直角三角形有三角邊（兩條直角邊和一條斜邊）噩翠，三個(gè)角（兩個(gè)銳角和一個(gè)直角）砂轻，一共有六個(gè)元素，依據(jù)給出的條件將直角三角形中的六個(gè)元素都求出來的過程然爆，就是解直角三角形的過程站粟。
如何去解直角三角形呢？這就需要用到直角三角形角之間的關(guān)系（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）曾雕、邊之間的關(guān)系（勾股定理）奴烙、以及邊角關(guān)系（銳角三角函數(shù)：正弦、余弦剖张、正切）切诀！
若已知其中的一個(gè)元素，一個(gè)銳角/一條邊搔弄，則無法求解幅虑。原因是，只知一個(gè)銳角的度數(shù)顾犹，邊的長度無法求出倒庵！只知一條邊的長度，無法通過勾股定理去求其它邊的長度炫刷，也無法通過三角函數(shù)去求銳角的度數(shù)擎宝，所以也不能解直角三角形。
若已知其中的兩個(gè)元素浑玛，兩個(gè)銳角/兩條邊/一個(gè)銳角和一條邊绍申，我們分析如下：①兩個(gè)銳角：因另一個(gè)銳角可通過互余求出，本質(zhì)還是已知一個(gè)銳角度數(shù)顾彰，故仍然無法建立與邊的關(guān)系极阅，無法求出邊的長度；②兩條邊：無論是兩條直角邊涨享，還是一條直角邊一條斜邊筋搏，都可以利用勾股定理求出第三條邊的長度，再利用銳角三角函數(shù)（正弦=對邊比這邊/余弦=鄰邊比斜邊/正切=對邊比鄰邊）灰伟，即可求出角的度數(shù)拆又，從而求解直角三角形儒旬；③一個(gè)銳角和一條邊：若此邊為這個(gè)銳角的對邊栏账，可利用正弦三角函數(shù)求得斜邊帖族，再利用勾股定理/正切三角函數(shù)求得鄰邊；若此邊為這個(gè)銳角的鄰邊挡爵，可利用余弦三角函數(shù)求得斜邊竖般，再利用勾股定理/正切三角函數(shù)求得對邊，從而解決邊的問題茶鹃，另一個(gè)銳角通過互余求解解決角的問題涣雕，故可達(dá)到解直角三角形的目的。
我們總結(jié)以上情況闭翩，至少需要兩個(gè)元素挣郭，即兩條邊/一個(gè)銳角和一條邊，才能達(dá)到解直角三角形的目的疗韵。換句話說兑障，要解直角三角形，需要兩個(gè)元素蕉汪，這兩個(gè)元素中必須要有邊的元素才可以流译！
清楚了這個(gè)問題，學(xué)習(xí)三角函數(shù)的應(yīng)用才有了知識方面的基礎(chǔ)者疤。出示以下應(yīng)用問題福澡，鋪墊教材中的問題：
分析如下：涉及到兩個(gè)直角三角形，直角三角形ACD和直角三角形BCD驹马，其中公共直角邊CD的長度已知革砸，每個(gè)直角三角形中CD的對角也已知，要求的是AB的長度糯累，AB＝AC-BC算利，AC和BC的長度都可以通過正切三角函數(shù)求出，問題即得解寇蚊，關(guān)鍵步驟見上圖笔时。
問題變式為教材中的問題：
分析如下：這個(gè)問題中的，只有一個(gè)長度也就是線段AB的長度為50m仗岸，但是這個(gè)長度既不是直角三角形ACD中邊的長度允耿，也不是直角三角形BCD中邊的長度，那么就無法直接去利用解直角三角形的方法去求解（解直角三角形必須要有一邊的長度）扒怖，那么怎么解決呢较锡？有了上一題的經(jīng)驗(yàn)，不難想出盗痒，既然沒有一條邊的長度蚂蕴，我們不防設(shè)出一條邊CD的長度為xm低散，那么類比上一題的解題思路，就可以用正切三角函數(shù)表示出AC和BC的長度了骡楼，再根據(jù)等量關(guān)系A(chǔ)C-BC＝AB熔号，即可建立方程去進(jìn)行求解，關(guān)鍵步驟見上圖鸟整。
當(dāng)然引镊，在這里，一些善于觀察的學(xué)生也會提出篮条，在這個(gè)圖形中弟头，可利用條件得出三角形ABD是一個(gè)等腰三角形，那么就有BD＝AD＝50m涉茧，那么直角三角形BCD的斜邊長度就已知赴恨，在直角三角形BCD中，利用sin∠DBC就可以求出塔CD的高度了伴栓！這個(gè)解答非常巧妙伦连，教師在此時(shí)也一定要及時(shí)給予肯定和鼓勵(lì)，但也要指出挣饥，這種解法是基于圖形角度的特殊之處除师，如果把角度換成其它角度的話，這種方法就行不通扔枫，但是前面的方法則適用于任何角度汛聚，更具有一般性。
出示第三個(gè)變式問題：
分析如下：這個(gè)問題基于問題2進(jìn)行變式短荐，學(xué)生不難得出解答（見上圖）倚舀。在此時(shí)，教師可進(jìn)一步指出忍宋，問題1和2的模型為母子型痕貌，問題3為背靠背型。
同時(shí)基于以上三個(gè)問題糠排，將問題背景升級（增加題意理解的部分）舵稠，同時(shí)檢測學(xué)生技能的掌握程度：
在這個(gè)問題中，首先入宦，需要強(qiáng)調(diào)過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D哺徊，構(gòu)造直角三角形ACD和直角三角形BCD，屬于背靠背模型乾闰，由題意可知BD＝9米落追，它直角三角形BCD中完整的一條直角邊，利用tan45°可求出CD＝9米涯肩，進(jìn)一步在直角三角形ACD中轿钠，利用tan37°求出AD的長度巢钓，那么可根據(jù)AB＝AD+BD求得AB的長度。
這個(gè)問題增設(shè)題意的理解疗垛，一個(gè)是將小東所在的教學(xué)樓距離地面9米高的位置症汹，依據(jù)圖形及輔助線所得長方形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為BD的長度继谚；另一個(gè)是題中已知國旗上升時(shí)間烈菌，求其上升的速度阵幸，我們需知道其上升的路程花履，上升的路程為AB的長度減去升旗前國旗上端懸掛的高度。
對于上圖中教材中的引入問題挚赊，因其涉及到更復(fù)雜的方位角及最短距離題意的理解（貨輪在向東航行的途中是否會有觸礁的危險(xiǎn)诡壁，取決于點(diǎn)A到BC的最短距離，垂線段最短荠割，最短距離若小于10海里則危險(xiǎn)妹卿，若大于10海里則沒有危險(xiǎn)），我認(rèn)為可以在上述問題解決之后再進(jìn)行出示解決蔑鹦，以達(dá)到學(xué)習(xí)由淺入深夺克、循序漸近的目的。
方位角問題變式見上圖嚎朽，這個(gè)題在前面的基礎(chǔ)上铺纽，又增設(shè)了一個(gè)問題：如何作輔助線？如果單看圖形哟忍，很多同學(xué)會立刻想到過點(diǎn)B向AC作垂線段狡门，由此達(dá)到構(gòu)造直角三角形的目的！但是锅很，這樣卻需要用到75°角的三角函數(shù)值其馏，而題中卻并未給出75°角的三角函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)，故而這種構(gòu)造方法是行不通的爆安！故而需換一個(gè)角度去作輔助線叛复，AC的長度是一條完整的邊的長度，借助AC這條完整的邊扔仓，將其放進(jìn)直角三角形中褐奥，即可得輔助線的作法，即過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D当辐，通過解直角三角形ACD和解直角三角形BCD求得BC的長度解決問題抖僵。
基于以上問題，總結(jié)三角函數(shù)應(yīng)用題的解題思維路徑：
①通讀題意缘揪，結(jié)合圖形耍群，在圖中找出并標(biāo)出與題干相吻合的已經(jīng)條件(另需特別注意題中所給的三角函數(shù)的參考值)义桂；
②找直角三角形（若不能在圖中體現(xiàn)，則需添加合適的輔助線：三角形或梯形作高法蹈垢，將其結(jié)合慷吊。作高需注意結(jié)合題中角度及邊作高，不可盲目添加輔助線曹抬，添加的輔助線也不能破壞題中所給的角度溉瓶，否則只會讓解題變得更復(fù)雜），將已知條件轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角關(guān)系（注意：必須要有一完整的邊谤民，若無完整的邊可用堰酿，需設(shè)出完整邊）；
③列關(guān)系式：在直角三角形中张足，選擇適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)關(guān)系式触创，進(jìn)行求解（注意：若是設(shè)有未知數(shù)，根據(jù)題意找到等量關(guān)系为牍，列方程求解）哼绑；
④檢驗(yàn)：要特別注意所求數(shù)據(jù)是否是題中要求的結(jié)果（是否需進(jìn)一步計(jì)算），同時(shí)碉咆，還要注意題目中對結(jié)果的精確度有無要求抖韩。
最后，跟蹤拓展練習(xí)出示如下：
一般情況下疫铜，三角函數(shù)的應(yīng)用題中茂浮，都是涉及到兩個(gè)直角三角形，我們在兩個(gè)直角三角形中分別應(yīng)用三角函數(shù)進(jìn)行解題块攒。但有時(shí)候也會遇到題中有三個(gè)直角三角形的情況励稳，那么，這種情況下囱井，有一個(gè)直角三角形就屬于要啥有啥類型的驹尼，其邊或者角均可通過三角函數(shù)/勾股定理/互余去求解，那么這個(gè)要啥有啥的三角形在解題過程中就起著鋪墊的作用庞呕，而另外兩個(gè)直角三角形才是我們在解題中新翎，真正要鎖定的兩個(gè)直角三角形，再去利用我們總結(jié)的解題思維路徑進(jìn)行解題住练。
三角函數(shù)的應(yīng)用題地啰，每年的中考都會出一道解答題，這類題也屬于中考必得分的題讲逛。它所涉及到的情境背景也是千變?nèi)f化亏吝，小到一件生活用品如一個(gè)茶壺一盞臺燈的設(shè)計(jì)，大到航空航海的應(yīng)用……雖然情境千變?nèi)f化盏混，但是去情境后的本質(zhì)蔚鸥，其實(shí)歸根結(jié)底都是解直角三角形的問題惜论。沒有直角三角形就去構(gòu)造直角三角形！直接法還是間接法解題止喷，取決于直角三角形中有沒有完整的邊可用馆类！相信掌握了這些不變的思路與技巧，善于歸類和總結(jié)弹谁，這類問題一定可以是能夠熟能生巧乾巧，得心應(yīng)手，并拿到全分的预愤。
