理解數(shù)學(xué)空間，從距離到希爾伯特空間
原創(chuàng) 2016年04月03日 21:42:09 閱讀 15790
在數(shù)學(xué)中有許多空間表示，比如歐幾里德空間骚露、賦范空間蹬挤、希爾伯特空間等。這些空間之間有什么關(guān)系呢棘幸？
首先要從距離的定義說起焰扳。
什么是距離呢？實(shí)際上距離除了我們經(jīng)常用到的直線距離外误续，還有向量距離如Σni=1xi?yi????????√Σi=1nxi?yi蓝翰， 函數(shù)距離如∫ba(f(x)?g(x))2dx∫ab(f(x)?g(x))2dx、 曲面距離女嘲、折線距離等等，這些具體的距離與距離之間的關(guān)系類似于蘋果诞帐、香蕉等與水果的關(guān)系欣尼，前面是具體的事物，后面是抽象的概念停蕉。距離就是一個(gè)抽象的概念愕鼓，其定義為：
設(shè)X是任一非空集，對(duì)X中任意兩點(diǎn)x,y慧起，有一實(shí)數(shù)d(x,y)與之對(duì)應(yīng)且滿足：
1. d(x,y) ≥≥0菇晃，且d(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y;
2. d(x,y)=d(y,x);
3. d(x,y) ≤≤d(x,z)+d(z,y)。
稱d(x,y)為X中的一個(gè)距離蚓挤。
定義了距離后磺送，我們?cè)偌由暇€性結(jié)構(gòu)，如向量的加法灿意、數(shù)乘估灿，使其滿足加法的交換律、結(jié)合律缤剧、零元馅袁、負(fù)元；數(shù)乘的交換律荒辕、單位一汗销；數(shù)乘與加法的結(jié)合律（兩個(gè)）共八點(diǎn)要求，從而形成一個(gè)線性空間抵窒，這個(gè)線性空間就是向量空間弛针。
在向量空間中，我們定義了范數(shù)的概念估脆，表示某點(diǎn)到空間零點(diǎn)的距離：
1. ||x|| ≥≥0;
2. ||ax||=|a|||x||;
3. ||x+y||≤≤||x||+||y||钦奋。
將范數(shù)與距離比較，可知，范數(shù)比距離多了一個(gè)條件2付材，數(shù)乘的運(yùn)算朦拖，表明其是一個(gè)強(qiáng)化了的距離概念。范數(shù)與距離的關(guān)系可以類似理解為與紅富士蘋果與蘋果的關(guān)系厌衔。
接下來對(duì)范數(shù)和距離進(jìn)行擴(kuò)展璧帝，形成如下：
范數(shù)的集合?? 賦范空間+線性結(jié)構(gòu)??線性賦范空間
距離的集合?? 度量空間+線性結(jié)構(gòu)??線性度量空間
下面在已經(jīng)構(gòu)成的線性賦范空間上繼續(xù)擴(kuò)展，添加內(nèi)積運(yùn)算富寿，使空間中有角的概念睬隶，形成如下：
線性賦范空間+內(nèi)積運(yùn)算?? 內(nèi)積空間；
這時(shí)的內(nèi)積空間已經(jīng)有了距離页徐、長(zhǎng)度苏潜、角度等，有限維的內(nèi)積空間也就是我們熟悉的歐氏空間变勇。
繼續(xù)在內(nèi)積空間上擴(kuò)展恤左，使得內(nèi)積空間滿足完備性，形成希爾伯特空間如下：
內(nèi)積空間+完備性?? 希爾伯特空間
其中完備性的意思就是空間中的極限運(yùn)算不能跑出該空間搀绣，如有理數(shù)空間中的2–√2 的小數(shù)表示飞袋，其極限隨著小數(shù)位數(shù)的增加收斂到2–√2，但2–√2 屬于無理數(shù)链患，并不在有理數(shù)空間巧鸭，故不滿足完備性。一個(gè)通俗的理解是把學(xué)校理解為一個(gè)空間麻捻，你從學(xué)校內(nèi)的宿舍中開始一直往外走纲仍，當(dāng)走不動(dòng)停下來時(shí)（極限收斂），發(fā)現(xiàn)已經(jīng)走出學(xué)校了（超出空間）芯肤，不在學(xué)校范圍內(nèi)了（不完備了）巷折。希爾伯特就相當(dāng)于地球，無論你怎么走崖咨，都還在地球內(nèi)（飛出太空除外）锻拘。
此外，前面提到的賦范空間击蹲，使其滿足完備性署拟，擴(kuò)展形成巴拿赫空間如下：
賦范空間+完備性?? 巴拿赫空間
以上均是在距離的概念上進(jìn)行添加約束形成的，遞增關(guān)系如下：
距離??范數(shù)??內(nèi)積
向量空間+范數(shù)?? 賦范空間+線性結(jié)構(gòu)?+線性結(jié)構(gòu)?線性賦范空間+內(nèi)積運(yùn)算??內(nèi)積空間+完備性??希爾伯特空間
內(nèi)積空間+有限維??歐幾里德空間
賦范空間+完備性?+完備性?巴拿赫空間
順便提以下歌豺，對(duì)距離進(jìn)行弱化推穷，保留距離的極限和連續(xù)概念，就形成拓?fù)涞母拍睢?/p>
