函數(shù)的三要素
- 定義域：使得解析式有意義
- 對應(yīng)關(guān)系：兩個變量（x和y）以何種規(guī)則聯(lián)系起來
- 值域：隨著自變量的變化唧领，因變量的“活動”范圍
函數(shù)最常用的數(shù)集（區(qū)間）
函數(shù)的特性
1.函數(shù)的有界性
2.函數(shù)的單調(diào)性 ---> 單調(diào)遞增咕幻，單調(diào)遞減
3.函數(shù)的奇偶性 ----> f(-x) = f(x) f(x)為偶函數(shù) f(-x) = -f(x) ,f(x)為奇函數(shù)
4.函數(shù)的周期性
初等函數(shù)
由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).
基本初等函數(shù)
-
冪函數(shù) y=x^2
冪函數(shù).png 指數(shù)函數(shù) y=a^x(a>0,a不等于1)
- 對數(shù)函數(shù) y=logax
- 三角函數(shù)
Y = sinx,y=cosx,y=tanx
- 反三角函數(shù)
Y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx
泊松分布
高斯分布(正態(tài)分布)
sigmoid函數(shù)
三角函數(shù)
(cotx 余切函數(shù)译株，secx 正割函數(shù),cscx 余割函數(shù))
反函數(shù)
直接函數(shù)和反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱
復(fù)合函數(shù)
介值定理
無窮小和無窮大
1.高階無窮小
- lim x^2/3x = 0 (在x->0 過程中泣侮，x^2 --> 0 比 x-->0 快一些
X->0
導(dǎo)數(shù)與積分
導(dǎo)數(shù) 描述函數(shù)的變化快慢
微分 描述函數(shù)變化程度
曲線的斜率 --->
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圖片.png
---> 導(dǎo)數(shù)
定義求導(dǎo):
單側(cè)導(dǎo)
設(shè)函數(shù)y = f(x)在點ｘ0的某個右(左)領(lǐng)域內(nèi)有定義零远，若極限存在撇叁，則稱此極限為f(x)在x0處的右（左）導(dǎo)數(shù)．
定理 y=f(x)在點x0可導(dǎo)的充要條件是左右導(dǎo)存在,且相等
定理 y=f(x)在點x可導(dǎo) -----> y=f(x)在點x處連續(xù), 不可互推
微分
定理 可微的充要條件是y=f(x)在點x0處可導(dǎo)
導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)窖认，增量比的極限
導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率
可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)
互推
可導(dǎo)⌒颗ァ＝＝＝＝＝ 可微
基本導(dǎo)數(shù)與微分表
反函數(shù)求導(dǎo) ----> 先求出他的原函數(shù)(直接函數(shù))桥温，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為直接函數(shù)的倒數(shù),1/f(x)
復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) ---> 二個函數(shù)，分為內(nèi)外函數(shù)梁丘，先去求外部的函數(shù)導(dǎo)數(shù)侵浸，在去求內(nèi)部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
高階導(dǎo)數(shù) y^(4) ４階以上的導(dǎo)數(shù)的表示方法.
導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
- 法則1:兩個函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的
和(差), - 法則２:兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
- 法則3:兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù),減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,再除以第二個函數(shù)的平方.即
不定積分
微分和積分互逆運(yùn)算
微分 求導(dǎo)數(shù)
積分 知道導(dǎo)數(shù)的結(jié)果氛谜，求原函數(shù)
定理1 函數(shù)在f(x)區(qū)間Ｉ上連續(xù)掏觉，則f(x)在I上存在原函數(shù).
定理2 若F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則f(x)的所有原函數(shù)是F(x)+C(C為任意常數(shù))
定義
記為
基本積分表利用逆向思維
不定積分的集合意義
F(x) 的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線.
F(x) 的所有積分曲線組成的平行曲線族
不定積分的性質(zhì)
1.不定積分的導(dǎo)數(shù) ---> 就是原函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ---> 就是已知的導(dǎo)數(shù)f(x)
1.不定積分的導(dǎo)數(shù) ---> 就是原函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ---> 就是已知的導(dǎo)數(shù)f(x)
2.原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的積分值漫，就是f(x) ----> 求完積分為F(x)+
圖片.png
求極值步驟
1.求導(dǎo)數(shù)
2.求駐點澳腹，和導(dǎo)數(shù)不存在的點(極值的可疑點)
3.檢測f(x)在可疑點左右的正負(fù)號，判斷極值點(檢測實在導(dǎo)數(shù)式)
4.求極值點
曲線的凹凸性
求凹凸點步驟
1.求函數(shù)導(dǎo)數(shù)
2.另導(dǎo)數(shù) =0 ,找出實根和二階不可導(dǎo)點x0
3.用這些點劃分函數(shù)的區(qū)間
4.F(x)在這些區(qū)間的正負(fù)號，判斷凹凸區(qū)間
5.如果x0二近旁f(x)變號,點(x0,f(x0))即為拐點.
6.如果x0二近旁f(x)不變號,點(x0,f(x0))即不為拐點.
函數(shù)曲線的漸近線
直線 L 稱為曲線C的漸近曲線是指：曲線上的點P 沿曲線無限遠(yuǎn)離原點時遵湖，點P與直線的距離趨于0.
一般來說,漸近線可分為: 斜漸近線, 水平漸近線與垂直漸近線
斜漸近線X 水平漸近線- 垂直漸近線｜
定積分
我們稱這個極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分
說明
規(guī)定
定積分的基本性質(zhì)
假設(shè)下面涉及到的函數(shù)均是可積的．
