本次匯報主要介紹一個一維模型逛拱，kitaev chain及其擴(kuò)展版本敌厘。通過對它們體態(tài)和邊緣態(tài)的求解，來了解不同拓?fù)浞诸惖哪Ｐ汀?br>
一維kitaev模型是kitaev 在2000提出的玩具模型朽合，用來“制造”馬約拉納費米子俱两。
該模型的哈密頓量，用二次量子化的形式表示成如下的形式曹步，比之前一些模型宪彩，除了跳躍項，多出了一項超導(dǎo)配對項讲婚，u是化學(xué)勢尿孔，j是躍遷強度，delta中包含了超導(dǎo)配對振幅和相位磺樱。
1纳猫、對于體態(tài)，我們還是取周期性邊界條件竹捉，然后變換到動量空間進(jìn)行求解芜辕。將產(chǎn)生湮滅算符的傅里葉變換式，帶入實空間中哈密頓量表達(dá)式块差，化簡可得動量空間的體哈密頓量表達(dá)式侵续。
由于多了超導(dǎo)配對項，不能用單個電子的產(chǎn)生湮滅算符來將哈密頓量寫成行矩陣列的形式憨闰，而需要將分量加倍状蜗。我們先采用BDG表示來求解，后面也會用majorana表示來進(jìn)行二次驗證鹉动，phi為南部旋子轧坎。將原式系數(shù)與展開式進(jìn)行對比，可得BDG哈密頓量的矩陣表達(dá)式泽示，其中利用了費米子產(chǎn)生湮滅算符的反對易關(guān)系式缸血。
求解久期方程，可得準(zhǔn)粒子的E-K關(guān)系械筛。這里捎泻，我們先分析對稱性，判斷該模型的拓?fù)浞诸惵裼矗瑥亩孟鄳?yīng)的拓?fù)洳蛔兞縼韰^(qū)分不同的拓?fù)鋺B(tài)笆豁。當(dāng)存在反幺正算符C使得哈密頓量滿足如下關(guān)系式，我們稱該系統(tǒng)具有粒子空穴對稱性，對于該模型闯狱，C = sigma x k煞赢，屬于D類±┣猓可以用Z2拓?fù)洳蛔兞縼砻枋觥?br>
特別地耕驰，當(dāng)phi = 0時爷辱，dx分量等于0录豺，系統(tǒng)獲得手性對稱性，d曲線被限制在yoz平面饭弓，或者說bloch球上的一個大圓双饥，模型由D類變?yōu)锽DI類，可以用圈繞數(shù)進(jìn)行描述弟断。在這里我們繪制了色散關(guān)系曲線和相應(yīng)的d曲線咏花，3和5具有不同的圈繞數(shù)，曲線穿過原點的時候阀趴，能帶閉合昏翰。
2常侦、對于邊緣態(tài)须鼎，我們在取開放邊界條件的實空間進(jìn)行求解已脓，相應(yīng)的南部旋子也變換到實空間的形式咳秉。對比參數(shù)我們可以得到實空間下的BDG 哈密頓量的矩陣投蝉」叨梗可繪制相應(yīng)的能譜和u=1時的邊緣態(tài)害淤。
3挖息、然后据块，我們用majorana表示求解码邻，進(jìn)行驗證。馬約拉納費米子是馬約拉納提出的一種反粒子是其自身的費米子另假。復(fù)費米子的產(chǎn)生湮滅算符可以用兩個馬約拉納算符進(jìn)行表示像屋，帶入式中即得馬約拉納算符表示的哈密頓量，為了方便我們還是取phi=0边篮，j=delta己莺。化簡得到最終的哈密頓量苟耻，求解后的結(jié)果與先前的方法一致篇恒。
4、最后是kitaev chain的一個擴(kuò)展版本凶杖，增加一個跳躍項和配對項胁艰，由此可以得到更多的拓?fù)湎唷?br>
先在周期邊界條件下求體態(tài)，依然采用BDG表示，為了方便腾么，phi 1取0奈梳，phi 2 取phi。利用泡利算符展開解虱，系統(tǒng)仍然具有粒子空穴對稱性攘须，可以用Z2拓?fù)洳蛔兞縼砻枋觯⑶铱梢杂貌悸搴涨蛎嫔系墓茴D量的纏繞曲線來形象地表示殴泰。當(dāng)k從-pi到pi改變一個周期時于宙，哈密頓量在布洛赫球面上的曲線是一條閉合曲線，其包圍的曲面所對應(yīng)的立體角與貝利相位有如下的關(guān)系悍汛。當(dāng)k取0 or pi or -pi的時候捞魁，dx = dy =0，曲線穿過球的極點离咐。我們把曲線分為-pi到0和0到pi兩部分谱俭，當(dāng)穿過同一個極點時，曲線纏繞方向相反宵蛀，立體角為0昆著，貝利相位等于0；當(dāng)穿過不同的極點時术陶，立體角為2pi凑懂，貝利相位等于pi。 由此拓?fù)鋽?shù)只能是0或者1.
特別地瞳别，當(dāng)phi = 0時征候，dx分量等于0，系統(tǒng)獲得手性對稱性祟敛，可以用圈繞數(shù)進(jìn)行描述疤坝。
