一階常微分方程
惠更斯1693年明確提到微分方程柏肪，萊布尼茨稱微分方程是特征三角形的邊的函數(shù)，我們現(xiàn)在所認為的常微分岭洲，即由給定函數(shù)及其導數(shù)中消除任意常數(shù)后得到微分方程苦始，是1740年Alexis Fontaine des Bertins提出的。
1690年詹姆斯伯努利研究等時問題：求一條曲線奈惑，當擺沿著曲線振動時吭净，不管經(jīng)歷的弧長大小，擺做一次振動的用時都相等（這條曲線就是擺線）肴甸。萊布尼茨給出了一個分析解寂殉，而伯努利通過微分等式得出了曲線方程。同年他提問：一根柔軟而定長的弦自由懸掛于兩固定點原在，求弦形成的曲線友扰。早在15世紀達芬奇也有此問，伽利略猜想是拋物線庶柿，惠更斯否認了這一猜測村怪，因為除非弦的重量及載荷按水平方向計算是均勻的，曲線才是拋物線浮庐，而這個問題里重量沿曲線方向均勻甚负。
次年約翰伯努利用微分方程dy/dx=s/c推導出結果，其中s是最低點到弦上任意點的弧長，c是弦在單位長度的重量腊敲，這個方法也是現(xiàn)代微積分和力學課本中采用的方法，結果記為维苔，因為解決了哥哥的提問碰辅，他很得意，1718年在給Montmort（1678-1719）的信中炫耀自己比哥哥聰明（朋友介时，這都27年了還念念不忘没宾，而且對方都快去世了還要聽你炫耀，什么仇什么怨胺腥帷Ｑァ）
1691-1692年，伯努利兄弟解決了很多繩子形狀問題褐澎，約翰還解決了逆問題：已知非彈性細繩形狀的曲線方程会钝，求繩子密度相對于弧長的變化規(guī)律，在力學教科書里搶占了一席之地工三。哥哥也沒閑著迁酸，證明了給定繩長和固定點，所有形狀的繩子里俭正，懸鏈線的重心最低奸鬓；此外推導了跟蹤曲線的方程。
1691年萊布尼茨想到了常微分方程的分離變量法掸读，把形如ydx/dy=f(x)g(y)的方程改寫為dx/f(x)=g(y)dy/y就能在兩邊積分串远，但他沒建立一般方法。同年他對一階齊次方程y'=f(y/x)求解儿惫，1694年約翰伯努利對變量分離和齊次方程做了更完整的說明澡罚。1695年詹姆斯提出求解一個方程（現(xiàn)在叫伯努利方程），次年他通過分離變量解出肾请，萊布尼茨通過變量替換把方程化成線性方程始苇，給了另一種解法。
1694年萊布尼茨和詹姆斯伯努利引入了找等交曲線或曲線族的問題：找一曲線或曲線族與已知曲線相交于給定角度筐喳。他們解出了一些特例催式，暫時擱置了問題，直到1715年萊布尼茨向牛頓挑戰(zhàn)：找出求一已知曲線族的正交軌線的一般方法（很懷疑萊布尼茨想到頭禿終于想到咋做了避归，興沖沖提問）牛頓利用睡前時間得到了答案荣月，還指明了如何求與已知曲線族相交成定角或相交角隨族中曲線規(guī)律變化的曲線。詹姆斯的學生Jacob?Hermann給出了正交軌線的常微分方程梳毙，把萊布尼茨的方法闡釋得更為明確哺窄。
當時人們已認識了一階恰當方程。1739年克萊羅給出了恰當方程的條件（1734年歐拉也給出了），如果是恰當方程就可以積分萌业，如果方程不恰當坷襟，往往可以乘以一個量（積分因子）轉(zhuǎn)化為恰當方程。歐拉確立了能轉(zhuǎn)為恰當方程的方程類屬生年，克萊羅引入了積分因子概念婴程，完善了理論。
