今天我給大家講一個(gè)故事：從前有座山宪躯，叫高山，山上有棵樹(shù)位迂，叫高樹(shù)访雪，樹(shù)上掛了很多人详瑞，叫......高人？
上過(guò)大學(xué)的孩子們都知道臣缀，《高等數(shù)學(xué)》絕對(duì)稱(chēng)得上是一門(mén)讓人又愛(ài)又恨的課程坝橡。愛(ài)的是它的高學(xué)分，績(jī)點(diǎn)權(quán)重大精置，隨便考個(gè)七八十分都能頂過(guò)思修馬哲近代史科科90+计寇。恨的是它的高難度，公式定理一大堆脂倦，牛頓番宁、萊布尼茨、拉格朗日狼讨、泰勒贝淤、高斯......前人種樹(shù)太多，后人也就太容易掛政供。
但是播聪，高數(shù)當(dāng)真有那么難嗎？如果我說(shuō)并沒(méi)有布隔，那么這個(gè)逼可就裝大了离陶，駕馭不了。作為一名資深學(xué)渣衅檀，我的高數(shù)成績(jī)非常爛招刨，以至于考研的時(shí)候也給拖了大大的后腿，所以我的回答是......
不過(guò)哀军，高數(shù)真正難的地方主要在于解題思路沉眶，至于其基本概念、定理杉适、公式則沒(méi)有想象中的那么難理解谎倔。因此，今天這篇文章我們就來(lái)扯扯那些不那么難的概念猿推、定理和公式片习。
1. 極限
戰(zhàn)國(guó)時(shí)期哲學(xué)家莊周所著的《莊子·天下篇》中有這樣一句話：
一尺之棰，日取其半蹬叭，萬(wàn)世不竭藕咏。
一根一尺長(zhǎng)的木棒，每天截去一半秽五，永遠(yuǎn)都截不完孽查。每天截后剩下的部分長(zhǎng)度分別為：第一天剩1/2尺，第二天剩1/22尺坦喘，第三天剩1/23尺卦碾，......铺坞，第n天剩1/2?尺，......
顯然洲胖，在這個(gè)例子中济榨，我們能發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)绿映，1/2?將趨于0擒滑，這就是我們所說(shuō)的極限。
其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)定義如下：
是不是看得一臉懵逼叉弦？沒(méi)關(guān)系丐一，我們舉個(gè)例子來(lái)輔助理解，請(qǐng)看下圖：
答案是什么呢淹冰？饅頭库车！有餡是包子，哪怕只有一丁點(diǎn)餡也是包子樱拴，而當(dāng)餡趨于0時(shí)柠衍，包子就趨于饅頭了。
然而并不是所有的極限都存在晶乔，比如讓包子的餡趨于無(wú)窮珍坊，極限就不存在，結(jié)果只能是一個(gè)無(wú)窮大的包子正罢。
說(shuō)完了數(shù)列極限阵漏，我們?cè)賮?lái)談一談函數(shù)的極限。由于兩者定義差不多翻具，只是把Xn換成了f(x)履怯，因此我就不再放定義了。這里要說(shuō)明的是裆泳，數(shù)列極限是函數(shù)極限的一種特殊形式虑乖，即自變量n為正整數(shù)的情形。
另外晾虑，函數(shù)還存在左右極限，左極限即自變量X從負(fù)無(wú)窮處趨于X0仅叫，右極限反之帜篇。這也是數(shù)列極限沒(méi)有的性質(zhì)。
講到這里極限就介紹得差不多了诫咱，最后再來(lái)舉個(gè)例子加深你的理解笙隙，果然高手都在民間，哈哈哈......
2. 微分
高等數(shù)學(xué)有一個(gè)俗稱(chēng)坎缭，叫微積分竟痰，所以微分和積分是高數(shù)最重要的兩部分內(nèi)容签钩，同時(shí)也是最難的內(nèi)容，下面我們就來(lái)重點(diǎn)進(jìn)行介紹坏快。
不過(guò)在講解微分之前铅檩，我們要先來(lái)了解一個(gè)概念，它叫導(dǎo)數(shù)莽鸿。
2.1 導(dǎo)數(shù)
事實(shí)上導(dǎo)數(shù)的概念我們?cè)诟咧芯鸵呀?jīng)接觸過(guò)了昧旨，一言不合就求導(dǎo)是家常便飯。為什么導(dǎo)數(shù)這么好用祥得？因?yàn)樗拖瘛度w》里面的降維攻擊兔沃，三次函數(shù)可以通過(guò)求導(dǎo)化為二次函數(shù)，再求導(dǎo)化為一次函數(shù)级及，而一次函數(shù)是我們初中就會(huì)的東西了乒疏。
所以，老師經(jīng)常這么教我們饮焦，高考最后一道大題怕吴，甭管你會(huì)不會(huì)做，先把題目給的函數(shù)拿來(lái)求導(dǎo)追驴，這一步就有2分械哟！別小看了這2分，它有可能決定你最終是上清華還是上藍(lán)翔殿雪。
當(dāng)然暇咆，高中講的導(dǎo)數(shù)和大學(xué)里的導(dǎo)數(shù)還是不太一樣的，主要區(qū)別在于大學(xué)里的定義更加嚴(yán)謹(jǐn)丙曙，利用到了極限的知識(shí)爸业。不過(guò)這里我不打算把導(dǎo)數(shù)的定義搬出來(lái)講，因?yàn)楸旧硪饬x也不大亏镰，我們只要明白導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)曲線在某點(diǎn)處切線的斜率就足夠了扯旷。
2.2 微分
介紹完導(dǎo)數(shù)我們來(lái)講講什么是微分，這里就有必要放上定義了索抓，請(qǐng)看下圖：
簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)钧忽，微分就是以直代曲，函數(shù)圖像曲線可以近似看成由無(wú)窮小段的直線拼接而成逼肯，這樣一來(lái)函數(shù)在x0處的改變量△y就可以近似用直線方程來(lái)求解耸黑，即上述定義中的△y=A△x，亦即該函數(shù)的微分篮幢。
那么大刊，這個(gè)常數(shù)A是啥呢？經(jīng)過(guò)前面的鋪墊我想你已經(jīng)猜到了三椿，它就是函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)缺菌，即函數(shù)在該點(diǎn)切線的斜率葫辐。
對(duì)于一元函數(shù)而言，函數(shù)可導(dǎo)性與可微性是兩個(gè)等價(jià)的概念伴郁。求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之后耿战，只要再乘以dx，就能得到相應(yīng)的微分dy蛾绎，即dy=f'(x0)dx昆箕。等式兩邊除以dx可得dy/dx=f'(x0)，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分之商租冠，因此鹏倘，導(dǎo)數(shù)又被稱(chēng)為微商。
等等顽爹，好像有哪里不對(duì)......
看到這里纤泵，我想導(dǎo)數(shù)的心情應(yīng)該是這樣的：
2.3 微分學(xué)基本定理
在微分學(xué)中有一些重要的基本定理，這些定理把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)值在區(qū)間上的變化聯(lián)系了起來(lái)镜粤。比如費(fèi)馬定理：
費(fèi)馬定理很好理解捏题，若函數(shù)在x0處可導(dǎo)且取極值（極大值或極小值），那么函數(shù)在此點(diǎn)處的切線必然是水平的肉渴，具體如下圖所示：
而根據(jù)費(fèi)馬定理則能推導(dǎo)出羅爾定理：
如果函數(shù) f(x) 滿足以下條件：（1）在閉區(qū)間?[a,b] 上連續(xù)公荧，（2）在開(kāi)區(qū)間?(a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，（3）f(a)=f(b)同规，則至少存在一個(gè) ξ∈(a,b)循狰，使得 f'(ξ)=0。
羅爾定理的幾何意義可以用下圖表示：
如果函數(shù)在a券勺、b兩點(diǎn)處的函數(shù)值相等绪钥，且滿足連續(xù)及可導(dǎo)的條件，那么在a关炼、b之間至少存在一點(diǎn)使得該點(diǎn)處的切線水平程腹。
根據(jù)羅爾定理，我們又能推導(dǎo)出大名鼎鼎的拉格朗日中值定理儒拂。為什么說(shuō)它大名鼎鼎呢寸潦？因?yàn)樵诖髮W(xué)考試周時(shí)經(jīng)常流傳著這樣一個(gè)故事：
自習(xí)室里，一名學(xué)生正為微積分證明抓頭流汗社痛，此時(shí)见转，掃地大媽從身邊走過(guò)，小聲地說(shuō)褥影，“同學(xué)，這道題用拉格朗日中值定理試試”咏雌，該同學(xué)豁然開(kāi)朗凡怎，抬頭一看校焦，大媽早已深藏功與名。
那么统倒，這個(gè)定理說(shuō)的是啥寨典？請(qǐng)看下面的表述：
當(dāng)然，這樣的描述還是很抽象房匆，我們依舊需要借助函數(shù)圖像來(lái)輔助理解耸成。
如果你稍微思考一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)，拉格朗日中值定理其實(shí)就是羅爾定理的更一般情況浴鸿，把羅爾定理的函數(shù)圖像傾斜一下不就得到了拉格朗日中值定理了井氢？或者說(shuō)羅爾定理就是當(dāng)A=B時(shí)的拉格朗日中值定理，兩者其實(shí)是相通的岳链。
除了上述幾個(gè)定理之外花竞，還有柯西中值定理、泰勒中值定理等等掸哑，這些定理本質(zhì)上其實(shí)都差不多约急，掌握一個(gè)其他的也就都能理解了，因此這里我就不再過(guò)多介紹苗分。
3. 積分
講完微分再來(lái)將積分就好理解多了厌蔽，如果說(shuō)微分是降維攻擊，那么積分就是升維防御摔癣，是微分的逆過(guò)程奴饮。一個(gè)點(diǎn)經(jīng)過(guò)積分就成了一條線，一條線積分就變成一個(gè)面供填，一個(gè)面再積分就是一個(gè)體拐云，總之，越來(lái)越牛逼近她。
不過(guò)積分還分為兩種叉瘩，一種是用來(lái)求面積的，叫定積分粘捎，還有一種是用來(lái)求原函數(shù)的薇缅，叫不定積分。因此定積分是一個(gè)數(shù)攒磨，不定積分是函數(shù)的全體原函數(shù)泳桦。
我們來(lái)看一下百度百科的解釋?zhuān)?/p>
定積分是積分的一種，是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的積分和的極限娩缰。這里應(yīng)注意定積分與不定積分之間的關(guān)系：若定積分存在灸撰，則它是一個(gè)具體的數(shù)值（曲邊梯形的面積），而不定積分是一個(gè)函數(shù)表達(dá)式，它們僅僅在數(shù)學(xué)上有一個(gè)計(jì)算關(guān)系（牛頓-萊布尼茨公式）浮毯，其它一點(diǎn)關(guān)系都沒(méi)有完疫！
所以定積分和不定積分只是名字有點(diǎn)像而已，兩者根本就不搭嘎债蓝，只不過(guò)在求解定積分時(shí)可以用被稱(chēng)為微積分基本定理的牛頓-萊布尼茨公式來(lái)計(jì)算而已壳鹤。
那么，很自然的饰迹，我們就得來(lái)了解一下這個(gè)傳說(shuō)中牛逼叉叉的公式了芳誓。不過(guò)在此之前，我們還得先了解一下什么是原函數(shù)啊鸭。
3.1 原函數(shù)
已知函數(shù)f(x)是一個(gè)定義在某區(qū)間的函數(shù)锹淌，如果存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)都有若F'(x)=f(x)莉掂，dF(x)=f(x)dx葛圃，則在該區(qū)間內(nèi)就稱(chēng)函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)，f(x)稱(chēng)為F(x)的導(dǎo)函數(shù)憎妙。
比如對(duì)F(x)=sinx求導(dǎo)得到f(x)=cosx库正，那么sinx就是cosx的原函數(shù)。此外厘唾，由于常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零褥符，因此在原函數(shù)的基礎(chǔ)上加上任意常數(shù)構(gòu)成的函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)后也還是會(huì)得到同樣的導(dǎo)函數(shù)抚垃，所以就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)無(wú)數(shù)個(gè)原函數(shù)的情況喷楣。
如果用爸爸與兒子的關(guān)系來(lái)理解原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)，那么可以說(shuō)一個(gè)爸爸只能生出一個(gè)兒子鹤树，而一個(gè)兒子則有無(wú)窮多個(gè)爸爸铣焊。
很奇怪是不是？事實(shí)上爸爸還是那個(gè)爸爸罕伯，只不過(guò)穿上了價(jià)格不一樣的衣服曲伊，常數(shù)C就是爸爸的衣服，剝掉它爸爸還是同一個(gè)追他。
3.2 牛頓-萊布尼茨公式
這一公式左邊是f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分坟募，右邊是其原函數(shù)在a、b兩點(diǎn)處函數(shù)值之差邑狸，原本毫無(wú)關(guān)系的定積分和不定積分就這樣聯(lián)系起來(lái)了懈糯，并且形式還如此簡(jiǎn)潔，不得不說(shuō)數(shù)學(xué)真的太美了单雾！
有了這個(gè)公式赚哗，求定積分就變成了求原函數(shù)她紫，因此這個(gè)公式在微積分中具有極其重要的意義，被稱(chēng)為微積分基本公式屿储。
值得一提的是犁苏，這個(gè)公式的背后有一個(gè)科學(xué)史上著名的公案，即牛頓和萊布尼茨的微積分創(chuàng)始人之爭(zhēng)扩所，由于文章篇幅限制我就不展開(kāi)介紹了，感興趣的可以自行百度一下朴乖，挺有意思祖屏。
后話
寫(xiě)到這里基本上把《高等數(shù)學(xué)》最重要的幾部分內(nèi)容介紹完了，無(wú)論是大學(xué)的期末考還是考研买羞，基本都逃不開(kāi)這些公式定理袁勺，當(dāng)然也還有許多東西沒(méi)講，比如微分方程畜普、無(wú)窮級(jí)數(shù)期丰、二元函數(shù)微積分學(xué)等等，至于為什么不講吃挑，因?yàn)?.....我自己也看不懂钝荡！
最后，如果還有什么要說(shuō)的話舶衬，那就是：以后裝逼還是要慎重一點(diǎn)埠通，不然容易翻車(chē)......嗯，下周見(jiàn)逛犹！
