同平面內(nèi)喇嘱，一條直線和另外兩條直線相交簸搞，若在某一側(cè)的兩個內(nèi)角和小于兩個直角的和，則這二直線（經(jīng)無限延長后）在這一側(cè)相交准潭。
這個公設(shè)直接說的是趁俊，在何種情況下，兩直線會相交刑然。但并直接沒有說寺擂，在何種情況下，兩直線不相交泼掠。
而它的逆反命題是與之等價的怔软，逆反命題是：
在同平面內(nèi)，一條直線和另外兩直線相交择镇，若二直線在這一側(cè)不相交挡逼，那么，這一側(cè)的兩個內(nèi)角和大于或等于兩個直角腻豌。
同樣家坎，只說了一側(cè)不相交的情況，并沒有提到“平行”吝梅。
平行線的存在性虱疏，是由外角定理決定的。
內(nèi)錯角可以看做“一個三角形的外角”苏携，內(nèi)錯角相等的時候做瞪，沒有辦法構(gòu)成三角形。假如內(nèi)錯角相等兜叨，依然構(gòu)成三角形穿扳，那么衩侥，立刻得到的結(jié)論是：三角形的一個外角等于它的內(nèi)對角国旷。這同外角定理矛盾。
因此茫死，內(nèi)錯角相等跪但，在第一直線的兩側(cè)都不能構(gòu)成三角形。也就是在兩側(cè)都不相交峦萎。那么屡久，兩直線是平行的。
外角定理蘊含“內(nèi)錯角相等爱榔，兩直線平行”的命題被环。
也就蘊含“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”的命題详幽。
那么筛欢，同旁內(nèi)角不互補浸锨，情況會怎樣？外角定理沒有指出版姑。而第五公設(shè)則專門指出柱搜，同旁內(nèi)角不互補，必然有一側(cè)的和小于兩個直角剥险，直線會在這一側(cè)相交聪蘸。
“不互補，就相交”是“互補表制，不相交”的否命題健爬。否命題不是原命題的等價命題，并非總是成立么介。
“平行浑劳，則互補”是“互補，則平行”的逆命題夭拌。逆命題也并非等價命題魔熏，并非總成立。
第五公設(shè)鸽扁，就是專門針對外角定理的逆命題來說蒜绽，或者說是針對外角定理的否命題來說。不等同于外角定理桶现。
最關(guān)鍵的躲雅，第五公設(shè)是不可證明的。
可以用其它命題代替骡和，或者說“等價”相赁，但不可證明，也不可卻或慰于。
用來代替第五公設(shè)的命題是平行公理钮科，“經(jīng)過直線外一點，最多可作一直線平行于已知直線婆赠∶喔”
有時會用到外角定理的推論，把兩者合并起來說休里，“經(jīng)過直線外一點蛆挫，有且僅有一條直線平行于已知直線∶钍颍”這樣的說法叫做Playfair公理悴侵。
總之，第五公設(shè)/平行公理/Playfair公理最厲害的地方不在于指出“過直線外一點拭嫁，平行線是存在的”可免，指出“存在性”的是外角定理筒繁。
第五公設(shè)/平行公理/Playfiar公理最厲害的地方在于，規(guī)定巴元，“過直線外一點毡咏，平行于已知直線的線，不多于一條逮刨∨荤裕”
過直線外一點，作直線平行于已知直線修己。
這種直線
既存在恢总，又不多于一。那么睬愤，就只能是：“有且僅有一條”片仿。
因為是公設(shè)，所以尤辱，第五公設(shè)不需要證明砂豌。
公設(shè)和公理的含義一樣，表示最直觀的事實光督，是不需要證明的阳距，同時也是無法證明的。
除了平行公理结借、Playfair公理以外筐摘，
第五公設(shè)有還有許多等價命題。歷史上船老，許多試圖證明第五公設(shè)的嘗試咖熟，都有意或無意的使用了它們。包括：
- 勾股定理
- 三角形內(nèi)角和定理（輔以阿基米德公理）
- 圓內(nèi)接正六邊形邊長等于半徑長
- 撒氏四邊形的上底等于下底
- 三角形的中位線等于底邊的一半
- 存在相似但不全等的三角形
- 存在四個角都是直角的四邊形
- 可對任意三角形作外接圓
- 過角內(nèi)一點柳畔，總能作直線與角的兩邊都相交
- 每個三角形的內(nèi)角和都相同
等等馍管。
既然有如此多的命題等價于第五公設(shè)，就表明了荸镊，在歐氏幾何中咽斧，第五公設(shè)是不可缺的堪置。
用三個字概括第五公設(shè)躬存，可以叫作“小則交”。這個公設(shè)的地位非同一般舀锨。在實際證明其它問題的時候岭洲，當(dāng)然可以直接使用。歐氏幾何坎匿，廣泛使用平行線的性質(zhì)盾剩。
第五公設(shè)是神奇的雷激。由于歷史上人們對第五公設(shè)的研究，導(dǎo)致了新的幾何學(xué)誕生告私。
