只有先暫且放下定義奢啥、公設(shè)、公理嘴拢，才知道何時(shí)需要它桩盲。先按照直觀，討論各個(gè)命題席吴，需要的時(shí)候赌结，再添加公理和公設(shè)。

相等關(guān)系

從命題一到命題十六孝冒，大部分命題討論相等關(guān)系柬姚。尤其是三角形全等理論，為第三部分用到的“全等”提供理論基礎(chǔ)庄涡。

命題一：已知線段量承，可以其為一邊作正三角形。

一作等邊三角形

從上圖看穴店，兩圓在給定線段的下側(cè)還有一個(gè)交點(diǎn)撕捍。實(shí)際上，還可作出另外一個(gè)正三角形泣洞。

隱含前提：

• 不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面
• 兩點(diǎn)確定一直線
• 圓是連續(xù)且封閉的
• 兩圓相交的條件：圓心的距離小于半徑之和且圓心距離大于半徑之差
• 相等可傳遞
  等

需要定義：
平面忧风，直線，點(diǎn)球凰，
線段阀蒂，
圓该窗，半徑，圓心蚤霞，交點(diǎn)，
線段相等义钉，
正三角形
等

因?yàn)樾枰忉尩奶嗝列澹裕谝幻}干脆不解釋什么捶闸。因?yàn)檫@個(gè)時(shí)候夜畴，距離圓的專題尚遠(yuǎn)。

這個(gè)命題直接演示了公理一删壮，相等的傳遞性贪绘。

希爾伯特的解決方案是：直接假設(shè)線段可遷移，那么央碟，就不必在最開(kāi)始就使用圓税灌。

第一命題，在第一卷中很重要亿虽，那么概括為“三光日月星”不為過(guò)菱涤。

命題二：給定一個(gè)端點(diǎn)，存在線段等于已知線段洛勉。

二定一端移線段

既然可以根據(jù)給定的圓心和半徑做圓粘秆，那么，就可用圓規(guī)在直線上直接截取線段收毫。歐氏第二命題為要復(fù)雜化攻走？也許，僅僅為了演示線段的加減運(yùn)算此再，以及等量的傳遞昔搂，證明的一般思路。

命題三：給定一個(gè)端點(diǎn)以及方向引润，存在唯一的線段等于已知線段巩趁。

三定射線移線段

這兩個(gè)命題給出了線段遷移的可能性以及具體方法，演示了線段可以加減淳附，線段的等式也可以加減议慰。演示了公理二和公理三。
需要定義：直線上點(diǎn)的一側(cè)

這三個(gè)命題需要有公理一奴曙、二别凹、三，因此洽糟，就給出了那些公理;需要有諸如圓炉菲、直線的定義堕战，因此，才有了那些定義拍霜。

古人也希望定義越少越好嘱丢，盡量不增加新的概念。

命題四：三角形SAS全等祠饺。

第四邊角邊全等

這個(gè)命題應(yīng)該算做公設(shè)越驻。同時(shí)，演示了“全等”的概念道偷，彼此能夠重合缀旁，要求了角可以遷移，三角形可以遷移勺鸦。
需要定義：角并巍，三角形，三角形全等换途，角相等

這個(gè)命題用“兩水夾明鏡”概括懊渡。

命題五：等腰三角形兩底角相等。

第五等腰對(duì)等角

原本上此命題的證明很巧妙怀跛。新構(gòu)造了全等距贷。
但是，按照這個(gè)邏輯吻谋，這個(gè)三角形實(shí)際同它的鏡像全等忠蝗，那么就不需要再構(gòu)造一個(gè)三角形。

第五第六兩個(gè)命題漓拾，可稱“雙橋落彩虹”阁最。因?yàn)榈谖迕}也叫“驢橋”，也叫“龐斯命題”骇两。

命題六：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形速种。

第六等角對(duì)等腰

這兩個(gè)命題是成對(duì)出現(xiàn)的，互為逆命題低千。在數(shù)學(xué)中配阵，原命題成立，逆命題未必成立示血。如果也成立棋傍，純屬巧合。

命題像

“如果甲是乙的爸爸难审，那么乙是甲的孩子瘫拣。”

那樣簡(jiǎn)單告喊，逆命題都不一定成立麸拄，為什么呢派昧？

這個(gè)命題的逆命題是

“如果乙是甲的孩子，那么甲是乙的爸爸拢切〉傥”

逆命題不能恒成立，因?yàn)榧走€可能是乙的媽媽淮椰。很多時(shí)候都這樣岖是，原命題成立，但逆命題不能恒成立实苞。

但如果為兩個(gè)命題給定一個(gè)公共的前提：甲為男性。那么烈疚，兩個(gè)命題又能等價(jià)的轉(zhuǎn)化了黔牵。

講邏輯就要考察原命題、逆命題兩個(gè)方向爷肝。有時(shí)通過(guò)考察否命題猾浦、逆否命題來(lái)完成。找到命題成立的充分條件灯抛，必要條件金赦，充分必要條件。

詭辯的技巧之一就是对嚼，利用聽(tīng)眾來(lái)不及考察夹抗，或者沒(méi)有能力考察而實(shí)現(xiàn)瞞天過(guò)海。

因此纵竖，要勤于思考漠烧。不詭辯，也能識(shí)別詭辯靡砌。

希爾伯特證明命題六是在完成外角定理證明之后已脓。這說(shuō)明《原本》的證明存在特殊的技巧。歐幾里得隱含的使用了順序公理通殃，隱含的定義了角的內(nèi)外度液，角的大小。顯示的使用了“整體大于部分”的公理画舌，而現(xiàn)代人對(duì)這個(gè)很挑剔堕担，認(rèn)為“整體”和“部分”是看圖說(shuō)話，依據(jù)不夠充分骗炉。

到命題六照宝，所有五個(gè)公理都已經(jīng)使用。公設(shè)使用了三個(gè)句葵。

目前厕鹃，公設(shè)和公理這10個(gè)前提條件兢仰，只有第四公設(shè)和第五公設(shè)還沒(méi)有出現(xiàn)。

命題七 三角形是一種穩(wěn)定的物理結(jié)構(gòu)剂碴。

第七三角真穩(wěn)定

三角形結(jié)構(gòu)把将，廣泛應(yīng)用于建筑，正是由于其穩(wěn)定性忆矛。多數(shù)情況下察蹲，建筑中只要出現(xiàn)了四邊形結(jié)構(gòu)，就會(huì)用三角形來(lái)支撐在內(nèi)部催训。
相對(duì)四邊形以上的多邊形洽议，三角形是穩(wěn)定的。受到外力不容易變形漫拭。

命題八 三角形SSS全等亚兄。

歐幾里得利用三角形的穩(wěn)定性證明了SSS全等。希爾波特采用了遷移的方法證明采驻。這表明审胚，證明SSS全等不是一件容易的事情。
這是由于穩(wěn)定性得出的推理礼旅。三邊相等膳叨，就不會(huì)變形了，主要是指痘系，角度不會(huì)改變菲嘴。因此，會(huì)全等碎浇。

第八全等邊邊邊

命題九 可作射線平分已知角临谱。

九作一角平分線

以角的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，作等腰三角形;然后在該等腰三角形的底上奴璃，向角的內(nèi)部做等邊三角形;最后悉默，連接角的頂點(diǎn)和等邊三角形在角內(nèi)的頂點(diǎn)。
其實(shí)苟穆，向角內(nèi)作等腰三角形抄课，效果也一樣。但是雳旅，那樣就放棄了使用第一命題的機(jī)會(huì)跟磨，且要增加很多語(yǔ)句來(lái)證明。
于是攒盈，這個(gè)由等腰三角形和等邊三角形拼起來(lái)的箏形抵拘，發(fā)揮了重要的作用。在下面幾個(gè)命題中型豁，用的是同樣的方法來(lái)作僵蛛。因?yàn)樯序颍妊切问禽S對(duì)稱圖形。

命題十 線段中點(diǎn)存在充尉。

第十線段之中點(diǎn)

雖然方法一樣飘言，但這一次，作者一定堅(jiān)持用等邊三角形驼侠，上下兩個(gè)都是等邊三角形姿鸿。因此，得到了一個(gè)菱形倒源。

菱形是很特殊的形狀苛预，既屬于平行四邊形，也屬于箏形笋熬。

歐幾里得利用了命題一碟渺，輕而易舉的構(gòu)造全等，省略很多證明的力氣突诬。
看希爾波特對(duì)“線段中點(diǎn)存在”的證明，用到了“運(yùn)動(dòng)”的觀點(diǎn)芜繁，竟然讓一個(gè)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)旺隙，把一個(gè)三角形的內(nèi)角活活的變成了外角，這想象力超乎凡人的想象骏令。
由此可以知道蔬捷，每一個(gè)看似平常的命題，來(lái)歷都很曲折榔袋。

命題十一 過(guò)直線上一點(diǎn)周拐，可作該直線的垂線。

十一線上點(diǎn)垂線

這個(gè)命題凰兑，我想到的古人詩(shī)句是“大漠孤煙直”妥粟，因?yàn)槭菑牡孛嫦蛏系母杏X(jué)。

命題十二 過(guò)直線外一點(diǎn)吏够，可作該直線的垂線勾给。

十二線外點(diǎn)射影

直角的定義是：一個(gè)角等于它的鄰補(bǔ)角時(shí)，它就叫做直角锅知。
因此播急，垂直也是在討論一種相等關(guān)系。這兩個(gè)命題同樣用到了命題一售睹，以及等腰三角形的性質(zhì)桩警。

也可以說(shuō)從第五命題到第十二命題，一直討論的是等腰三角形以及它的頂角平分線昌妹，底邊上的中線捶枢、中垂線握截、高，這些重合在一起的同一直線柱蟀。

第十二命題川蒙，配詩(shī)“長(zhǎng)河落日?qǐng)A”。

命題十三 兩直線相交长已，鄰角和為兩直角畜眨。

十三定義鄰補(bǔ)角

在希爾伯特體系中，先定義鄰補(bǔ)角术瓮，共頂點(diǎn)康聂，共一邊，另一邊共一直線胞四。
然后才定義直角：一個(gè)角和它的鄰補(bǔ)角合同的恬汁，叫做直角。
那么辜伟，根據(jù)這個(gè)定義氓侧，本命題是不需要證明的。

而歐幾里得先定義直角导狡，“當(dāng)一直線和另一直線相交的鄰角彼此相等時(shí)约巷，這些角的每一個(gè)叫做直角”，這句定義旱捧，應(yīng)該說(shuō)了四個(gè)角相等独郎。他當(dāng)時(shí)的感覺(jué)也許是這樣：本次兩直線a,b相交得到的四個(gè)角彼此相等，下次直線c,d相交得到的四個(gè)角也彼此相等枚赡，但兩次得到的直角相等嗎氓癌？該如何證明？

似乎不容易證明贫橙，因此贪婉，插入第四公設(shè)“所有的直角都相等”。

命題十四 如果一個(gè)角與其外部的另一角共頂點(diǎn)且共一邊卢肃，且兩角和為平角谓松，則它們的另一邊共線。

十四鄰補(bǔ)證共線

希對(duì)鄰補(bǔ)角的定義是：

兩角共頂點(diǎn)践剂，共一邊鬼譬，且不共的一邊合成一條直線，叫做鄰補(bǔ)角逊脯。

根據(jù)這個(gè)定義优质，上面的命題是不需要證明的。因此，這兩個(gè)命題實(shí)際上是定義巩螃，定義了鄰補(bǔ)角演怎。

這個(gè)命題可以用來(lái)證明三點(diǎn)共線。
（目前避乏，證明共線的方法有：Playfair公理爷耀，面積法，角度法拍皮。）

第四公設(shè)歹叮，似乎也有深意，需細(xì)細(xì)考察铆帽。

命題十五 對(duì)頂角相等

十五対頂角相等

對(duì)頂角是同一個(gè)角的兩個(gè)鄰補(bǔ)角咆耿，自然會(huì)相等。因?yàn)槎x的方式不同爹橱，歐在這里用了第四個(gè)公設(shè)萨螺。而希則把第四公設(shè)當(dāng)成定理證明了。

至此愧驱，討論的都是相等的關(guān)系慰技。
至此，除了第五公設(shè)组砚，所有的前提條件都已按照需要出場(chǎng)過(guò)惹盼。

等腰三角形所有的內(nèi)角基本討論結(jié)束了：頂角的平分線討論過(guò)了，底角相等討論過(guò)惫确，連內(nèi)角的對(duì)頂角也討論過(guò)了。外角的對(duì)頂角還是外角蚯舱，彼此也相等改化。

只有外角與內(nèi)角之間的關(guān)系沒(méi)有討論。因此枉昏，命題十六開(kāi)啟外角討論模式陈肛，用一個(gè)不等式結(jié)束第一部分。

命題十六 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與其不相鄰的內(nèi)角兄裂。

十六外角大內(nèi)對(duì)

這個(gè)命題是大名鼎鼎的外角定理句旱。希安排在第22個(gè)命題。希的證明看上去更加精巧和嚴(yán)謹(jǐn)晰奖。見(jiàn)《希爾伯特幾何基礎(chǔ)》ISBN 978-7-301-14803-7 第17頁(yè)谈撒。看文字為主匾南，圖形似乎有些微小出入啃匿，看不準(zhǔn)。

歐的證明，微微讓人覺(jué)的心虛的地方就是溯乒，不知道那個(gè)點(diǎn)會(huì)落在線的哪一側(cè)夹厌，萬(wàn)一落點(diǎn)畫(huà)的不準(zhǔn)確，結(jié)論可能就不保險(xiǎn)了裆悄。幾何證明需要圖形直觀矛纹，但證明不能依靠看圖說(shuō)話。

希的證明光稼，因?yàn)橛许樞蚬碜霰ＷC或南，感覺(jué)踏實(shí)許多。

1-16命題導(dǎo)圖：

1-16命題思維導(dǎo)圖

命題1-16精粹：
三角形全等
等腰三角形
Pasch公理（希）
外角定理

最重要的是：外角定理

命題1-16

從9-15命題實(shí)際上利用了一個(gè)等腰三角形和一個(gè)等邊三角形拼成的箏形钟哥，完成了證明迎献，現(xiàn)代看來(lái)就是等腰三角形的性質(zhì)：頂角平分線、底邊上的中線腻贰、底邊的中垂線吁恍、底邊上的高重合在同一條直線上。

1-8命題已經(jīng)給出了關(guān)于三角形全等的多數(shù)命題播演，為最終命題47勾股定理的證明提供了部分依據(jù)冀瓦。

命題47中，勾股定理的證明需要的另一個(gè)依據(jù)是：平行線之間的距離處處相等写烤。因此翼闽，這一部分以外角定理做結(jié)束，準(zhǔn)備開(kāi)始探索平行線的相關(guān)信息洲炊。

外角定理是第一部分的結(jié)論：

命題十六（外角定理） 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與其不相鄰的內(nèi)角感局。