現(xiàn)在每次家庭聚會(huì)討論完國(guó)際局勢(shì)陕赃、民生大事鼠锈，最后總要回歸到小朋友教育上岭粤。而且每次都是以一道小學(xué)生算術(shù)題推向高潮麸拄。
這次的題目是一道小學(xué)三年級(jí)算術(shù)題：
一個(gè)倉(cāng)庫(kù)派昧，第一天搬走一半少 10 噸，第二天搬走剩下的一半多 6 噸拢切，第三天搬走 40 噸蒂萎，還剩 30 噸。問(wèn)原來(lái)倉(cāng)庫(kù)有多少噸淮椰？
解法一：上方程
| 第幾天 | 搬走 | 剩下 |
|---|---|---|
| 第一天 | x / 2 - 10 |
x / 2 + 10 |
| 第二天 | (x / 2 + 10) / 2 + 6 |
(x / 2 + 10) / 2 - 6 |
| 第三天 | 40 |
30 |
(x / 2 + 10) / 2 - 6 = 40 + 30
解出來(lái)就是 284 五慈。
但是，小朋友理解不了啊主穗。答案都拿到手了泻拦，剩下的還不簡(jiǎn)單嗎？
解法二：倒推
| 第幾天 | 搬走 | 剩下 | 該天原本的存量 |
|---|---|---|---|
| 第三天 | 40 |
30 |
40 + 30 → 70 |
| 第二天 | 第二天的存量 / 2 + 6 |
第二天的存量 / 2 - 6 = 70 |
(70 + 6) × 2 → 152 |
| 第一天 | 第一天的存量 / 2 - 10 |
第二天的存量 / 2 + 10 = 152 |
(152 - 10) × 2 → 284 |
這其實(shí)還是方程的內(nèi)核忽媒，包裝了一下争拐。但，小朋友反應(yīng)晦雨，還是聽(tīng)不懂架曹。
好吧隘冲，上樹(shù)形結(jié)合。
解法三：線段圖
還不能理解绑雄？好吧展辞，祭出大殺器。
解法四：實(shí)物法。
假設(shè)一開(kāi)始倉(cāng)庫(kù)有 ???????? 噸。注意：跟小朋友講解時(shí)偎谁，需要用兩種不同的道具表示 ??（表示若干噸）& ??（表示 1 噸） 档悠。
| 第幾天 | 搬走 | 剩下 |
|---|---|---|
| 第一天 | ???? - ?????????? ?????????? |
???? + ?????????? ?????????? |
| 第二天 | ?? + ?????????? + ?????????? ?? |
?? - ?? |
| 第三天 | ?????????? ?????????? ?????????? ?????????? ?????????? ?????????? ?????????? ?????????? |
?????????? ?????????? ?????????? ?????????? ?????????? ?????????? |
所以，原來(lái)有 4 × ?? = 4 × (70 + 1) 噸牙言。
好了，小朋友終于明白了。其實(shí)也不是完全明白通殃，問(wèn)「為什么一開(kāi)始要假設(shè)有 4 份 ?? ？」厕宗。你可以把它理解為數(shù)學(xué)直覺(jué)画舌，也可以看作是某種估算∫崖「一半又一半曲聂，我感覺(jué)答案在 ? 附近」，也許是這種理由吧佑惠。
為什么小朋友不能理解線段法朋腋？
可能是因?yàn)樾∨笥巡⒉荒軈^(qū)分一條線段是代表抽象還是具體。線段圖上有的代表著具體的數(shù)字（e.g. 10t 5t）膜楷，有的又代表抽象（e.g. 一半 剩下的一半）旭咽。而解法四則用不同的實(shí)物區(qū)分了這兩者。
為什么數(shù)形結(jié)合有用赌厅？
小朋友肯定是不能理解這一點(diǎn)穷绵，但多年以后也許會(huì)明白：好的數(shù)形結(jié)合，畫(huà)的是一個(gè)問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特愿。就像「資產(chǎn)負(fù)債表」一樣仲墨，一張圖把資產(chǎn)分布標(biāo)得明明白白。
數(shù)形結(jié)合的另一個(gè)作用是揍障，節(jié)省心理寄存器宗收。或者說(shuō)任何的草圖都有這個(gè)功效亚兄。這道題筆算并不算難混稽，但心算就很吃力，就是因?yàn)樾睦砑拇嫫鞑粔颉２輬D能夠釋放占用的心理寄存器匈勋，幫助我們走得更深礼旅。但可能的副作用就是，久而久之洽洁，快速反應(yīng)能力可能變差痘系。
進(jìn)入高中階段，數(shù)形結(jié)合還是「映射 & 變換」的一個(gè)展示工具饿自。那個(gè)時(shí)候汰翠，就可以搬出最好的學(xué)習(xí)項(xiàng)目——微積分——了。
關(guān)于應(yīng)不應(yīng)該教小學(xué)生用方程解題昭雌？
每次一提到用方程解小學(xué)算術(shù)題复唤，我孃第一個(gè)跳出來(lái)「哪個(gè)年齡說(shuō)那個(gè)年齡的話，你的方程論在小朋友這里是行不通的」烛卧。那么我們來(lái)說(shuō)道說(shuō)道佛纫。
不行的原因可能有三：
- 方程這種方法超綱了。那么呵呵总放，我們應(yīng)該尊重的是小朋友的生長(zhǎng)規(guī)律呈宇，而不是磚家??的規(guī)定。
- 方程背后是一套復(fù)雜的系統(tǒng)（就像微積分那樣）局雄，小朋友難以理解甥啄。這個(gè)觀點(diǎn)似乎有一點(diǎn)點(diǎn)道理。方程的核心是將未知量與已知量混著一起炬搭，以最自然的方式列出恒等關(guān)系蜈漓，然后再利用變換法則（同類項(xiàng)合并啦、移項(xiàng)啦）求解尚蝌。但總體來(lái)說(shuō)，應(yīng)該在可以理解的范圍充尉。
- 小朋友還不能理解抽象飘言。這個(gè)觀點(diǎn)我確實(shí)還不敢做實(shí)。但一般人誰(shuí)又敢說(shuō)自己理解抽象呢驼侠？我們對(duì)抽象的理解姿鸿，始終是在用某個(gè)具像化的圖像替代。比如無(wú)窮大∞倒源，可能就是一支長(zhǎng)長(zhǎng)的苛预、看不到盡頭的隊(duì)伍∷癜荆或許我們根本就是用「小朋友心理寄存器不夠」這個(gè)問(wèn)題偷換了「小朋友能不能理解抽象」热某。
所以，在我看來(lái)，這三個(gè)證據(jù)都不是那么站得住腳昔馋。我們不一定非得告訴小朋友筹吐，這是方程、設(shè)一個(gè)未知數(shù)……秘遏。我們可以用方程的實(shí)質(zhì)丘薛，而非形式。這就是本文想要討論的邦危。
關(guān)于數(shù)學(xué)品味
這主要是對(duì)家長(zhǎng)說(shuō)的洋侨。或者可以看出是「什么值得教」「什么值得學(xué)」的一個(gè)子問(wèn)題倦蚪。我看到很多小朋友希坚，總是一副「這有什么可討論的??」的表情。以前我只是覺(jué)得這些小朋友缺乏深入审丘、具體地解決問(wèn)題的態(tài)度吏够。但現(xiàn)在想來(lái)，是數(shù)學(xué)品味沒(méi)培養(yǎng)好滩报。
知道珍惜一個(gè)好的數(shù)學(xué)課題锅知，可以謂之好。什么是好脓钾？可能不好定義售睹。但什么是壞的品味，卻有跡可循可训。就像色彩上「大紅配大綠昌妹，多半賽狗屁???」，壞的數(shù)學(xué)品味反映在：
- 過(guò)于看重技巧握截，而不知實(shí)質(zhì)飞崖。其中最臭的要算給技巧取名字。
- 只注重解決谨胞，而不是簡(jiǎn)單優(yōu)雅地解決固歪。
如何培養(yǎng)好的數(shù)學(xué)品味？其實(shí)前面已經(jīng)給出答案了胯努，就是深入牢裳、具體地解決問(wèn)題。何謂深入叶沛？看到問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)蒲讯，謂之深入。何謂具體灰署？與更多的概念產(chǎn)生關(guān)聯(lián)判帮，謂之具體局嘁。簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是找到一個(gè)下金蛋的雞??脊另，多找到幾種解決辦法导狡。
當(dāng)我聽(tīng)到這個(gè)故事，還是比較震撼偎痛。之前我還真沒(méi)去想過(guò)怎么表示抽象 & 具象旱捧。我總是習(xí)慣于用字母表示抽象，數(shù)字表示具象踩麦。而其實(shí)對(duì)于小朋友來(lái)說(shuō)枚赡，兩者都是抽象。
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上谓谦，「顯然」是大敵贫橙。回想小時(shí)候反粥，我多少次囫圇吞下卢肃，其實(shí)并不清楚地知道每一個(gè)細(xì)節(jié)。記得上世紀(jì)的一個(gè)大家說(shuō)過(guò)[1]（好像是一毛子大師才顿，具體是誰(shuí)記不清了）莫湘，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有兩種辦法，一種是像剝椰子??一樣郑气，放到水里泡著幅垮，時(shí)間久了也就松了；還有一種是搬來(lái)推土機(jī)把山??推平尾组。對(duì)我而言忙芒，學(xué)校里教的，大都是水泡法這類技巧讳侨，而實(shí)際生活中往往連水都找不到呵萨，或者要求你馬上解決，連找水的時(shí)間都不給你跨跨。所以「大力出奇跡」往往是手頭僅有的方案潮峦。而這條路并不好走。但歹叮，它卻可能是更加自然而然地解決路徑跑杭。能自然而然地解決铆帽，并不是一件易事咆耿，但卻是一件趣事。
所以爹橱，最后還是旗幟鮮明地?cái)[明態(tài)度：能用技巧解決的問(wèn)題萨螺，可能就像有理數(shù)在全體實(shí)數(shù)中的占比窄做。大力出奇跡，看似無(wú)趣慰技，卻是更加自然而然的解決方案椭盏。而我信奉，自然而自然地思考吻商。
（版權(quán)屬于某位中年油膩老男人）
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一說(shuō)是張壽武說(shuō)他的老師 Faltings ：做數(shù)學(xué)碰到一座山艾帐，一般人是爬雪山過(guò)草地乌叶，找一條近路走走，但他是用推土機(jī)將山推平了或者用炸彈給炸掉柒爸，他不會(huì)用技巧來(lái)做這件事准浴，他完全是用力量來(lái)做的，他是那種力量型的捎稚。這是我在數(shù)學(xué)家中唯一見(jiàn)到的風(fēng)格乐横，他的力量太大了，這對(duì)我的影響很大今野。 ?
