[初中數(shù)學】二次函數(shù) 基礎

作者介紹：
大爽老師戳葵，以前做過高中數(shù)學線上一對一輔導老師
現(xiàn)在賦閑在家，與大家分享一些初高中數(shù)學的知識谆甜，方法與思路。

二次函數(shù) 基礎

$y = ax^2 + bx + c (a \neq 0)$

表達式

三種表現(xiàn)形式
其中 $a \neq 0$

一般式: $y = ax^2 + bx + c$
頂點式: $y = a(x-h)^2 + k$
分解式: $y = a(x-x_1)(x-x_2)$

三種形式優(yōu)點
一般式: 知道y軸交點
頂點式: 知道對稱軸與頂點
分解式: 知道x軸兩個交點

配方法

一般式使用配方法變換成頂點式
$\begin{align} y & = ax^2 + bx + c \\ & = a(x^2 + \frac {a}x) + c \\ & = a(x^2 + 2 \frac 牧挣 {2a}x + \frac {b^2} {4a^2}) + c - \frac {b^2} {4a} \\ & = a(x + \frac 字逗 {2a})^2 + \frac {4ac - b^2} {4a} \\ & (h=-\frac京郑 {2a }, k = \frac {4ac - b^2} {4a})\\ & = a(x - h )^2 + k \\ \end{align}$

所以
對稱軸： $x = - \frac 宅广 {2a}$
頂點： $( - \frac {2a}, \frac {4ac - b ^2} {4a})$

a些举、b跟狱、c作用

a

決定開口大小和方向
a > 0 開口向上
a < 0 開口向下
a的絕對值越大，開口越谢骸（二次函數(shù)變化速度越快）

b

a和b共同決定拋物線對稱軸的位置

c

決定與y軸的交點驶臊。(通俗的來講，就是決定上下)

一般式交點

與y軸的交點

$x = 0$ 時
$y = ax^2 + bx + c = 0 + 0 + c = c$
所以與y軸的交點是(0, c)

與x軸的交點

$y=0$ 時
$\begin{align} 0 & = ax^2 + bx + c \\ 0 & = a(x^2 + \frac 叼丑 {a}x) + c \\ 0 & = a(x^2 + 2 \frac 关翎 {2a}x + \frac {b^2} {4a^2}) + c - \frac {b^2} {4a} \\ a(x + \frac {2a})^2 & = \frac {b^2 - 4ac} {4a} \\ (x + \frac 鸠信 {2a})^2 & = \frac {b^2 - 4ac} {4a^2} \\ 當b^2 - 4ac >=0 時&纵寝，有\(zhòng)\ x + \frac {2a} & = \pm \frac {\sqrt {b^2 - 4ac}} {2a} \\ x & = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}} {2a} \\ \end{align}$

故當判別式 $\Delta = b^2 - 4ac > 0$ 時
二次函數(shù)和x軸有兩個交點星立，分別為
$(\frac {-b - \sqrt {b^2 - 4ac}} {2a}, 0)$ 爽茴、 $(\frac {-b + \sqrt {b^2 - 4ac}} {2a}, 0)$

故當判別式 $\Delta = b^2 - 4ac = 0$ 時
二次函數(shù)和x軸有一個交點，為
$(\frac {-b} {2a}, 0)$

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