高等數(shù)學——導數(shù)與微分

0. 預備

0.0 三角函數(shù)

image.png

0.1 三角函數(shù)公式

和差角公式
$cos(\alpha + \beta) = cos\,\alpha\,cos\, \beta - sin\, \alpha\, sin\,\beta$
$cos(\alpha - \beta) = cos\,\alpha\,cos\, \beta + sin\, \alpha\, sin\,\beta$
$sin(\alpha \pm \beta) = sin\,\alpha\,cos\, \beta \pm cos\, \alpha\, sin\,\beta$
$tan(\alpha + \beta) = \frac {tan\,\alpha\, + tan\, \beta} {1 - tan\, \alpha\, tan\,\beta}$
$tan(\alpha - \beta) = \frac {tan\,\alpha\, - tan\, \beta} {1 + tan\, \alpha\, tan\,\beta}$
和差化積公式
$sin\,\alpha + sin\,\beta = 2sin\frac{\alpha + \beta}{2}cos\frac{\alpha - \beta}{2}$
$sin\,\alpha - sin\,\beta = 2cos\frac{\alpha + \beta}{2}sin\frac{\alpha - \beta}{2}$
$cos\,\alpha + cos\,\beta = 2cos\frac{\alpha + \beta}{2}cos\frac{\alpha - \beta}{2}$
$cos\,\alpha - cos\,\beta = -2sin\frac{\alpha + \beta}{2}sin\frac{\alpha - \beta}{2}$
$tan\,\alpha \pm tan\,\beta = \frac{sin(\alpha \pm \beta)}{cos\alpha\, cos \beta}$
$cot\,\alpha \pm cot\,\beta = \pm\frac{sin(\alpha \pm \beta)}{sin\alpha\, sin \beta}$
積化和差公式
$sin\,\alpha\, cos\,\beta = \frac{1}{2}[sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta)]$
$cos\,\alpha\, sin\,\beta = \frac{1}{2}[sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta)]$
$cos\,\alpha\, cos\,\beta = \frac{1}{2}[cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)]$
$sin\,\alpha\, sin\,\beta =- \frac{1}{2}[cos(\alpha + \beta) - cos(\alpha - \beta)]$
二倍角公式
$sin\,2\alpha = 2sin\,\alpha\, cos\,\alpha$
$cos\,2\alpha = 2cos^{2}\,\alpha - 1 = 1- 2sin^{2}\,\alpha = cos^{2}\,\alpha - sin^{2}\,\alpha$
$tan\,2\alpha = \frac {2tan\,\alpha} {1 - tan^{2}\, \alpha}$

0.2 等差數(shù)列

其中等差數(shù)列的首項為 $a_{1}$ ，末項為 $a_{n}$ 悦穿，項數(shù)為 $n$ ，公差為 $d$ ，前 $n$ 項和為 $s_{n}$ 。
通項公式 $a_{n} = a_{1} + (n-1)\times d$
求和公式 $s_{n} = na_{1} + \frac{n(n-1)}{2}d,n\in N^{*}$

0.3 等比數(shù)列

其中 $a_{1}$ 為首項征唬， $q$ 為等比數(shù)列公比， $s_{n}$ 為等比數(shù)列前 $n$ 項和茁彭。
通項公式 $a_{n} = a_{1}q^{n-1}$
求和公式 $s_{n} = \frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}(q\neq 1)$

1. 集合

1.1 集合的運算法則

交換律： $A\cup B = B\cup A$ , $A\cap B = B\cap A$
結合律：
分配律：
對偶律： $(A\cap B)^{c}= A^{c}\cup B^{c}$ 总寒， $(A\cup B)^{c}= A^{c}\cap B^{c}$

2. 極限

2.1 無窮小

定理 1 ??? 有限個無窮小的和也是無窮小

定理 2 ??? 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小理肺；

推論 1 ??? 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮猩阏ⅰ；有限個無窮小的乘積是無窮忻萌年枕；

定理 3 ??? 如果 $lim\,f(x) = A,\, lim\,g(x) = B$ ，那么
(1) $lim[f(x)\pm g(x)] = lim\,f(x) \pm lim\,g(x) = A \pm B$
(2) $lim[f(x) \cdot g(x)] = lim\,f(x) \cdot lim\,g(x) = A \cdot B$
(3) 若又有 $B \neq 0$ 乎完，則：
$lim\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{lim\,f(x)}{lim\,g(x)} = \frac{A}{B}$

推論 2 ??? 如果 $lim\,f(x)$ 存在画切，而 $c$ 為常數(shù)，則
$lim[c\,f(x)] = c\, lim\, f(x)$

推論 3 ??? 如果 $lim\,f(x)$ 存在囱怕，而 $n$ 是正整數(shù)，則
$lim[f(x)]^{n} = [lim\, f(x)]^{n}$

定理 4 ??? 如果 $\varphi (x)\geqslant \psi (x)$ 毫别，而 $lim\,\varphi (x)=a, lim\,\psi (x)=b$ 娃弓，那么 $a\geqslant b$

2.2 無窮小的比較

$\alpha$ 和 $\beta$ 都是同一自變量的變化過程中的無窮小，且 $\alpha \neq 0$ 岛宦， $lim \frac{\beta}{\alpha}$ 是在這個變化過程中的極限台丛，則有以下定義：

如果 $lim \frac{\beta}{\alpha}=0$ ，就說 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高階的無窮小，記作 $\beta = o(\alpha)$
如果 $lim \frac{\beta}{\alpha}=\infty$ 挽霉，就說 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低階的無窮小
如果 $lim \frac{\beta}{\alpha}=c \neq 0$ 防嗡，就說 $\beta$ 與 $\alpha$ 是同階無窮小
如果 $lim \frac{\beta}{\alpha^{k}}=c\neq 0,k>0$ ，就說 $\beta$ 是關于 $\alpha$ 的 $k$ 階無窮小
如果 $lim \frac{\beta}{\alpha}=1$ 侠坎，就說 $\beta$ 與 $\alpha$ 是等階無窮小蚁趁，記作 $\alpha \sim \beta$

定理 1 ??? $\alpha$ 和 $\beta$ 是等價無窮小的充分必要條件為 $\beta = \alpha + o(\alpha)$

定理 2 ??? 設 $\alpha \sim \alpha' , \beta \sim \beta'$ ，且 $lim\, \frac{\beta'}{\alpha'}$ 存在实胸，則 $lim\, \frac{\beta}{\alpha}= lim\, \frac{\beta'}{\alpha'}$

2.3 極限存在準則

準則 1 ??? 如果數(shù)列 $\{x_{n}\}$ 他嫡、 $\{y_{n}\}$ 及 $\{z_{n}\}$ 滿足下列條件：
(1) 從某項起，即 $\exists\, n_{0} \in N$ 庐完，當 $n > n_{0}$ 時钢属，有 $y_{n}\leqslant x_{n}\leqslant z_{n}$
(2) $\underset{n\rightarrow \infty }{lim}\,y_n=a,\underset{n\rightarrow \infty }{lim}\,z_n=a$
那么數(shù)列 $\{x_{n}\}$ 的極限存在，且 $\underset{n\rightarrow \infty }{lim}\,y_n=a$

準則 1' ??? 如果
(1) 當 $x \in \overset{\circ }{U}(x_0, r)$ （或 $|x| > M$ ）時门躯， $g(x) \leqslant f(x)\leqslant h(x)$
(2) $\underset{n\rightarrow \infty }{lim}\,g(x)=A,\underset{n\rightarrow \infty }{lim}\,h(x)=A$
那么 $\underset{n\rightarrow \infty }{lim}f(x)$ 存在淆党，且等于 $A$

準則 2 ??? 單調有界數(shù)列必有極限

柯西極限存在準則 ??? 數(shù)列 $\{x_{n}\}$ 收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數(shù) $\varepsilon$ ，存在著這樣的正整數(shù) $N$ 讶凉，使得當 $m > N,n > N$ 時染乌，就有 $|x_n - x_m| < \varepsilon$ 。

應用：

$\underset{x\rightarrow 0 }{lim}\frac {sin\,x}{x} = 1$
$\underset{x\rightarrow \infty }{lim}(1 + \frac{1}{x})^{x} = e$
$\underset{x\rightarrow 0 }{lim}\frac {a^{x} -1}{x} = ln\,a$
$\underset{x\rightarrow 0}{lim\,}x^{\alpha }ln\,x = 0\quad (\alpha > 0)$

2.4 極限的求法

提取因式缀遍，做等價替換
$0 \cdot \infty$ 改寫成 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$
$\infty - \infty$ 有分母就通分慕匠，無分母創(chuàng)造分母
$\infty ^{0}$ 、 $0^0$ 域醇、 $1^{\infty}$ 套用以下公式
$u(x)^{v(x)} = e^{v(x)ln(u(x))}$
用泰勒公式進行展開時遵循兩個原則
$\frac{A}{B}$ 型上下同階原則：若分母（分子）是 $x$ 的 $k$ 次方台谊，則將分子（分母）展開至 $k$ 次方；
$A-B$ 型冪次最低原則：將 $A$ 譬挚、 $B$ 分別展開至系數(shù)不相等的 $x$ 的最低次冪為止锅铅。

2.5 函數(shù)的連續(xù)性

結論 1 ??? 基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的
注：
(1) 高等數(shù)學將基本初等函數(shù)歸為五類：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)减宣、對數(shù)函數(shù)盐须、三角函數(shù)、反三角函數(shù)漆腌。
(2) 數(shù)學分析將基本初等函數(shù)歸為六類：冪函數(shù)贼邓、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)闷尿、三角函數(shù)塑径、反三角函數(shù)、常數(shù)函數(shù)填具。

結論 2 ??? 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的
注：
(1) 初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算（加统舀、減、乘、除誉简、有理數(shù)次乘方碉就、有理數(shù)次開方）及有限次函數(shù)復合所產(chǎn)生，并且能用一個解析式表示的函數(shù)闷串。

零點定理 ??? 設函數(shù) $f(x)$ 在閉區(qū)間 $[a, b]$ 上連續(xù)瓮钥，且 $f(a)$ 與 $f(b)$ 異號（即 $f(a)\cdot f(b)<0$ ），那么在開區(qū)間 $(a, b)$ 內(nèi)至少有一點 $\xi$ 窿克，使 $f(\xi) = 0$

介值定理 ??? 設函數(shù) $f(x)$ 在閉區(qū)間 $[a, b]$ 上連續(xù)骏庸，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值 $f(a)=A,f(b) = B$ ，那么對于 $B$ 與 $B$ 之間的任意一個數(shù) $C$ 年叮，在開區(qū)間 $(a, b)$ 內(nèi)至少有一點 $\xi$ 具被，使 $f(\xi) = C\,\,(a < \xi < b)$

2. 導數(shù)

2.1 定義

設函數(shù) $y=f(x)$ 在點 $x_0$ 的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量 $x$ 在 $x_0$ 處取得增量 $\Delta x$ （點 $x_0 + \Delta x$ 仍在該鄰域內(nèi)）時只损，相應地函數(shù)取得增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)$ 一姿；如果 $\Delta y$ 與 $\Delta x$ 之比當 $\Delta x\rightarrow 0$ 時極限存在，則稱函數(shù) $y=f(x)$ 在點 $x_0$ 處可導跃惫，并稱這個極限為函數(shù) $y=f(x)$ 在點 $x_0$ 處的導數(shù)叮叹，記為 $y=f'(x)$ ，即 $f'(x) = \underset{\Delta x\rightarrow 0 }{lim}\frac {\Delta y}{\Delta x} = \underset{\Delta x\rightarrow 0 }{lim}\frac {f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

2.2 函數(shù)可導性與連續(xù)性

函數(shù)在某點連續(xù)是函數(shù)在該點可導的必要條件爆存，但不是充分條件蛉顽。

2.3 基本求導法則與導數(shù)公式

常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
$(C)' = 0$
$(x^{u})' = u\,x^{u-1}$
$(sin\,x)' = cos\,x$
$(cos\,x)' = -sin\,x$
$(tan\,x)' = sec^{2}\,x$
$(cot\,x)' = -csc^{2}\,x$
$(sec\,x)' = sec\,x\,tan\,x$
$(csc\,x)' = -csc\,x\,cot\,x$
$(a^{x})' = a^{x}ln\,a$
$(e^{x})' = e^{x}$
$(log_{a}x)' = \frac{1}{x\,ln\,a}$
$(ln\,x)' = \frac{1}{x}$
$(arcsin\,x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$(arccos\,x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$(arctan\,x)' = \frac{1}{1+x^{2}}$
$(arccot\,x)' = -\frac{1}{1+x^{2}}$

函數(shù)的和、差先较、積携冤、商的求導法則
如果函數(shù) $u = u(x)$ 及 $v = v(x)$ 都在點 $x$ 具有導數(shù)，那么他們的和闲勺、差曾棕、積、商（分母為零的點除外）都在點 $x$ 具有導數(shù)菜循，且
(1) $[u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x)$
(2) $[C\,u(x)]' = C\,u'(x)$
(2) $[u(x)\, v(x)]' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x)$
(3) $[\frac{u(x)}{v(x)}]' = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\, v'(x)}{v^{2}(x)}(v(x)\neq0)$
反函數(shù)的求導法則
反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)的導數(shù)的倒數(shù)翘地，即 $[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(x)}$
參數(shù)方程求導
設函數(shù) $y = y(x)$ 由
$\left\{\begin{matrix} x = \phi (t)\\ y = \psi (t) \end{matrix}\right.$
確定， $t$ 為參數(shù)癌幕，則 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$
隱函數(shù)求導
方程兩邊分別對 $x$ 求導即可衙耕，把方程中的 $y$ 看作 $f(x)$ 。
對數(shù)求導法
例如： $y = \sqrt[5]{\frac{(x-3)^2(x+5)^3}{(x-1)^3}}$
冪指函數(shù)求導
例如： $y = x^{sin\,x}$
復合函數(shù)的求導法則
設 $y=u(x)$ 勺远，而 $u=g(x)$ 且 $f(u)$ 及 $g(x)$ 都可導臭杰，則復合函數(shù) $y=f[g(x)]$ 的導數(shù)為 $y'(x) = f'(u)\,g'(x)$
變限積分求導
$F'(x) = \fracaoyuicw{dx}(\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(t)dt) = f[\phi_2(x)]\phi_1'(x) - f[\phi_1(x)]\phi_1'(x)$
$n$ 階導數(shù)
$(sin\,x)^{(n)} = sin(x+n\cdot \frac{\pi}{2})$
$(cos\,x)^{(n)} = cos(x+n\cdot \frac{\pi}{2})$
$[ln(1+x)]^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^{n}}$
$(x^{\mu})^{(n)} = \mu(\mu-1)(\mu-2)\cdots (\mu-n+1)x^{\mu-n}$
$(u+v)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}C_n^{k}u^{n-k}v^{k}$
$(u\,v)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}C_n^{k}u^{(n-k)}v^{(k)}$

2.4 導數(shù)的應用

極值的判別 ??? 設 $f(x)$ 在 $x_0$ 處 $n$ 階可導，且 $f'(x_0) = f''(x_0) = \cdots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$ 谚中，但 $f^{(n)}(x_0)\neq 0\,(n\geqslant 2)$ ，則當 $n$ 為偶數(shù)時，
$\left\{\begin{matrix} f^{(n)}(x_0) > 0\Rightarrow x_0 極小值點\\ f^{(n)}(x_0) < 0\Rightarrow x_0 極大值點 \end{matrix}\right.$

拐點的判別 ??? 設 $f(x)$ 在 $x_0$ 處 $n$ 階可導宪塔，且 $f''(x_0) = f'''(x_0) = \cdots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$ 磁奖，但 $f^{(n)}(x_0)\neq 0\,(n\geqslant 3)$ ，則當 $n$ 為奇數(shù)時某筐， $(x_0, f(x_0))$ 為曲線的拐點比搭。

漸近線 ???
(1) $\lim_{x\rightarrow a}f(x) = \infty$ 則函數(shù)存在漸近線 $x = a$ ；
(2) $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x) = b$ 則函數(shù)存在漸近線 $y = b$ 南誊；
(3) $\left\{\begin{matrix} \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{y}{x} = k \\ \lim_{x\rightarrow \infty}(f(x) - kx) = b \end{matrix}\right.$
則函數(shù)存在漸近線 $y = kx+b$

3. 微分

3.1 定義

設函數(shù) $y=f(x)$ 在某區(qū)間內(nèi)有定義身诺， $x_0$ 及 $x_0 + \Delta x$ 在這區(qū)間內(nèi)，如果增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$ 可以表示為 $\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)$ 其中 $A$ 是不依賴于 $\Delta x$ 的常數(shù)抄囚，那么稱函數(shù) $y=f(x)$ 在點 $x_0$ 是可微的霉赡，而 $A\Delta x$ 叫做函數(shù) $y=f(x)$ 在點 $x_0$ 相應于自變量增量 $\Delta x$ 的微分，記作 $dy$ 幔托，即 $dy=A \Delta x$

結論 1 ??? 函數(shù) $y=f(x)$ 在點 $x_0$ 可微的充分必要條件是函數(shù) $y=f(x)$ 在點 $x_0$ 可導穴亏，且當 $y=f(x)$ 在點 $x_0$ 可微時，其微分一定是 $dy=f'(x)\Delta x$

3.2 微分公式

基本初等函數(shù)的微分公式
$d(x^{u}) = u\,x^{u-1}\,dx$
$d(sin\,x) = cos\,x\,dx$
$d(cos\,x) = -sin\,x\,dx$
$d(tan\,x) = sec^{2}\,x\,dx$
$d(cot\,x) = -csc^{2}\,x\,dx$
$d(sec\,x) = sec\,x\,tan\,x\,dx$
$d(csc\,x) = -csc\,x\,cot\,x\,dx$
$d(a^{x}) = a^{x}ln\,a\,dx$
$d(e^{x}) = e^{x}\,dx$
$d(log_{a}x) = \frac{1}{x\,ln\,a}\,dx$
$d(ln\,x) = \frac{1}{x}\,dx$
$d(arcsin\,x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx$
$d(arccos\,x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx$
$d(arctan\,x) = \frac{1}{1+x^{2}}\,dx$
$d(arccot\,x) = -\frac{1}{1+x^{2}}\,dx$
注：其他也與導數(shù)類似
微分近似公式（假定 $|x|$ 是較小的數(shù)值）
$\sqrt[n]{1+x}\approx 1+\frac{1}{n}x$
$sin\,x \approx x(x 用弧度做單位來表示)$
$tan\,x \approx x(x 用弧度做單位來表示)$
$e^{x} \approx 1 + x$
$ln(1+x) \approx x$

3.3 微分中值定理

費馬引理 ??? 設函數(shù) $f(x)$ 在點 $x_0$ 的某領域 $U(x_0)$ 內(nèi)有定義重挑，并且在 $x_0$ 處可導嗓化，如果對任意的 $x\in U(x_0)$ ，有 $f(x) \leqslant f(x_0)\,\,\,(或f(x) \geqslant f(x_0))$ 那么 $f'(x_0) = 0$

羅爾定理 ??? 如果函數(shù) $f(x)$ 滿足
(1) 在閉區(qū)間 $[a,b]$ 上連續(xù)
(2) 在開區(qū)間 $(a,b)$ 內(nèi)可導
(3) 在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等谬哀，即 $f(a) = f(b)$
那么在 $(a,b)$ 內(nèi)至少有一點 $\xi \,(a< \xi <b)$ 刺覆，使得 $f'(\xi) =0$

拉格朗日中值定理 ??? 如果函數(shù) $f(x)$ 滿足
(1) 在閉區(qū)間 $[a,b]$ 上連續(xù)
(2) 在開區(qū)間 $(a,b)$ 內(nèi)可導
那么在 $(a,b)$ 內(nèi)至少有一點 $\xi \,(a< \xi <b)$ 三妈，使等式 $f(b)-f(a) = f'(x)(b-a)$ 成立

柯西中值定理 ??? 如果函數(shù) $f(x)$ 及 $F(x)$ 滿足
(1) 在閉區(qū)間 $[a,b]$ 上連續(xù)
(2) 在開區(qū)間 $(a,b)$ 內(nèi)可導
(3) 對任一 $x\in (a,b), F(x)\neq0$
那么在 $(a,b)$ 內(nèi)至少有一點 $\xi \,(a< \xi <b)$ 苫纤，使等式 $\frac{f(b)-f(a)}{F(b) - F(a)} = \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$ 成立

3.4 泰勒展開式

百科：???若函數(shù) $f(x)$ 在包含 $x_0$ 的某個閉區(qū)間 $[a, b]$ 上具有 $n$ 階導數(shù)，且在開區(qū)間 $(a, b)$ 上具有 $(n+1)$ 階導數(shù)绣溜，則對閉區(qū)間 $[a, b]$ 上任意一點 $x$ 劲室，下式成立：
$f(x) = \frac{f(x_0)}{0!} + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^{2} + \cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n}+R_n(x)$
其中 $R_n(x)$ 是泰勒公式的余項伦仍，是 $(x-x_0)^{n}$ 的高階無窮小。

泰勒中值定理 ??? 如果函數(shù) $f(x)$ 在含有 $x_0$ 的某個開區(qū)間 $(a,b)$ 內(nèi)具有直到 $(n+1)$ 階的導數(shù)很洋，則對任一 $x\in (a, b)$ 充蓝，有 $f(x) = \frac{f(x_0)}{0!} + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^{2} + \cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n}+R_n(x)$ 其中 $R_n(x) =\frac {f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ 這里 $\xi$ 是 $x_0$ 與 $x$ 之間的某個值。

麥克勞林公式 ??? 在泰勒公式中喉磁，如果取 $x_0 = 0$ 谓苟，則 $\xi$ 在 $0$ 與 $x$ 之間，因此协怒，可以令 $\xi=\theta x$ 涝焙，則泰勒公式可以寫成 $f(x) = \frac{f(0)}{0!} + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^{2} + \cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} \,(0<\theta<1)$

常用函數(shù)的泰勒展開式

$sin\,x = x - \frac {1}{6}x^{3} + o(x^{3})$
$arcsin\,x = x + \frac {1}{6}x^{3} + o(x^{3})$
$tan\,x = x + \frac {1}{3}x^{3} + o(x^{3})$
$arctan\,x = x - \frac {1}{3}x^{3} + o(x^{3})$
$cos\,x = 1 - \frac {1}{2}x^{2} +\frac {1}{24}x^{4} + o(x^{4})$
$sec\,x = 1 + \frac {1}{2}x^{2} +\frac {5}{24}x^{4} + o(x^{4})$
$ln(x+1) = x - \frac {1}{2}x^{2} +\frac {1}{3}x^{3} + o(x^{3})$
$e^{x} = 1 + x + \frac {1}{2}x^{2} +\frac {1}{6}x^{3} + o(x^{3})$
$(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac {\alpha (\alpha - 1)}{2}x^{2} + o(x^{2})$

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文/花漫我一把揭開白布腰鬼。她就那樣靜靜地躺著嵌赠，像睡著了一般。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪熄赡。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上姜挺，一...
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城市分裂傳說
那天，我揣著相機與錄音彼硫，去河邊找鬼炊豪。笑死，一個胖子當著我的面吹牛拧篮，可吹牛的內(nèi)容都是我干的词渤。我是一名探鬼主播，決...
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雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開眼串绩，長吁一口氣：“原來是場噩夢啊……” “哼缺虐！你這毒婦竟也來了？” 一聲冷哼從身側響起礁凡，我...
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萬榮殺人案實錄
序言：老撾萬榮一對情侶失蹤高氮，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎慧妄，沒想到半個月后，有當?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體纫溃，經(jīng)...
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?護林員之死
正文獨居荒郊野嶺守林人離奇死亡腰涧，尸身上長有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
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?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年，在試婚紗的時候發(fā)現(xiàn)自己被綠了紊浩。大學時的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片。...
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活死人
序言：一個原本活蹦亂跳的男人離奇死亡疗锐，死狀恐怖坊谁，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出，到底是詐尸還是另有隱情滑臊，我是刑警寧澤口芍，帶...
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?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布，位于F島的核電站雇卷，受9級特大地震影響鬓椭，放射性物質發(fā)生泄漏。R本人自食惡果不足惜关划，卻給世界環(huán)境...
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男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一小染、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望。院中可真熱鬧贮折，春花似錦裤翩、人聲如沸。這莊子的主人今日做“春日...
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一樁弒父案踊赠，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽。三九已至每庆，卻和暖如春筐带，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間，已是汗流浹背缤灵。一陣腳步聲響...
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情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國打工伦籍，沒想到剛下飛機就差點兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道東北人凤价。一個月前我還...
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代替公主和親
正文我出身青樓鸽斟，卻偏偏與公主長得像，于是被迫代替她去往敵國和親利诺。傳聞我的和親對象是個殘疾皇子富蓄，可洞房花燭夜當晚...
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