這一章實(shí)際講的是測(cè)量一定有誤差记某；在誤差沒(méi)有朝著特定一個(gè)方向偏離的情況下密任，得到的是正態(tài)分布（鐘形曲線(xiàn)）：

在揭示鐘形曲線(xiàn)重要性的3個(gè)人中毅厚，其發(fā)現(xiàn)者分到的功勞卻是最少撒踪。亞伯拉罕·棣莫弗（Abraham De Moivre）的突破產(chǎn)生于1733年过咬，當(dāng)時(shí)他正是65歲左右的年紀(jì)，而直到5年后他的《機(jī)率論》（Doctrine of Chances）第二版出版糠涛，人們才知道了這個(gè)突破援奢。棣莫弗要找的，是那個(gè)被我們?cè)诘?0行就截?cái)嗟呐了箍ㄈ切稳碳瘢?dāng)它繼續(xù)向下深深延伸幾百行或幾千行時(shí)集漾，這些延伸區(qū)域中數(shù)字的近似值。這個(gè)追尋最終通向了鐘形曲線(xiàn)砸脊。雅可布·伯努利在證明他自己版本的大數(shù)定律時(shí)具篇，也不得不為這些行中的數(shù)字的某些性質(zhì)而大傷腦筋。這些數(shù)字可以非常大凌埂，例如在帕斯卡三角形第200行中的一個(gè)系數(shù)驱显，有著59個(gè)數(shù)位！在伯努利的時(shí)代——實(shí)際上在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前——這樣的數(shù)字顯然非常難以計(jì)算瞳抓。而我提到過(guò)埃疫，伯努利在證明定理時(shí)進(jìn)行了種種近似，并最終降低了結(jié)果的實(shí)用性孩哑，這就是原因所在栓霜。而利用所發(fā)現(xiàn)的曲線(xiàn)，棣莫弗可以得到遠(yuǎn)好得多的近似系數(shù)值横蜒，從而極大地改進(jìn)了伯努利的估計(jì)胳蛮。

如果像在登記卡上所做的一樣销凑，我們也將帕斯卡三角形某行的數(shù)字，以高度在條形圖中表示出來(lái)的話(huà)仅炊，那么棣莫弗推導(dǎo)得到的近似就是一個(gè)很顯然的結(jié)果斗幼。比如，在帕斯卡三角形第三行中的3個(gè)數(shù)字是1抚垄、2蜕窿、1。在條形圖中呆馁，第一個(gè)條形為1個(gè)單位高渠羞；第二個(gè)的高度是第一個(gè)的一倍；而第三個(gè)條形的高度又再次為1個(gè)單位≈前В現(xiàn)在來(lái)看看第五行中的五個(gè)數(shù)字：1、4荧恍、6瓷叫、4、1送巡。這時(shí)的圖中將有五根條形摹菠，且同樣起始于矮條，在中間上升到頂點(diǎn)骗爆，然后又對(duì)稱(chēng)地降下來(lái)次氨。那些非常下面的行，其系數(shù)會(huì)形成有非常多糸形的條形圖摘投，但行為方式卻是一樣的煮寡。帕斯卡三角形的第10行、第100行和第1000行所對(duì)應(yīng)的條形圖在139頁(yè)中給出犀呼。

案例1 —— 大部分基金經(jīng)理的成績(jī)是不是來(lái)自于運(yùn)氣：

在圖中幸撕，以正方形標(biāo)出的，是300名學(xué)生對(duì)10次扔硬幣結(jié)果進(jìn)行猜測(cè)的數(shù)據(jù)外臂。水平軸上的數(shù)字坐儿，代表這10次中猜對(duì)的次數(shù)，從0次到10次宋光。垂直方向上畫(huà)出的貌矿，是正好猜中水平軸中相應(yīng)次數(shù)的學(xué)生個(gè)數(shù)。曲線(xiàn)的形狀像一口鐘罪佳，中心處在猜中5次的位置逛漫，該點(diǎn)處的曲線(xiàn)高度對(duì)應(yīng)了75名學(xué)生。在左邊菇民，差不多是3次到4次中間的地方尽楔，曲線(xiàn)高度大致為最高值的2/3投储，即約51名學(xué)生；而在右邊阔馋，這個(gè)高度所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在了6次與7次的中間玛荞。對(duì)于猜測(cè)扔硬幣的結(jié)果這樣的隨機(jī)過(guò)程而言，產(chǎn)生這個(gè)數(shù)量級(jí)標(biāo)準(zhǔn)差的鐘形曲線(xiàn)呕寝，是一個(gè)典型的結(jié)果勋眯。

在同一張圖上，我們還畫(huà)出了另一組以圓形標(biāo)出的數(shù)據(jù)下梢。這組數(shù)據(jù)給出的客蹋，是300名基金經(jīng)理的表現(xiàn)。此時(shí)孽江，水平軸表示的不是10次扔硬幣中猜對(duì)的次數(shù)讶坯，而是10年中某個(gè)經(jīng)理的表現(xiàn)高于這個(gè)群體平均水平的年份數(shù)量。注意兩條曲線(xiàn)之間的相似性岗屏！在第九章中辆琅，我們將回到這個(gè)問(wèn)題上來(lái)。

這里是說(shuō)这刷，大部分基金經(jīng)理的成績(jī)婉烟，就是來(lái)自于運(yùn)氣 —— 但是并不否認(rèn)，還是“有可能”有真正水平高的基金經(jīng)理暇屋，這是這類(lèi)檢驗(yàn)所能得到的答案似袁。

案例2 —— 如果考慮到測(cè)量誤差，很多抽樣調(diào)查的比例變化咐刨，并沒(méi)有意義：

無(wú)論在何時(shí)對(duì)任何類(lèi)型的調(diào)查或民意測(cè)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)昙衅，關(guān)鍵都在于我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，當(dāng)這個(gè)調(diào)查或測(cè)驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行時(shí)所宰，結(jié)果會(huì)不出意外地發(fā)生變化绒尊。舉例來(lái)說(shuō)，如果真實(shí)情況是有40%的登記選民認(rèn)同總統(tǒng)的作為仔粥，那么6次獨(dú)立調(diào)查更可能給出像37%婴谱、39%、39%躯泰、40%谭羔、42%和42%這樣的結(jié)果，而并非所有這6次調(diào)查都發(fā)現(xiàn)總統(tǒng)的支持度為40%（前面這6個(gè)數(shù)字麦向，實(shí)際上是2006年9月的頭兩周中瘟裸，對(duì)美國(guó)總統(tǒng)任職情況支持度進(jìn)行的6次獨(dú)立調(diào)查結(jié)果）。這也就是為什么——同樣作為一條經(jīng)驗(yàn)規(guī)則——任何誤差幅度之內(nèi)的差別都應(yīng)當(dāng)被忽略的原因诵竭。但是话告，《紐約時(shí)報(bào)》雖然不會(huì)登出《下午兩點(diǎn)的職位與薪水中等增長(zhǎng)》這樣的頭條兼搏，但在報(bào)導(dǎo)政治民意調(diào)查時(shí)，類(lèi)似的頭條卻隨處可見(jiàn)沙郭。舉個(gè)例子佛呻，2004年共和黨全國(guó)大會(huì)之后，CNN發(fā)出的頭條是《布什的支持度顯然有中等程度的反彈》病线。CNN的專(zhuān)家們接著就解釋道“布什在大會(huì)上的支持率反彈看來(lái)約為2個(gè)百分點(diǎn)……潛在選民中聲稱(chēng)要選他為總統(tǒng)的比例吓著，從大會(huì)前的50%立刻上升到了之后的52%”。只是到了后面送挑，報(bào)導(dǎo)者才指出绑莺，調(diào)查的誤差幅度為正負(fù)3.5個(gè)百分點(diǎn)，這實(shí)際等于說(shuō)上面的新聞根本毫無(wú)意義惕耕。顯然纺裁，“顯然”這個(gè)詞在 CNN評(píng)論節(jié)目中的真正含義是“顯然不”。

本章的核心洞察是司澎，既要看到個(gè)體的成績(jī)对扶，也要看到歷史的進(jìn)程：

當(dāng)看到一次成功或失敗時(shí)，我們所觀察到的只是一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)惭缰，一個(gè)鐘形曲線(xiàn)上的采樣，它僅僅代表了那早已存在的可能性之一笼才。我們無(wú)法得知這個(gè)單獨(dú)的觀測(cè)所代表的漱受，到底是均值本身，還是某個(gè)“例外值”骡送；也無(wú)法知道這個(gè)觀測(cè)所對(duì)應(yīng)的昂羡，到底是我們有把握賭一把的事情，還是某個(gè)不大可能再次產(chǎn)生的罕見(jiàn)情況摔踱。但至少應(yīng)當(dāng)清楚虐先，一個(gè)采樣點(diǎn)就是一個(gè)采樣點(diǎn)，相比于簡(jiǎn)單地將其作為真實(shí)情況來(lái)接受派敷，我們更應(yīng)在產(chǎn)生該采樣點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差或概率分布這個(gè)語(yǔ)境下來(lái)認(rèn)識(shí)它蛹批。

首先看到、看清篮愉、接納一個(gè)點(diǎn) —— 也就是接受這個(gè)“點(diǎn)”的成功結(jié)果腐芍；其次，去思考背后的那個(gè)生成機(jī)制试躏，在這里是鐘形曲線(xiàn) —— 點(diǎn)背后的系統(tǒng)猪勇，更加地重要。