若[某一個]三角形的三個內(nèi)角和等于兩個直角，則[每一個]三角形的三個內(nèi)角和等于兩個直角。
這個定理神奇的地方是走触，可以“以偏概全”。只要看到一只黑色的烏鴉泥耀，就可以斷言“天下烏鴉一般黑”饺汹。
哪怕假如用“勾三股四弦五”找到一個很特殊的直角三角形，并且證明了它的三個內(nèi)角和為兩直角痰催，那么就可以斷言，所有的三角形內(nèi)角和是兩個直角迎瞧。
這個定理同樣不依賴平行公設(shè)夸溶。證明時，使用薩謝利四邊形的性質(zhì)凶硅。
薩謝利四邊形：四邊形ABCD中缝裁，角A和角B是直角，一組對邊AD和BC相等足绅。
其中捷绑，AB稱為下底，CD稱上底氢妈，AD和BC稱作腰粹污。
在不依賴于平行公理的情況下，無法證明這是一個矩形首量。但可以得到它的一些性質(zhì)壮吩，一是它兩個頂角C和D相等进苍，二是底邊的中垂線平分整個四邊形，分成全等的兩個四邊形鸭叙。
定理：若四邊形ABCD的四個角都是直角觉啊，則每一條從直線CD的一點E所作的對邊AB的垂線EF，也垂直于CD.
如圖沈贝，已知四邊形ABCD的四個角都是直角杠人。E在CD上，EF垂直于AB于點F.求證：FE垂直與CD.
證明過程中宋下，不能使用平行公理嗡善，以及任何與平行公理等價的命題，如三角形內(nèi)角和為兩直角杨凑，所有三角形的內(nèi)角和都相同等滤奈。
證明：作EF關(guān)于AD和BC的鏡像點，E1,F1以及E2,F2.這些點在已知直線上撩满。
連接AE,AE1蜒程，
AD=AD,
角ADE= 角ADE1
DE=DE1
故[三角形ADE]全等于[三角形ADE1]
故AE=AE1
角EAF=E1AF1
又AF=AF1
所以三角形EAF全等于三角形E1AF1
E1F1=EF，且E1F1垂直于AB
同理E2F2垂直于AB伺帘，且E2F2=EF
所以E1F1=E2F2=EF
四邊形E1F1F2E2為薩氏四邊形昭躺，頂角E1=頂角E2
四邊形E1F1FE為薩氏四邊形，頂角E1=角E1EF
四邊形E2F2FE為薩氏四邊形伪嫁，頂角E2=角E2EF
所以领炫，角E2EF=角E1EF
所以FE垂直于CD于點E.
（同時，角E1,角E2也是直角）
定理：若某一個四邊形的四個角都是直角张咳，那么帝洪，每一個有三個直角的四邊形的第四個角也是直角。
證明方法脚猾，重疊一個直角葱峡。然后構(gòu)成類似上一個定理的圖形，可證明在交點處形成直角龙助，從而證明砰奕，第四個角也是直角。
由此提鸟，可證明勒讓德第二定理军援。
由給定三角形底邊為上底，中位線直線為下底称勋，構(gòu)造撒氏四邊形胸哥。可證得該四邊形的兩個頂角之和與給定三角形三個內(nèi)角和相等铣缠。
然后作薩氏四邊形的對稱軸烘嘱，可以得到三個直角的四邊形昆禽，第四個角為給定三角形內(nèi)角和的一半。
或者說蝇庭，三角形的內(nèi)角和醉鳖，是對應(yīng)“三個直角的四邊形”的第四個角的兩倍。
因此哮内，只要有一個三角形內(nèi)角和為兩個直角盗棵，那么它對應(yīng)的“三直角四邊形”第四角就會為直角，于是北发，所有的“有三個直角的四邊形”第四個角都是直角纹因，對應(yīng)的，所有的三角形內(nèi)角和就是兩個直角琳拨。
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補充說明：
《幾何原本》第一卷第22定義已經(jīng)暗示：
存在四個角都是直角的四邊形瞭恰。
通過這個定義，可以移除第五公設(shè)狱庇，或者惊畏，把第五公設(shè)恢復(fù)到第一卷第18命題。原來的第18命題與第19命題合并成為一個命題密任。
第22定義颜启，還暗示了，存在一種四邊形浪讳，四邊都相等缰盏，而且四個角都是直角，命名為[正方形]淹遵。
據(jù)此口猜，可用對角線分割之，可以得到兩個全等的三角形(SAS證)透揣，每一個三角形內(nèi)角和都是兩個直角暮的。根據(jù)勒讓德第二定理，可以推導(dǎo)出任意三角形的內(nèi)角和為兩個直角淌实。
歐氏幾何的內(nèi)角和定理同第五公設(shè)等價，據(jù)此猖腕，第五公設(shè)可以恢復(fù)成為第18命題拆祈，作為一個普通命題。
且第四公設(shè)強調(diào)所有的直角都相等倘感，正可為此處SAS證明全等作鋪墊放坏，變更第五公設(shè)在《原本》中的位置。
