【初中數學】趣味題三角形面積計算

作者介紹：
大爽老師募胃，以前做過高中數學線上一對一輔導老師
現(xiàn)在賦閑在家驾荣，與大家分享一些初高中數學的知識谴供，方法與思路框喳。

適用階段：初二上學期唇兑，學完三角形(人教版第十一章)坎弯。

題目

$如圖纺涤， \triangle ABC 的面積為1,\\ 第一次操作译暂，分別延長AB, BC, CA 至點A_1, B_1, C_1, \\ 使得A_1B=AB, B_1C=BC, C_1A=CA, \\ 順次連接A_1, B_1, C_1, 得到\triangle A_1B_1C_1, \\ 第二次操作，分別延長A_1B_1, B_1C_1, C_1A_1至點A_2, B_2, C_2, \\ 使得A_2B_1=A_1B_1, B_2C_1=B_1C_1, C_2A_1=C_1A_1,\\ 順次連接A_2, B_2, C_2, 得到\triangle A_2B_2C_2, \\那么\triangle A_2B_2C_2 的面積是 \_\_\_\_\_\_.$

q1_1.png

思路分析與解答

這里核心考察的就是洒琢，同底等高秧秉。
兩個三角形，底的長度相同衰抑，共用一個高象迎，則這兩個三角形面積相等。

我們先來看第一次操作后的效果呛踊，如下圖

q1_3.png

$\begin{align} & 連接AB_1, BC_1, CA_1, \\ & 觀察\triangle ABC 和 \triangle ACB_1, 他們的底相同(BC = CB_1), \\ & 底邊上的高相同, 都是點A到BB_1的距離砾淌。\\ & \therefore S_{\triangle ACB_1} = S_{\triangle ABC} = 1 \\ & 再觀察\triangle AB_1C_1 和 \triangle ACB_1, 他們的底相同(C_1A = AC), \\ & 底邊上的高相同, 都是點B_1到CC_1的距離。\\ & \therefore S_{\triangle AB_1C_1} = S_{\triangle ACB_1} = 1 \\ & 同理可得谭网，其他小三角形的面積也為1汪厨。\\ & 即 S_{\triangle A_1BC_1} = S_{\triangle BAC_1} = S_{\triangle A_1BC} = S_{\triangle A_1CB_1} = 1\\ & \triangle A_1B_1C_1 里共有7個小三角形，\therefore S_{\triangle A_1B_1C_1} = 7\\ \end{align}$

同理可得
$S_{\triangle A_2B_2C_2} = 7 S_{\triangle A_1B_1C_1} = 49$

正確答案是49

完整圖像如下（畫出 $A_2B_2C_2$ )

q1_3.png

最后編輯于：2022.06.15 21:34:08

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