本文使用Latex公式排版,而簡書不支持Latex排版,為獲得更好的閱讀體驗(yàn),請(qǐng)移步個(gè)人博客原文地址:數(shù)學(xué)建模筆記之馬爾薩斯人口模型(一)
馬爾薩斯人口論
基本內(nèi)容
人口按照幾何增長趨勢發(fā)展( 按照指數(shù)函數(shù)增長的趨勢 )
而實(shí)物只有算術(shù)增長的趨勢( 按照線性函數(shù)增長的趨勢 )
結(jié)論:控制人口增長
馬爾薩斯數(shù)學(xué)模型
現(xiàn)在我們使用 $P(t)$ 表示t時(shí)刻的人口數(shù)量,用$r$表示人口增長率
現(xiàn)在看做一個(gè)連續(xù)模型:變化在隨時(shí)發(fā)生,也即人的生老病死隨時(shí)在發(fā)生, 則有:
$$P(t+\Delta t)-P(t)=rP(t)\Delta t$$
$$P(t+dt)-P(t)=rP(t)dt$$
$$\dfrac{dP(t)}{dt}=rP(t)$$
$$P(t_0)=P_0$$
則我們可以根據(jù)以上公式推斷出當(dāng)t為某個(gè)具體值時(shí), 我們得到的人口數(shù)目為 $P(t)=P_0e^{r(t-t_0)}$, 當(dāng)$t$趨近于無窮大的時(shí)候我們發(fā)現(xiàn)人口確實(shí)成指數(shù)增長
從這里我們可以看到數(shù)學(xué)建模研究的一個(gè)大致思路:
Logistic模型
在上述馬爾薩斯模型中, 人口增長率是基于一定時(shí)間段的結(jié)果, 例如基于當(dāng)時(shí)的工業(yè)農(nóng)業(yè)現(xiàn)有人口現(xiàn)狀是有一定意義的,即是說當(dāng)時(shí)的情況下人口增長率是可以在在短期內(nèi)保持一個(gè)特定的數(shù)值
但是在當(dāng)今情況下, 人口增長率必定是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)
$$r(t)=r(P(t))=r(1-\dfrac{P(t)}{K})$$這里的K表示我們所研究的生態(tài)系統(tǒng)最多可以容納支撐的人口數(shù)量(即生物學(xué)上所說的最大容納量)
則人口數(shù)量關(guān)于時(shí)間的積分有:
$$\frac{dN(t)}{dt}=r(1-\frac{N(t)}{K})N(t)$$ $$N(t_0)=N_0$$
則我們?nèi)》e分后可以得到:
$$N(t)=\frac{K}{1+Ce^{-r(t-t_0)}}$$
其中C表示一個(gè)參數(shù):
$$C=\frac{K-P_0}{P_0}$$
則我們考察$t$趨近于無窮大時(shí)的極限,結(jié)果與馬爾薩斯模型完全不同
我們可以繪制出人口與時(shí)間關(guān)系的圖形:
與馬爾薩斯模型相比較,這里增加了一個(gè)參數(shù)$K$, 而且這個(gè)參數(shù)不容易計(jì)算或估計(jì)($K$表示環(huán)境最大容納量)
則我們對(duì)模型 $\frac{dN}{dt}=rN(1-\frac{N}{K})$ 考慮離散化:
$$\frac{\Delta N}{\Delta t}=rN(1-\frac{N}{K})$$
則有:
$$N_{t+1}-N_t=rN_t(1-\frac{N_t}{K})$$
這里的時(shí)間離散步為1,每一代就是一個(gè)時(shí)間步
$$N_{t+1}=(1+r)N_t-\frac{r}{K}N_t^2$$
然后我們?nèi)《▍?shù)$K$,考慮不同的參數(shù)$r$:
有:
后面的關(guān)于時(shí)間$t$的離散討論已經(jīng)超越這個(gè)模型本身了,僅作簡單介紹
