這部分內(nèi)容是用貝利相位給出的現(xiàn)代極化理論
定性分析：一個物理量不好直接測量時扫责，我們往往施加一個微小的擾動，測量它的變化量逃呼，為了便于分析計算鳖孤，我們將該過程簡化為絕熱過程，而絕熱過程自然會聯(lián)系到貝利相位抡笼。
一苏揣、問題陳述
傳統(tǒng)的基于靜態(tài)電偶極矩定義電極化矢量的方法有問題，依賴于原胞的選取推姻，這顯然不是良好的定義平匈。所以轉(zhuǎn)變思路，考察其絕熱過程下，其變化量是否為良好的定義增炭。積分號中p對參數(shù)的導數(shù)忍燥，我們采用第二個公式代入，需要求出力學量r的平均值對參數(shù)的導數(shù)隙姿。因此我們后面分兩步梅垄，第一步先求出任意力學量的平均值對參數(shù)的導數(shù)；第二步將p帶入孟辑，與貝利相位對比哎甲，考察其是否為良好的定義。
二饲嗽、第一步炭玫，在這本書中稱作線性響應(yīng)理論
絕熱過程，哈密頓量隨參數(shù)連續(xù)變化貌虾，瞬時本征態(tài)n滿足瞬時本征方程吞加，兩邊同時對lamda求導，移項整理得公式1尽狠。再用同時乘上左矢衔憨，利用H的厄米性，左端為0袄膏。剩下移項得公式2.將公式2帶回公式1的右端践图，可以簡化為如下的形式，Qn為1減去n的投影算子Pn沉馆。于是我們可以將方程1改寫成方程3的形式码党。方程3的通解為方程4的形式，其中An為實數(shù)斥黑。（我們可以這樣來理解揖盘，瞬時本征態(tài)在絕熱演化下隨參數(shù)的改變量，一項來自于動力學锌奴，另一項來自于幾何路徑）兽狭。乘上一個左矢，右端第二項得0鹿蜀，可見An即貝利聯(lián)絡(luò)箕慧。用Qn同時作用于方程4的兩端，并用Tn代替求和號茴恰，可以得到下面的公式销钝，為的是后續(xù)方便表示力學量的平均值對參數(shù)的導數(shù)。
n態(tài)對力學量平均值的貢獻對參數(shù)求導琐簇，這里的力學量理解為觀測儀器蒸健，不隨參數(shù)改變座享。倒數(shù)第二步，將通解帶入似忧，取實部可消去An渣叛，剩下一項，利用先前的公式盯捌，簡寫為Qn淳衙。總的力學量的平均值對參數(shù)的導數(shù)饺著，應(yīng)該是對所有的態(tài)進行求和箫攀，我們已經(jīng)把Qn替換成了Q，即所有非占據(jù)態(tài)的投影算符之和幼衰。至此我們得到了一個任意力學量的公式靴跛。（每一個占據(jù)能態(tài)，都要包含一個對所有非占據(jù)能態(tài)求和）
三渡嚣、現(xiàn)在我們可以求解電極化矢量的動態(tài)定義梢睛。
但是在此之前，為方便起見识椰，我們變換到動量表象進行求解绝葡。之前得到的一些算符也相應(yīng)的寫成動量表象的形式。
對于力學量平均值的貢獻腹鹉，應(yīng)該是所有占據(jù)帶上所有k態(tài)的求和赞弥。當原胞數(shù)目N足夠多時勇劣，求和號可化成積分虱饿，B區(qū)體積除單個態(tài)占據(jù)的體積∶拇矗現(xiàn)在我們可以把P的公式代入上式，動量表象下航瞭，位置算符為诫硕。坦辟。刊侯。Qk=1-Pk，其中Pk相關(guān)部分為實數(shù)锉走，因此積分為零滨彻，只剩下1的一項。將負號移進積分號內(nèi)挪蹭，即貝利曲率亭饵。
為了更好地理解二者的聯(lián)系，我們以一維系統(tǒng)第n條占據(jù)能帶為例梁厉。二維平面內(nèi)求貝利相位的曲線積分辜羊，可以用格林公式化為曲面積分踏兜，消掉同項，合并后記為貝利曲率八秃。進一步碱妆，在三維參數(shù)空間，利用斯托克斯公式昔驱，也可以做類似變換疹尾，貝利曲率類似參數(shù)空間中的“磁場強度”，貝利相位即磁通量≈韪兀現(xiàn)在我們來看一維第n條占據(jù)能帶纳本，就是貝利曲率沿第一B區(qū)的積分。因此電極化矢量的變化量即貝利相位乘上一個極化量子e/2pi腋颠。
至此我們得到了基于貝利相位定義的現(xiàn)代極化理論繁成，它是一個良好的定義，不依賴于規(guī)范的選取秕豫。
