與定義域t相對于自身坐標系具有同向性。因為收斂因子必須<=1,所以献烦，e的指數(shù)(-st)必須為負值滓窍，則s與t必須同正同負，則σ與t同正同負巩那。
因此吏夯，對于因果信號或者右邊信號而言，其收斂域位于S平面的右邊區(qū)域即横；對于反因果信號以及左邊信號而言噪生，其雙邊拉普拉斯變換的收斂域為S平面的左邊區(qū)域；對于雙邊信號而言东囚，其雙邊拉普拉斯變換的收斂域為“帶狀區(qū)域”跺嗽。
2、復頻域的收斂域相對于極點的趨勢與時間域的定義域相對于原點的趨勢具有一致性页藻。
3桨嫁、左邊函數(shù)與右邊函數(shù)具有相同的三大變換(待求證)
4、離散信號的右截取函數(shù)為“單位階躍序列”份帐，左截取函數(shù)為單位階躍序列的縱軸對稱序列璃吧。
5、沖激信號既存在又不存在废境！它只是個理想化工具畜挨！
6、為了方便書寫噩凹，截取函數(shù)也表示信號非零值時間的定義域巴元！
