1.什么是命題
什么是命題
數理邏輯研究的中心問題是推理，而推理的前提和結論都是命題梆惯。因而命題是推理的基本單位
具有確切真值的陳述句稱為命題(proposition)垛吗。該命題可以取一個“值”，稱為真值蔚舀。真值只有“真”和“假”兩種锨络，分別用“T”(或“1”) 和“F”(或“0”)表示
非命題
一切沒有判斷內容的句子羡儿，如命令句 (或祈使句)、感嘆句缅叠、疑問句虏冻、二義性的陳述句等都不能作為命題厨相。
復合命題 (如何產生新命題)
原子命題 (簡單命題)：不能再分解為更為簡單命題的命題。
復合命題：可以分解為更為簡單命題的命題悯森。這些簡單命題之間是通過如“或者”瓢姻、“并且”幻碱、“不”、“如果......則......”褥傍、“當且僅當”等這樣的關聯詞和標點符號復合而成恍风。
2.命題聯結詞
否定聯結詞
設 P 是任意一個命題，復合命題“非 P”(或 “P 的否定”)稱為 P 的否定式(negation)凯楔，記作?P摆屯，“?” 為否定聯結詞糠亩。P 為真當且僅當 ?P 為假赎线。
合取聯結詞
設 P氛驮、Q 是任意兩個命題，復合命題“P 并且 Q”(或 “P 和 Q”)稱為 P 與 Q 的合取式(conjunction)，記作P ∧ Q蓖扑，“∧” 為合取聯結詞律杠。P ∧ Q 為真當且僅當 P竞惋，Q 同為真拆宛。
“∧” 是自然語言中的 “并且”嚷往、“既…又…”阳懂、“但”蚜迅、“和”册赛、“與”、“不僅…而且…”击奶、“雖然…但是…”柜砾、“一面…, 一面…” 等的邏輯抽象痰驱；但不是所有的“和”，“與”都要使用合取聯結詞表示担映，要根據句子的語義進行分析蝇完。
2 和 3 的最小公倍數是 6短蜕；
2 點 a 位于點 b 與點 c 之間朋魔。
這兩個命題都是簡單命題卿操，不能再分害淤。
析取聯結詞
設 P窥摄、Q 是任意兩個命題，復合命題“P 或 Q”稱為 P 與 Q 的析取式(disjunction)值骇，記作P ∨ Q吱瘩，“∨” 為析取聯結詞迹缀。P ∨ Q 為真當且僅當 P祝懂，Q 至少有一個為真砚蓬。
聯結詞 “∨” 是自然語言中的 “或”祟剔、“或者” 等的邏輯抽象摩梧。自然語言中的 “或” 有 “可兼
或”(或稱為同或)仅父、“不可兼或”(即異或) 兩種。嚴格來講耗溜，析取聯結詞實際上代表的是可兼或强霎，異或有時會使用單獨的異或聯結詞 “⊕” 或 “∨ˉ” 來表示蓉冈。
命題：張紅生于 1982 年或 1983 年，令
1 P: 張紅生于 1982 年脱柱；
2 Q: 張紅生于 1983 年惨好。
P 與 Q 不能同時為真，即為“不可兼或”
蘊涵聯結詞
設 P蔓腐、Q 是任兩個命題回论，復合命題“如果 P傀蓉，則 Q”稱為 P 與 Q 的蘊涵式(implication)葬燎，記作P → Q谱净，“→” 為蘊涵聯結詞。P → Q 為假當且僅當 P 為真且 Q 為假裕寨。一般把蘊涵式 P → Q中的 P 稱為該蘊涵式的前件宾袜，Q 稱為蘊涵式的后件庆猫。
在自然語言中嘁字，前件為假纪蜒，不管結論真假纯续，整個語句的意義窗看，往往無法判斷显沈。但對于數理邏輯中的蘊涵聯結詞來說构罗，當前件 P 為假時遂唧，不管 Q 的真假如何盖彭，則 P → Q 都為真。此時稱為 “善意推定”裹驰。
等價聯結詞
設 P幻林、Q 是任兩個命題沪饺，復合命題“P 當且僅當 Q”稱為 P 與 Q 的等價(equivalence)整葡，記作P ? Q件余，“?” 為等價聯結詞(也稱作雙條件聯結詞)。P ? Q 為真當且僅當 P遭居、Q 同為真假啼器。
3.命題符號化及應用
聯結詞是兩個命題真值之間的聯結，而不是命題內容之間的連接俱萍，因此復合命題的真值只取決于構成他們的各簡單命題的真值镀首，而與它們的內容無關，與二者之間是否有關系無關鼠次。
- 命題聯結詞的優(yōu)先級
- 復合命題符號化
- 命題聯接詞與開關電路
- 命題聯接詞與邏輯電路
- 命題聯接詞與位運算
4.命題公式和真值表
命題變元
一個特定的命題是一個常值命題，它不是具有值 “T”(“1”)，就是具有值 “F”(“0”)腥寇。
一個任意的沒有賦予具體內容的原子命題是一個變量命題，常稱它為命題變量 (或命題變元)(propositional variable)，該命題變量無具體的真值，它的變域是集合{T, F}(或 {0, 1})级历。
命題公式
- 原子命題變元是最簡單的合式公式嚼贡，稱為原子合式公式误窖，簡稱原子公式；
- 命題公式沒有真值嚷堡，只有對其命題變元進行真值指派后北苟，方可確定命題公式的真值傻昙；
- 整個公式的最外層括號可以省略虫碉；公式中不影響運算次序的括號也可以省略。
- 在實際應用中，為了便于存儲和運算杰刽，命題公式常用二元樹的方式來表達第喳。
真值表
由公式 G 在其所有可能的解釋下所取真值構成的表，稱為 G 的真值表(truth table)。
5.公式的分類和邏輯等價
命題公式分類
- 公式 G 稱為永真公式(重言式,tautology)勒魔，如果在它的所有解釋之下其真值都為“真”危虱。
- 公式 G 稱為永假公式(矛盾式,contradiction)，如果在它的所有解釋之下其真值都為“假”。
有時也稱永假公式為不可滿足公式。 - 公式 G 稱為可滿足公式(satisfiable)，如果它不是永假的。
G 是永真的當且僅當 ?G 是永假的；
G 是可滿足的當且僅當至少有一個解釋 I，使 G 在 I 下為真。
若 G 是永真式畅哑，則 G 一定是可滿足式，但反之可滿足公式不一定是永真式；
公式等價的充分必要條件
必要性：假定 G = H鳄橘，則 G鲸湃，H 在其任意解釋 I 下或同為真或同為假株憾，于是由 “?” 的意義知贝奇，公式 G ? H 在其任何的解釋 I 下陕习，其真值為“真”省艳，即 G ? H 為永真公式辐烂。
充分性：假定公式 G ? H 是永真公式吁系，I 是它的任意解釋，在 I 下台夺，G ? H 為真，因此亏推，G痒蓬，H 或同為真，或同為假双揪，由于 I 的任意性拘哨，故有 G = H姨夹。
6.基本等價關系及其應用
基本等價關系
