? ? ? ? 平面幾何中著名的蝴蝶命題樟蠕，最早出現(xiàn)在1815年英國(guó)的一本雜志《男士日記》上，是作為一個(gè)征解的問(wèn)題。文章登出的當(dāng)年坯墨，英國(guó)一個(gè)自學(xué)成才的中學(xué)數(shù)學(xué)教師W.G.霍納給出了第一個(gè)證明寂汇，而且完全是初等的病往，十分簡(jiǎn)潔明了捣染。
? ? ? ? “蝴蝶定理”這個(gè)名稱(chēng)最早出現(xiàn)于《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》1944年2月號(hào)，因?yàn)轭}目的圖形像一只蝴蝶停巷。這個(gè)名稱(chēng)不僅形似耍攘，而且神似。自誕生以來(lái)畔勤，該問(wèn)題的證明方法至少已有數(shù)十上百種蕾各，對(duì)該問(wèn)題的探討也一直沒(méi)有停止過(guò)，得出了不少漂亮而有啟發(fā)性的副產(chǎn)品庆揪。這只翩翩起舞的蝴蝶飛過(guò)了從初等到高等的許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域式曲，翅膀上沾滿(mǎn)了多彩而馥郁的花朵的香氣。
? ? ? ? 蝴蝶定理表述如下：如下圖所示缸榛，M是圓O上的弦AB的中點(diǎn)吝羞，連結(jié)DE、CF分別交AB于P内颗、Q钧排。求證PM=QM。
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? ? ? ? 在此討論一下單墫先生的一個(gè)證明均澳。該證明自誕生以來(lái)一直被視為平面幾何包括解析幾何中的一個(gè)經(jīng)典證明恨溜。僅有幾行的證明言簡(jiǎn)意賅，信息量卻很大找前，乍一拿到手仍覺(jué)得有些抽象糟袁，有必要對(duì)其思路梳理一下，也算加上注疏躺盛。中國(guó)古代的經(jīng)史之學(xué)自初創(chuàng)起幾乎就是一門(mén)注疏之學(xué)项戴，后來(lái)隨著世俗化的逐漸加深，文翰辭章等也出現(xiàn)了越來(lái)越多的賞析之作颗品，以作為創(chuàng)作者和受眾之間的媒介肯尺。這樣一個(gè)經(jīng)典證明是值得賞析回味的。
? ? ? ? 首先以AB所在的直線(xiàn)為x軸躯枢，OM所在的直線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系则吟，M為原點(diǎn)。為方便起見(jiàn)锄蹂，不妨設(shè)該圓為單位圓氓仲。圓心O的坐標(biāo)（0，—a）。
? ? ? ? 試想如果能知道ED敬扛、CF所在直線(xiàn)的方程晰洒，求得P、Q的橫坐標(biāo)啥箭，問(wèn)題就迎刃而解谍珊。E、D急侥，C砌滞、F是相交于M的兩條直線(xiàn)EF、CD所組成的圖形——不妨記作（EF*CD）——和圓O的交點(diǎn)坏怪。我們就首先來(lái)寫(xiě)出（EF*CD）的方程贝润。
? ? ? ? 設(shè)EF所在直線(xiàn)的方程為y=k1x，CD所在直線(xiàn)的方程是y=k2x铝宵。如果對(duì)布爾代數(shù)——一個(gè)具體的例子就是邏輯電路——中的加法比較敏感的話(huà)打掘，很快可以得到圖形（EF*CD）對(duì)應(yīng)的方程是（y—k1x）*（y—k2x）=0。因?yàn)閷?duì)于該圖形上的任一個(gè)點(diǎn)鹏秋，代入這個(gè)表達(dá)式都能成立尊蚁。
? ? ? ? 下面考慮圖形（EF*CD）和圓的交點(diǎn)。如果我們回顧通過(guò)交點(diǎn)的二次曲線(xiàn)系方程拼岳，不難得出通過(guò)（EF*CD ）和圓的交點(diǎn)的二次曲線(xiàn)系方程為[x^2+（y+a）^2—1] +? λ（y—k1x）*（y—k2x）=0枝誊。直觀來(lái)看，該圖形上必然存在點(diǎn)能讓兩部分同時(shí)為0惜纸，于是讓整體也為0叶撒，即該圖形通過(guò)（EF*CD）和圓的交點(diǎn)∧桶妫可類(lèi)比布爾代數(shù)——邏輯電路中的乘法祠够。
? ? ? ? 以上是一些必要的注解，明白了這些粪牲，證明過(guò)程就十分簡(jiǎn)潔漂亮了：
? ? ? ? 由 [x^2+（y+a）^2—1] +? λ（y—k1x）*（y—k2x）=0古瓤，
? ? ? 令y=0，得（1+ λk1k2）x^2+a^2—1=0腺阳。
可見(jiàn)x的一次項(xiàng)系數(shù)為0落君。由韋達(dá)定理xP+xQ=0，即PM=QM亭引，得證绎速。
? ? ? ? 需要說(shuō)明的是，過(guò)E焙蚓、D纹冤、C洒宝、F共6條3組直線(xiàn)，要證明的結(jié)論是其中的一組萌京。CD與EF交于原點(diǎn)雁歌，自然符合相等。如該圖所示CE的延長(zhǎng)線(xiàn)與DF的延長(zhǎng)線(xiàn)與AB交點(diǎn)截成的線(xiàn)段也是相等的知残。
? ? ? ? 單墫先生的經(jīng)典證明簡(jiǎn)潔優(yōu)美而意蘊(yùn)豐厚靠瞎，充滿(mǎn)了一種高屋建瓴的整體眼光。技巧的使用上堪稱(chēng)四兩撥千斤橡庞，數(shù)學(xué)思想與之水乳交融较坛，如羚羊掛角，無(wú)跡可尋扒最。反復(fù)玩味，似一首短短數(shù)行卻讓人品之不盡的小詩(shī)华嘹，如歌德《浪游者的夜歌》吧趣。
? ? ? ? 下面再作一些引申。蝴蝶定理不僅適用于圓耙厚，對(duì)于其他二次曲線(xiàn)如橢圓强挫、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)甚至退化的兩相交直線(xiàn)同樣成立薛躬。用上述證明方法推廣起來(lái)也很方便俯渤。
? ? ? ? 只需要設(shè)二次曲線(xiàn)的一般式x^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0。建立如上坐標(biāo)系型宝，把A(—m八匠，0)、B(m趴酣，0)代入梨树，得到f=—m^2，d=0岖寞。即x^2+bxy+cy^2+ey—m^2=0抡四。構(gòu)造x^2+bxy+cy^2+ey—m^2+? λ（y—k1x）*（y—k2x）=0，證法完全相同仗谆。
? ? ? ? 我們是否能用一種更高的數(shù)學(xué)眼光看待以上的推廣呢指巡？這就需要進(jìn)入射影幾何的領(lǐng)域。讓我們先用射影幾何的方法證明一下圓中的蝴蝶定理隶垮。
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? ? ? ? 如上圖所示藻雪，由四條共點(diǎn)直線(xiàn)的交比和共線(xiàn)的四個(gè)有序點(diǎn)的交比之間的關(guān)系有：（abcd）=（APMB），（a'b'c'd'）=(AMQB)岁疼。由于在圓中一圓弧所對(duì)的每個(gè)圓周角相等阔涉，兩組四條直線(xiàn)是“相合的”缆娃，顯然具有相同的交比。于是（APMB）=(AMQB)瑰排。
? ? ? ? 由交比的定義贯要，（MA/MP）?(BP/BA)=（QA/QM）?(BM/BA)。由MA=MB椭住，約分后得到BP/MP=QA/QM崇渗。兩邊同時(shí)減去1，BM/MP=MA/QM京郑。再由MA=MB宅广，可證得PM=QM。
? ? ? ? 重點(diǎn)不在這個(gè)證明過(guò)程本身些举。本文想要強(qiáng)調(diào)的是跟狱，由于一個(gè)圓錐曲線(xiàn)只是一個(gè)圓的射影，因此户魏，圓在射影下不變的任何性質(zhì)驶臊，也將為任意二次曲線(xiàn)所具備。在此例中叼丑，交比在射影變換下是不變的关翎，所以若把圓射影成任意二次曲線(xiàn)，等式（abcd）=（a'b'c'd'）仍然成立鸠信。以下的證明過(guò)程當(dāng)然完全相同纵寝。對(duì)于任意二次曲線(xiàn)，這看起來(lái)是個(gè)令人驚奇的結(jié)論星立，得到它卻又是如此容易爽茴。
? ? ? ? 數(shù)學(xué)愛(ài)好者都熟知的艾爾蘭根綱領(lǐng)告訴我們，一種幾何研究的無(wú)非是在一類(lèi)特定變換下的不變性贞铣，拓?fù)鋵W(xué)的重要性就在于其研究的是在最劇烈變換下的不變性闹啦。蝴蝶定理的例子中，我們就通過(guò)交比在射影變換下的不變性這個(gè)具體的例子加深了對(duì)這一重要數(shù)學(xué)思想的理解辕坝，反之窍奋，有了這樣宏觀的視角，蝴蝶定理向普通二次曲線(xiàn)推廣的問(wèn)題也會(huì)如此輕松得到解決酱畅。
? ? ? ? 八月蝴蝶黃琳袄，雙飛西園草。特別喜歡李白《長(zhǎng)干行》里的這兩句詩(shī)纺酸。倒春寒陰云密布的下午窖逗，對(duì)著名的蝴蝶定理來(lái)次舊事重提，用一個(gè)漂亮的二次曲線(xiàn)系證法和射影幾何證法來(lái)雙飛餐蔬，飛過(guò)許多美麗的景觀碎紊。
