高等數(shù)學(xué)：導(dǎo)數(shù)與微分題選(1)

1.設(shè)某工廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為 $C(x)=2000+100x-0.1x^2(元),$ 函數(shù)C(x)稱為成本函數(shù),C(x)的導(dǎo)數(shù)C'(x)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為邊際成本,求

(1)當(dāng)生產(chǎn)100件產(chǎn)品時(shí)的邊際成本

(2)生產(chǎn)第101件產(chǎn)品的成本,并與(1)中求得的邊際成本作比較,說明邊際成本的實(shí)際意義

解：

$(1)C'(x)=100-0.2x,$

$C'(100)=100-20=80(元/件)$

$(2)C(101)=11079.9(元),C(100)=11000(元)$

$C(101)-C(100)=79.9(元)\approx 80(元)$

$\therefore 邊際成本C'(x)的意義為$

$當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到x時(shí),再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增添的成本$

2.證明：(cosx)'=-sinx

證：

$(cosx)'=\lim_{\Delta x\to 0} {cos(x+\Delta x)-cosx\over \Delta x}$

$=\lim_{\Delta x\to 0}{-2sin{2x+\Delta x\over 2}sin{\Delta x\over 2}\over \Delta x}$

$=-\lim_{\Delta x\to 0}sin{2x+\Delta x\over 2}\lim_{\Delta x\to 0}{sin{\Delta x\over 2}\over {\Delta x\over 2}}=-sinx$

3.證明：若f(x)為偶函數(shù),且f'(0)存在,證明f'(0)=0

證：

$f'(0)=\lim_{x\to 0}{f(x)-f(0)\over x-0}=\lim_{x\to 0}{f(-x)-f(0)\over x}$

$設(shè)t=-x,則$

$f'(0)=\lim_{t\to 0}{f(t)-f(0)\over -t}=-\lim_{t\to 0}{f(t)-f(0)\over t-0}=-f'(0)$

$\therefore f'(0)=0$

4.證明：雙曲線 $xy=a^2$ 上任一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形面積都等于 $2a^2$

證：

$設(shè)(x_0,y_0)為雙曲線xy=a^2上任一點(diǎn),則y_0={a^2\over x_0}$

$過點(diǎn)(x_0,y_0)的切線斜率k=({a^2\over x})'|_{x=x_0}=-{a^2\over x_0^2}$

$\therefore 切線方程為y-y_0=-{a^2\over x_0^2}(x-x_0)$

$即x+{x_0^2\over a^2}y-2x_0=0$

$\therefore 橫截距為2x_0,縱截距為{2a^2\over x_0}$

$\therefore S={1\over 2}|2x_0|\cdot|{2a^2\over x_0}|=2a^2$

5.推導(dǎo)余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

$(cotx)'=-csc^2x,\qquad (cscx)'=-cscxcotx$

解：

$(cotx)'=({cosx\over sinx})'={(cosx)'sinx-cosx(sinx)'\over sin^2x}$

$=-{1\over sin^2x}=-csc^2x$

$(cscx)'=({1\over sinx})'=-{cosx\over sin^2x}=-cscxcotx$

6. $y={arcsinx\over arccosx}$ ,求y‘

解：

$y'=({arcsinx\over arccosx})'={{1\over \sqrt{1-x^2}}arccosx+arcsinx{1\over \sqrt{1-x^2}}\over (arccosx)^2}$

${\pi\over 2 \sqrt{1-x^2} (arccosx)^2}$

7. $y={e^t-e^{-t}\over e^t+e^{-t}}$ ,求y'

解：

$y'={(e^t+e^{-t})^2-(e^t-e^{-t})^2\over (e^t+e^{-t})^2}={1\over ch^2t}$

8.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

$(1)y=ch(shx)\qquad (2)y=shxe^{chx}$

$(3)y=th(lhx)\qquad (4)y=sh^3x+ch^2x$

$(5)y=th(1-x^2)\qquad (6)y=arsh(x^2+1)$

$(7)y=arch(e^{2x})\qquad (8)y=arctan(thx)$

$(9)y=lnchx+{1\over 2ch^2x}\qquad (10)y=ch^2({x-1\over x+1})$

解：

$(1)y'=[ch(shx)]'=sh(shx)chx$

$(2)y'=(shxe^{chx})'=chxe^{chx}+shxshxe^{chx}$
$=e^{chx}(chx+sh^2x)$

$(3)y'=[th(lnx)]'={1\over xch^2(lnx)}$

$(4)y'=(sh^3x+ch^2x)'=3sh^2xchx+2chxshx$

$(5)y'=[th(1-x^2)]'=-{2x\over ch^2(1-x^2)}$

$(6)y'=[arsh(x^2+1)]'$
$={2x\over \sqrt{1+(x^2+1)^2}}$

$(7)y'=[arch(e^{2x})]'={2e^{2x}\over \sqrt{e^{4x}-1}}$

$(8)y'=[arctan(thx)]'={1\over ch^2x(1+tn^2x)}={1\over 1+2sh^2x}$

$(9)y'=(lnchx+{1\over 2ch^2x})'={shx\over chx}-{shx\over ch^3x}=th^3x$

$(10)y'=[ch^2({x-1\over x+1})]'=ch({x-1\over x+1})sh({x-1\over x+1}){4\over (x+1)^2}$
$={2\over (x+1)^2}sh{2(x-1)\over x+1}$

9.設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)均在點(diǎn) $x_0$ 的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義,f(x)在 $x_0$ 處可導(dǎo), $f(x_0)=0$ ,g(x)在 $x_0$ 處連續(xù),則f(x)g(x)在 $x_0$ 處是否可導(dǎo)

解：

$f(x)在x_0處可導(dǎo),且f(x_0)=0$

$\therefore f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}=\lim_{x\to x_0}{f(x)\over x-x_0}$

$g(x)在x_0處連續(xù)\Rightarrow \lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0)$

$\therefore \lim_{x\to x_0}{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)\over x-x_0}$

$=\lim_{x\to x_0}{f(x)\over x-x_0}g(x)=f'(x_0)g(x_0)$

$即f(x)g(x)在x_0處可導(dǎo),導(dǎo)數(shù)為f'(x_0)g(x_0)$

10.設(shè)函數(shù)f(x)滿足下列條件：

$(1)f(x+y)=f(x)f(y),\forall x,y\in R$

$(2)f(x)=1+xg(x),\lim_{x\to 0}g(x)=1$

證明：f(x)在R上處處可導(dǎo),且f'(x)=f(x)

證：

$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x}$

$=\lim_{\Delta x\to 0}{f(x)f(\Delta x)-f(x)\over \Delta x}$

$=\lim_{\Delta x\to 0}[f(x){f(\Delta x)-1\over \Delta x}]$

$=\lim_{\Delta x\to 0}[f(x){\Delta xg(\Delta x)\over \Delta x}]$

$=\lim_{\Delta x\to 0}[f(x)g(\Delta x)]=f(x)$

最后編輯于：2018.11.23 08:12:37

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