本來(lái)今天打算好好休息，不寫(xiě)文章的星立。

之前一段時(shí)間每天一篇五千字以上的長(zhǎng)文爽茴，破萬(wàn)的也時(shí)有發(fā)生，之所以能這么高密度地產(chǎn)出绰垂，主要是因?yàn)榉偶倭耸易啵酃?br> 　　緊接著上班后，幾乎每天寫(xiě)一篇總結(jié)辕坝，雖然有自己做的插件助陣讓工作簡(jiǎn)化了不少，但由于文章要一篇篇看過(guò)去然后寫(xiě)評(píng)語(yǔ)荐健，所以腦細(xì)胞依舊死得很厲害酱畅。
　　今天難得什么事的沒(méi)了，打算休息休息江场，明天再繼續(xù)寫(xiě)文纺酸，但奈何樓上的小夫妻混合雙打太孔武有力，墻壁都騰騰騰地作響址否。一旁是娃娃的哭喊餐蔬，一邊是男女混合肉搏，周遭是家具與墻壁的奏鳴曲佑附，這畫(huà)面太美我實(shí)在不敢看樊诺。
　　所以，既然休息是休息不成了音同，那就索性寫(xiě)文吧词爬。

PS：這是這對(duì)小夫妻住進(jìn)我家樓上這么多年以來(lái)第一次發(fā)生如此暴力事件。以前這女主人心情好從七八點(diǎn)開(kāi)始罵男主人罵到十二點(diǎn)权均，心情不好就罵到凌晨?jī)牲c(diǎn)顿膨，這男主人也從來(lái)不曾動(dòng)過(guò)手，最體現(xiàn)其男子漢氣概的一次也不過(guò)是回了嘴叽赊，然后那天被罵到凌晨四點(diǎn)恋沃。這次不知為何居然上演了全武行，我只能說(shuō)就算是王八也有不要命發(fā)飆的時(shí)候必指，大家還是別太嬌縱自己的脾氣為好囊咏。

OK，今天的話(huà)題是一個(gè)很古老的問(wèn)題，那就是“數(shù)學(xué)不可思議的有效性”匆笤。
　　這個(gè)話(huà)題當(dāng)然不是第一次有人談?wù)摿搜新拢聦?shí)上就算是我自己也不是第一次寫(xiě)文談這個(gè)了。但這次要說(shuō)的卻是從另一個(gè)角度來(lái)看的這個(gè)問(wèn)題——當(dāng)然炮捧，也不算太新庶诡。

先讓我們來(lái)看一下什么叫做“數(shù)學(xué)不可思議的有效性”。
　　這一問(wèn)題的由來(lái)咆课，源自這么一個(gè)我們無(wú)法否認(rèn)的事實(shí)末誓，那就是作為最成功的自然科學(xué)的那些學(xué)科，無(wú)一不是高度數(shù)學(xué)化的书蚪。
　　比如喇澡，被稱(chēng)為自然科學(xué)的基礎(chǔ)與核心的物理，就是全然數(shù)學(xué)化的——非但是數(shù)學(xué)化的殊校，人家理論物理還開(kāi)始追求其形式化來(lái)晴玖，也就是力求不單單是物理量之間可以用數(shù)學(xué)公式來(lái)刻畫(huà)，連整個(gè)理論體系都能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述为流，也即將理論完全用形式邏輯的方式重寫(xiě)呕屎，每一條都符合形式邏輯，所有的公式都在數(shù)學(xué)上毫無(wú)瑕疵——這點(diǎn)并不是必然能做到的敬察，比如到目前為止在實(shí)驗(yàn)上被以最高精度反復(fù)驗(yàn)證從而被稱(chēng)為“史上被實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證得最徹底”的量子電動(dòng)力學(xué)秀睛，其最最基本的數(shù)學(xué)公式在數(shù)學(xué)家看來(lái)就是一砣謝特。
　　每每想到此事總不免無(wú)語(yǔ)望蒼穹呵呵復(fù)呵呵莲祸。
　　不僅及物理如此蹂安，天文與化學(xué)也在很大程度上做到了這一步。
　　地理和生物在這方面差一點(diǎn)——曾有物理方面的狂人科研者戲稱(chēng)生物在他看來(lái)不過(guò)是“一門(mén)收藏與匯整的藝術(shù)”锐帜。當(dāng)然田盈，一般說(shuō)出如此大話(huà)的人都沒(méi)什么好下場(chǎng)，比如以前有人說(shuō)只要給一臺(tái)足夠牛逼的計(jì)算機(jī)就能用量子理論算出所有的化學(xué)實(shí)驗(yàn)缴阎，然后我們知道就算是現(xiàn)在你也做不到這點(diǎn)……
　　而即便是過(guò)去被認(rèn)為完全不具備“科學(xué)性”的人文社會(huì)領(lǐng)域缠黍，數(shù)學(xué)的觸手也逐漸伸入其中，比如在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)是越來(lái)越顯著了——曾有人說(shuō)本世紀(jì)出的經(jīng)濟(jì)大崩潰的主要原因就是華爾街用的一條數(shù)學(xué)公式用錯(cuò)了……
　　而就算是社會(huì)學(xué)药蜻，統(tǒng)計(jì)這門(mén)數(shù)學(xué)工具的作用與力量也日漸顯現(xiàn)了出來(lái)瓷式。
　　因此，所謂“數(shù)學(xué)不可思議的有效性”语泽，其實(shí)就是說(shuō)明了這么一系列問(wèn)題——
　　1贸典，我們似乎總能用數(shù)學(xué)來(lái)反映我們所關(guān)注的對(duì)象之間的相互關(guān)系；
　　2踱卵，基于上述關(guān)系我們總能以讓人驚訝的準(zhǔn)確度預(yù)測(cè)一件還沒(méi)發(fā)生的事會(huì)如何結(jié)果廊驼。
　　其中据过，第一點(diǎn)可以被理解為“理論總能以數(shù)學(xué)為語(yǔ)言”，而第二點(diǎn)其實(shí)本質(zhì)上是“理論”的特性——理論其實(shí)就是一種基于已知來(lái)分析本因再推測(cè)未知的暗箱技術(shù)——所以上面兩條又可以表述為：
　　1妒挎，理論總能以數(shù)學(xué)為語(yǔ)言绳锅；
　　2，理論總能與實(shí)驗(yàn)相容酝掩。
　　因此鳞芙，要理解數(shù)學(xué)的有效性，就要理解理論的有效性期虾，以及原朝，理論為何要以數(shù)學(xué)為語(yǔ)言。

任何一門(mén)基于自然的理論（對(duì)镶苞，我們現(xiàn)在自然科學(xué)入手）喳坠，都可以被這么描述：
　　以一組先驗(yàn)預(yù)設(shè)為基礎(chǔ)的，邏輯上自洽的系統(tǒng)茂蚓，并能在適用范圍內(nèi)壕鹉、誤差容許范圍內(nèi)與實(shí)際相符。
　　無(wú)論是物理還是化學(xué)聋涨，其中的理論都可以用上面這段話(huà)來(lái)套用晾浴。
　　第一個(gè)分句表示任何理論都需要有一組基礎(chǔ)假定（就比如數(shù)學(xué)中的那些公設(shè)。公設(shè)未必就是固定不變的牛郑，比如有人把幾何學(xué)第五公設(shè)一換怠肋，就從歐幾里德幾何換出了黎曼幾何）敬鬓，第二個(gè)分句則是對(duì)這個(gè)理論體系做了一個(gè)約定：邏輯上自洽的淹朋。第三個(gè)分句則道出了兩點(diǎn)：一，理論有適用范圍钉答，超出范圍就不適用础芍；二，理論與真實(shí)之間不是嚴(yán)絲合縫数尿，而是存在一定的容差范圍仑性。
　　這幾條和在一起，我們就對(duì)理論有了一個(gè)大致的概念——理論本質(zhì)上并不是真相的對(duì)應(yīng)物右蹦，僅僅是在可驗(yàn)證的范圍內(nèi)與真相“相差不大”诊杆。
　　理論本質(zhì)上基于假設(shè)，而假設(shè)對(duì)不對(duì)何陆，理論無(wú)法告訴你晨汹，只能看是否會(huì)得到與真實(shí)不相符的理論結(jié)果，可就算相符我們也不能說(shuō)這假設(shè)就是對(duì)的贷盲，說(shuō)不定僅僅是因?yàn)闇惽蓻](méi)發(fā)現(xiàn)不相符的情況罷了淘这。
　　此外，理論都有適用范圍，而不是放諸四海而皆準(zhǔn)的铝穷。
　　而钠怯，最關(guān)鍵的，就是理論必須在邏輯上是自洽的——也就是不會(huì)自我矛盾曙聂。
　　可晦炊，為何理論必須是邏輯上自洽的？
　　這其實(shí)又可以分出兩個(gè)子問(wèn)題——
　　一筹陵，理論為何需要邏輯自洽刽锤？
　　二，為何是邏輯的自洽朦佩？
　　這兩個(gè)問(wèn)題就不怎么好回答了并思。
　　事實(shí)上，由于我們所有的回答都必須基于我們的經(jīng)驗(yàn)语稠，于是就會(huì)遇到這么一個(gè)難題——你憑什么說(shuō)根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)宋彼，根據(jù)人類(lèi)的經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)中的“理論需要邏輯自洽”仙畦，就認(rèn)定所有的描述自然的理論都需要邏輯自洽输涕？
　　這個(gè)問(wèn)題可以非常無(wú)理取鬧地一直追問(wèn)下去：憑什么你根據(jù)人類(lèi)萬(wàn)年都不到的經(jīng)驗(yàn)就認(rèn)定宇宙中所有的自然所有的現(xiàn)象它們所對(duì)應(yīng)的理論都必須是符合人類(lèi)自身經(jīng)驗(yàn)總結(jié)而來(lái)的邏輯的？
　　面都這個(gè)問(wèn)題人們突然有一種“說(shuō)得好有道理我竟無(wú)言以對(duì)”的挫敗感慨畸。
　　這就是擴(kuò)大化的休謨疑難莱坎。
　　既然經(jīng)驗(yàn)并不等于真理，也不能導(dǎo)出真理寸士，那么你憑什么認(rèn)為你對(duì)描述真理的理論的限制是合理的而非無(wú)意義的檐什？
　　這樣的無(wú)論是看上去還是想起來(lái)都非常有道理的詰問(wèn)很容易讓思考著滑入不可知的虛無(wú)深淵。
　　休謨?cè)噲D利用數(shù)學(xué)與理性來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題弱卡，可結(jié)果卻是連數(shù)學(xué)與理性都被懷疑了乃正。
　　因此，讓我們暫時(shí)跳脫這個(gè)問(wèn)題從外部來(lái)看婶博，這樣的局面其實(shí)也從一定程度上回答了最初的那個(gè)問(wèn)題——為何數(shù)學(xué)具有不可思議的有效性瓮具？這個(gè)問(wèn)題的答案可能恰恰是：我們是這么選擇的。
　　事實(shí)上凡人，還有很多類(lèi)似的約束條件我們還沒(méi)有放到上面的對(duì)理論的描述中去名党，比如我們一般都相信理論所描述的真理或者說(shuō)規(guī)律是“恒定不變”的，我們不認(rèn)為朝令夕改是自然的本性挠轴，因此如果我們發(fā)現(xiàn)一套規(guī)律居然朝秦暮楚朝三暮四传睹，那唯一的可能是我們并沒(méi)有真的觸及到這個(gè)現(xiàn)象的本質(zhì)，而僅僅是將一個(gè)現(xiàn)象當(dāng)成了規(guī)律忠荞。
　　除了要求自然規(guī)律在時(shí)間上是恒常不變的蒋歌，我們也要求自然規(guī)律在空間上是處處相同的帅掘，而且是各向同性的。
　　研究自然的大部分人都相信真正本源的規(guī)律一定是盡可能簡(jiǎn)單的堂油，具有某種美感的修档，甚至認(rèn)為是能將蕓蕓世間一切現(xiàn)象都統(tǒng)一在一條基本規(guī)則之下的。
　　我們對(duì)理論有著各種各樣的期許府框，相比來(lái)說(shuō)吱窝，邏輯自洽，保持恒常迫靖，大概已經(jīng)算得上是極其簡(jiǎn)樸了院峡。
　　可所有這一切在那個(gè)休謨式的詰問(wèn)下都會(huì)顯得不那么可靠起來(lái)——為何這些基于人類(lèi)經(jīng)驗(yàn)的這些形而上原理，居然對(duì)“真理”是有效的系宜？
　　所有這些問(wèn)題說(shuō)白了都可以用這么一個(gè)問(wèn)題來(lái)概括：
　　你如何證明你通過(guò)前10000個(gè)數(shù)據(jù)所獲得的規(guī)律照激，對(duì)這無(wú)窮個(gè)數(shù)構(gòu)成的序列是成立的？
　　因此盹牧，這就回到了之前的那個(gè)結(jié)論兼問(wèn)題上來(lái)了——數(shù)學(xué)不可思議的有效性的根本原因俩垃，是否可能僅僅是因?yàn)槲覀兙褪沁@么選擇的？

讓我們?cè)囅脒@么一種情況：一個(gè)描述自然的理論本質(zhì)上不是邏輯自洽的汰寓，是完全不講邏輯的口柳，但它卻依然可以在人類(lèi)至今為止的所有實(shí)驗(yàn)中都與實(shí)驗(yàn)獲得完美的匹配。
　　那么有滑，我們是否會(huì)選擇這樣的理論來(lái)作為我們研究與發(fā)展后續(xù)理論的基礎(chǔ)跃闹？
　　當(dāng)然不可能，至少不是最可能的選擇毛好。
　　畢竟望艺，理論作為一項(xiàng)工具，其工具屬性本身就要求了理論要具有可預(yù)測(cè)性——而這種完全不講邏輯的理論是不具備可預(yù)測(cè)性的睛榄，所以這樣的理論作為工具是不合格的荣茫，因此作為理論是甚少被人考慮的想帅。
　　因此场靴，現(xiàn)在人們并不是以“是否符合真實(shí)”為篩選的原則，因此無(wú)論不講邏輯到底是不是自然的本性港准，僅僅從工具性的角度來(lái)說(shuō)旨剥，這種不講邏輯的理論就不會(huì)被太多人考慮。
　　故而浅缸，理論的演化過(guò)程實(shí)質(zhì)上還是人的選擇過(guò)程轨帜，而不是趨近自然與真實(shí)的過(guò)程——這兩個(gè)過(guò)程到底有多大差距，這個(gè)問(wèn)題實(shí)在不好說(shuō)衩椒。

有了這么一個(gè)認(rèn)識(shí)蚌父，讓我們回過(guò)頭來(lái)看數(shù)學(xué)作為理論語(yǔ)言的問(wèn)題哮兰。
　　既然理論的演化主要依賴(lài)于理論研究者的人為選擇而非與不可知的真實(shí)之間的相符程度，而這種人為選擇的一個(gè)最大依據(jù)就是是否具有更好的工具性苟弛，那么我們自然可以想到喝滞，如果一個(gè)理論可以將對(duì)象之間的關(guān)系盡可能簡(jiǎn)化，同時(shí)又能提供一種合理的外推方式膏秫，那么這樣的理論自然是值得大家親睞的右遭。
　　比如說(shuō)，在人類(lèi)發(fā)展的早期缤削，將種種自然現(xiàn)象歸結(jié)為幾位神祗的喜怒哀樂(lè)以及彼此之間縱橫交錯(cuò)的互動(dòng)關(guān)系窘哈，就是一個(gè)非常好的理論化方向——這可比面對(duì)不計(jì)其數(shù)的自然現(xiàn)象每一個(gè)都創(chuàng)造一個(gè)說(shuō)法靠譜得多。而且這樣的理論又能很自然地外推出要避開(kāi)某些危險(xiǎn)的自然現(xiàn)象就要討好相應(yīng)的神祗這么一種非常具備可操作性的外推結(jié)論亭敢，所以在當(dāng)年作為一套理論來(lái)說(shuō)真的是太好了——至于打雷閃電到底是不是雷公電母之間的交合滚婉，還是云層中正負(fù)荷電粒子的放電，這個(gè)就不重要了帅刀。
　　蒙昧的神祗時(shí)代之后满哪，人類(lèi)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明了數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)這工具比神祗性格曲線(xiàn)表可好太多了劝篷，需要控制的對(duì)象可以精確量化哨鸭，這本身就比揣測(cè)神祗的情緒具有更高的可操作性。
　　因此娇妓，我們用數(shù)學(xué)這種語(yǔ)言所描述的規(guī)律到底多大程度上接近真實(shí)像鸡，這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)不重要了，重要的是：我們現(xiàn)在有了更好的工具來(lái)建立理論哈恰，并通過(guò)所建立的理論來(lái)分析和預(yù)測(cè)事物的發(fā)展只估，這種能力的最大化過(guò)程才是理論發(fā)展的真正原動(dòng)力。
　　從而着绷，為何理論要以數(shù)學(xué)為語(yǔ)言蛔钙？這個(gè)問(wèn)題很大程度恰恰就是因?yàn)槭褂脭?shù)學(xué)為語(yǔ)言足夠方便，而不是因?yàn)樽銐蛘_——同樣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以有大量不同的理論來(lái)解釋?zhuān)詫?shí)驗(yàn)本身并不能唯一給出正確的理論荠医，只能篩除那些足夠不正確的理論吁脱。
　　事實(shí)上，就算我們要求實(shí)驗(yàn)和理論必須100%符合彬向，這也不表示實(shí)驗(yàn)就能唯一鎖定“正確”的理論兼贡，畢竟能給出相同結(jié)論的理論可以不止一個(gè)，比如說(shuō)我們有很多量子理論的詮釋體系娃胆，彼此不同遍希，但卻擁有完全一樣的數(shù)學(xué)形式，于是在實(shí)驗(yàn)上是無(wú)法區(qū)分的里烦。
　　既然實(shí)驗(yàn)無(wú)法篩選理論凿蒜，至少無(wú)法篩選到唯一確定的狀態(tài)禁谦，那么就是說(shuō)，我們其實(shí)根本不可能做到100%確定的讓理論的演化方向是朝著真理的方向去的废封，因而理論的演化方向就在很大程度上是人為掌控的了枷畏。
　　換言之，是人的選擇而非自然的選擇讓理論長(zhǎng)成了現(xiàn)在這樣虱饿。
　　好了拥诡，如果我們現(xiàn)在有一群人，他們與我們是如此之不同氮发，以至于他們所熱衷并推崇的就是那些毫無(wú)邏輯可言的程序渴肉，那么對(duì)他們來(lái)說(shuō)，他們會(huì)感嘆的一個(gè)問(wèn)題就是——無(wú)厘頭不可思議的有效性爽冕。
　　因此仇祭，站在一個(gè)預(yù)設(shè)了“關(guān)于自然的所有先驗(yàn)與超驗(yàn)預(yù)設(shè)都不可信為真”這么一種懷疑論的前提后，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的有效性完全就來(lái)源于人們對(duì)于理論的訴求而發(fā)展來(lái)的演化決策颈畸，從而是完全非自然的乌奇。
　　那么，這一充滿(mǎn)懷疑論調(diào)的前提到底多靠譜呢眯娱？
　　這個(gè)問(wèn)題本身就難以回答礁苗，因?yàn)槲覀兯械慕?jīng)驗(yàn)都是基于將這一前提去掉的理論體系的且都是有限的，而除去這些經(jīng)驗(yàn)后的思考都是形而上的徙缴，因此本質(zhì)上來(lái)說(shuō)我們無(wú)法回答這個(gè)問(wèn)題试伙，就如我們無(wú)法回答休謨疑難一眼。
　　那么于样，我們又是否可以完全不考慮這一前提疏叨，就這么任性放肆地用下去呢？
　　原本我認(rèn)為這或許不是什么大問(wèn)題穿剖，因?yàn)樽匀豢茖W(xué)已經(jīng)取得了非常輝煌的成就蚤蔓，因此數(shù)學(xué)的有效性已經(jīng)變得無(wú)需懷疑，直到后來(lái)我發(fā)現(xiàn)還存在大數(shù)據(jù)與復(fù)雜系統(tǒng)這樣的東西的時(shí)候糊余。

大數(shù)據(jù)領(lǐng)域有一個(gè)很著名的例子秀又，大致來(lái)說(shuō)是這樣的：
　　豬王國(guó)有一頭很聰明的豬，分析為什么每天早中晚三餐都有美食從天而降啄刹。他通過(guò)數(shù)年的觀察統(tǒng)計(jì)與分析涮坐，最后得到的結(jié)論是：這是自然規(guī)律凄贩，美食就是每天三次準(zhǔn)時(shí)降臨誓军，這是自然的一部分，而且這樣的情況還會(huì)永遠(yuǎn)存在并持續(xù)下去疲扎。得到如此美妙結(jié)論的第二天昵时，屠夫就把這頭豬抓走宰殺吃掉了捷雕。
　　這一故事其實(shí)就說(shuō)明了一個(gè)很簡(jiǎn)單的道理：黑天鵝的出現(xiàn)可以粉碎一切數(shù)學(xué)推論颖变。
　　因此晌该，在這類(lèi)情況下驰后，數(shù)學(xué)就顯然地失效了宵溅。
　　如果數(shù)學(xué)真的還如其在自然科學(xué)領(lǐng)域一般神奇的話(huà)良姆，它理應(yīng)告訴豬博士屠夫的存在秕铛，但實(shí)際上我們知道這是不可能的常侣。
　　倘若這不能算作是數(shù)學(xué)的失效杖虾，而僅僅表示我們對(duì)于初始狀態(tài)的線(xiàn)索還不夠齊全的話(huà)溯职，那么大數(shù)據(jù)與復(fù)雜系統(tǒng)的另外一些現(xiàn)象大概就更能說(shuō)明問(wèn)題了精盅。
　　我們?cè)谶@些領(lǐng)域總是感嘆數(shù)學(xué)的不夠用——事實(shí)上，有很多人都表示過(guò)去人們所適用的基于有限幾組公式的數(shù)學(xué)現(xiàn)在可能是完全不使用了谜酒，因?yàn)樵趶?fù)雜網(wǎng)絡(luò)的大數(shù)據(jù)世界中叹俏，有多少數(shù)據(jù)，就有多少獨(dú)立的彼此不同且不能規(guī)約的系統(tǒng)僻族，就有平方量級(jí)的相互影響粘驰，立方量級(jí)的三體交互，等等等等述么。
　　說(shuō)到底蝌数，我們發(fā)現(xiàn)我們完全無(wú)法像過(guò)去一樣為如此海量的數(shù)據(jù)建立一個(gè)只要幾個(gè)抽象對(duì)象之間相互作用關(guān)系的數(shù)學(xué)公式。
　　或者還可以這么說(shuō)：面對(duì)數(shù)以萬(wàn)計(jì)的數(shù)學(xué)公式與對(duì)象度秘，我們完全喪失了處理能力籽前。
　　這種量級(jí)帶來(lái)的無(wú)能為力，是否能表述為數(shù)學(xué)的失效呢敷钾？
　　比如說(shuō)枝哄，我們有一億顆小球，任意兩顆球的屬性的種類(lèi)與量值都不相同阻荒，且差別之大到了無(wú)法被歸類(lèi)的程度挠锥，那么請(qǐng)問(wèn)如何描述這一億顆小球的運(yùn)動(dòng)？
　　過(guò)去的統(tǒng)計(jì)力學(xué)都基于系宗中的對(duì)象可以被歸結(jié)為有限且數(shù)量不多的幾個(gè)類(lèi)別侨赡，每個(gè)類(lèi)別都可以看作是大量近全同粒子蓖租。可以但我們發(fā)現(xiàn)每個(gè)粒子都分屬一類(lèi)的時(shí)候羊壹，這統(tǒng)計(jì)的大前提就喪失了蓖宦，于是我們發(fā)現(xiàn)雖然我們可以做到為每個(gè)粒子都建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，并為每一對(duì)粒子建立一個(gè)相互作用的模型油猫，但要描繪這一億個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)稠茂，無(wú)論是整體的還是個(gè)體的，這都成為了不可完成的任務(wù)。
　　這算不算數(shù)學(xué)的失效睬关？
　　因此诱担，這就牽扯出另一個(gè)更有趣的話(huà)題了——如何定義“有效”？

如果說(shuō)前面我們已經(jīng)意識(shí)到我們的理論之所以如此仰仗數(shù)學(xué)完全有可能是人為選擇的結(jié)果而非自然選擇的結(jié)果的話(huà)电爹，那么現(xiàn)在我們不得不停下來(lái)想想蔫仙，當(dāng)我們說(shuō)“數(shù)學(xué)有效”的時(shí)候，到底什么算是有效丐箩？
　　如果說(shuō)能給出結(jié)果并與實(shí)驗(yàn)相比符合得不錯(cuò)摇邦，這個(gè)叫做有效的話(huà)，那么前面一億個(gè)小球的例子就顯然是無(wú)效了——可我們真的這么認(rèn)為么屎勘？
　　我們所認(rèn)為的有效似乎更像是這樣——無(wú)論實(shí)際計(jì)算上是否可能涎嚼，至少原則上可以給出一個(gè)結(jié)果，且這個(gè)結(jié)果原則上估計(jì)下來(lái)可以和實(shí)際獲得的結(jié)果具有容錯(cuò)可接受范圍內(nèi)的匹配度挑秉，那么就稱(chēng)之為有效——你看法梯，我們已經(jīng)將標(biāo)準(zhǔn)降低為“原則上估計(jì)會(huì)有效”了。
　　如果說(shuō)之前所說(shuō)的有效是“清有效”的話(huà)犀概，那么這個(gè)大家更普遍接受的有效就是“濁有效”立哑。
　　而事實(shí)上，我們所遵循的邏輯是這樣的：數(shù)學(xué)在過(guò)去一直獲得清有效的榮譽(yù)姻灶，因此在這里只要能獲得濁有效铛绰，我們也認(rèn)為它是有效的。
　　因此产喉，就是因?yàn)椤霸瓌t上我們只要為這一億個(gè)小球分別做計(jì)算捂掰，計(jì)算結(jié)果總能給我們一個(gè)滿(mǎn)意的答案”這樣的信念的存在，使得數(shù)學(xué)在這個(gè)問(wèn)題上的無(wú)能為力被歸結(jié)為“實(shí)際操作上的不可為”而非“理論上就做不到”曾沈，從而我們依然相信數(shù)學(xué)是有效的这嚣。
　　可，真的不是“理論上的做不到”么塞俱？
　　比如姐帚，現(xiàn)在如果要你描述這一億個(gè)小球的狀態(tài)，你要怎么描述障涯？
　　統(tǒng)計(jì)平均已經(jīng)在設(shè)定中被否定了罐旗。所以，似乎我們只能將這一億個(gè)小球的一億個(gè)狀態(tài)與屬性都列出來(lái)唯蝶，這樣才算是描述了整個(gè)系統(tǒng)了九秀？
　　這與理論本身所需要的抽象性不符。
　　但這會(huì)被我們視為數(shù)學(xué)的失效么粘我？
　　貌似不會(huì)鼓蜒。
　　但我們卻地的確確無(wú)法使用數(shù)學(xué)作為有效語(yǔ)言來(lái)描述這個(gè)系統(tǒng)，理論所要求的抽象概括能力喪失——因此，要么我們認(rèn)為數(shù)學(xué)失效友酱，要么我們承認(rèn)現(xiàn)在理論所用的語(yǔ)言不能是這種數(shù)學(xué)了——雖然我們并不知道還能選什么晴音。
　　當(dāng)然柔纵，就算我們選擇數(shù)學(xué)在這個(gè)問(wèn)題上失效缔杉，似乎也無(wú)傷大雅——我們可以說(shuō)我們還會(huì)繼續(xù)發(fā)展更加合適的數(shù)學(xué)，以實(shí)現(xiàn)這為一億個(gè)小球做描述的艱深任務(wù)搁料。
　　但或详，這就讓我們的問(wèn)題變成了——即便數(shù)學(xué)現(xiàn)在失效了，我們也總能期望出現(xiàn)更好的數(shù)學(xué)理論與工具來(lái)維護(hù)數(shù)學(xué)的有效性郭计。

因此霸琴，所謂數(shù)學(xué)不可思議的有效性，其實(shí)面臨著三朵烏云昭伸。
　　一梧乘，我們對(duì)數(shù)學(xué)的選擇完全有可能是人為選擇的結(jié)果而非自然選擇的結(jié)果，因此數(shù)學(xué)的有效性的根源是人們選擇了數(shù)學(xué)庐杨，更是因?yàn)槿祟?lèi)選擇了現(xiàn)代科學(xué)理論奉為圭臬的那套基本公設(shè)选调；
　　二，數(shù)學(xué)也面臨著或許理論上可行但卻在操作上的確做不到的窘境灵份，此時(shí)有效性的根源是基于過(guò)往的有效而對(duì)未來(lái)有效的愿景仁堪；
　　三，即便數(shù)學(xué)在現(xiàn)在真的失效了填渠，我們也會(huì)期望出現(xiàn)更好的數(shù)學(xué)理論來(lái)彌補(bǔ)現(xiàn)在的失效弦聂，這一信心同樣源自過(guò)去的輝煌成就。
　　顯然氛什，后兩點(diǎn)其實(shí)指出了同一個(gè)問(wèn)題——數(shù)學(xué)不可思議的有效性或許很大程度上來(lái)自過(guò)去的確很有效莺葫，而未必是現(xiàn)在依然很有效。
　　比如說(shuō)枪眉，面對(duì)真實(shí)世界人類(lèi)社會(huì)這么龐大的復(fù)雜系統(tǒng)徙融，我們現(xiàn)在所有的數(shù)學(xué)工具都只能做到初步的統(tǒng)計(jì)與不怎么準(zhǔn)確的預(yù)估——微軟等大公司的那些很出彩的統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)也僅僅只能針對(duì)一些特定的領(lǐng)域而非整個(gè)人類(lèi)。因此瑰谜，這樣的局面到底意味著數(shù)學(xué)遇到了不可及之處欺冀，還是僅僅是讓我們相信未來(lái)會(huì)有更牛更好的數(shù)學(xué)工具呢？
　　至少對(duì)于那頭王國(guó)里的豬來(lái)說(shuō)萨脑，數(shù)學(xué)并不能幫助他逃離屠夫的魔掌隐轩。

說(shuō)到底，數(shù)學(xué)的有效性渤早，恐怕很大程度上是因?yàn)槲覀兊难芯糠椒ㄊ歉叨葦?shù)學(xué)化的职车，以及，到目前為止在我們高度數(shù)學(xué)化的研究方法下，它和實(shí)際情況符合得的確很好悴灵。
　　至于說(shuō)真實(shí)的情況是否是數(shù)學(xué)的扛芽，是否是我們所用的數(shù)學(xué)的积瞒，這個(gè)只能說(shuō)：還沒(méi)有足夠的信號(hào)來(lái)告訴我們答案是不是川尖，但我們也不能100%肯定的說(shuō)是，只能說(shuō)在容錯(cuò)范圍內(nèi)還不用選擇不是這個(gè)答案茫孔。

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