《測(cè)色與計(jì)算機(jī)配色》：

• 多光通理論之所以未在儀器配色中取得實(shí)際效果，更主要的原因在于對(duì)配色精度的改善并不顯著禾怠。
• 配色配方計(jì)算質(zhì)量的好壞主要取決于描述反射返奉、吸收和散射之間關(guān)系的算法的有效性。

庫(kù)貝爾卡-蒙克模型

顏料對(duì)入射光的散射和吸收而產(chǎn)生的漫反射光譜決定了漆膜的顏色刃宵。

Kubelka-Munk理論用于反射率的測(cè)量和計(jì)算衡瓶。 最初的Kubelka-Munk理論描述了樣品的反射率和透射率隨吸收和散射的變化（分別為K和S），但其假設(shè)樣品具有與空氣相同的折射率牲证，這些方程對(duì)于工業(yè)色彩匹配是不實(shí)用的哮针。在1940年代，引入了Saunderson校正參數(shù)（Saunderson校正提出兩個(gè)參數(shù)k1坦袍、k2來對(duì)K-M進(jìn)行校正十厢。參數(shù)k1描述了當(dāng)進(jìn)入樣品的光在空氣-樣品界面處部分反射時(shí)的反射率；k2描述當(dāng)離開樣品的光在樣品-空氣界面處被部分反射回樣品時(shí)的反射率捂齐。k1和k2是波長(zhǎng)的函數(shù)蛮放，且會(huì)隨著涂料的混合而發(fā)生變化），使得Kubelka-Munk方程在不透明樣品中變得更加實(shí)用奠宜。

光通量轉(zhuǎn)換示意圖

根據(jù)應(yīng)用的不同包颁，K-M模型可被分為兩類：

1. 單常數(shù)理論：?jiǎn)纬?shù)理論假設(shè)單個(gè)色料對(duì)樣品的總散射沒有顯著貢獻(xiàn)。單常數(shù)理論需要了解基底和每種色料在每個(gè)波長(zhǎng)的單位比值K/S压真。
2. 雙常數(shù)理論：如果假設(shè)散射來自兩個(gè)來源娩嚼，即著色劑和基質(zhì)，則認(rèn)為是雙常數(shù)理論滴肿。對(duì)于不透明樣品岳悟，散射系數(shù)隨色料配方的不同而不同，因此需用雙常數(shù)理論。對(duì)每種色料需要知道其K和S的單位值贵少。

盡管許多著色劑可以具有非常低的吸收或非常低的散射呵俏，但是沒有零吸收或零散射。因此在現(xiàn)實(shí)世界中沒有單常數(shù)滔灶，總是雙常數(shù)的普碎。

K-M模型是雙光通模型，即假設(shè)光線在介質(zhì)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方向（通道）只有兩個(gè)宽气，一個(gè)朝上一個(gè)朝下随常，并且垂直于界面潜沦。有不少研究人員把光線在介質(zhì)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方向或通道擴(kuò)大為四個(gè)或六個(gè)萄涯，研究出多通道理論，得出所謂嚴(yán)格的反射率唆鸡。但它們需要引進(jìn)更多的系數(shù)并使計(jì)算復(fù)雜化涝影，不像K-M理論只需要K和S兩個(gè)系數(shù)。

K-M理論的缺陷

K-M理論在建立時(shí)假定照明入射光為完全漫射光争占，光線在薄膜內(nèi)必須被足夠地散射燃逻，以致呈完全擴(kuò)散的狀態(tài)（漫射）。許多情況下臂痕，使用光譜光度計(jì)測(cè)量時(shí)伯襟，照明光不是漫射光而是垂直于薄膜表面的準(zhǔn)直光。對(duì)于吸收光不多的厚膜握童，在光進(jìn)入膜不太深之前很快就被完全散射姆怪，則遵從K-M理論。但是澡绩，如果膜很薄稽揭，以至于光沒有足夠散射或在散射前就被吸收，則會(huì)產(chǎn)生完全不同的結(jié)果肥卡。

• Optically Thin：觀察到的散射光只散射一次; 樣品中有大量未散射的光溪掀。
• Intermediate：大多數(shù)散射光已經(jīng)散射多次，但樣品中仍有一些未散射的光步鉴。
• Optically Thick：所有光都已經(jīng)被散射多次揪胃。

另外，由于Kubelka-Munk方程的數(shù)學(xué)限制氛琢，顏料的K和S數(shù)據(jù)是相對(duì)于參考成分（通常是白色顏料）計(jì)算的喊递。 通常，白色顏料的K和S可以通過雙重測(cè)量（反射率和透射率或白色和黑色）來確定艺沼。這是在單個(gè)樣品或一系列樣品上以恒定的厚度和不同的白色顏料體積濃度進(jìn)行的册舞。當(dāng)與其他著色劑組合考慮時(shí)，它可能導(dǎo)致不透明度和/或顏料比例的不準(zhǔn)確計(jì)算障般。一些配色軟件如Color iMatch就以絕對(duì)單位計(jì)算顏料K和S调鲸，且在不以白色為基底的情況下測(cè)量所有著色劑的K和S盛杰，提供了準(zhǔn)確的不透明度和顏料比例預(yù)測(cè)。（這段還沒搞懂）

傳統(tǒng)模型的另一個(gè)重要缺陷是：從介質(zhì)中透出的光線中藐石，部分是經(jīng)過反射（介質(zhì)上下表面反射 & 介質(zhì)基底反射）產(chǎn)生的即供，而這部分通量難以估計(jì)，導(dǎo)致反射率與散射之間的關(guān)系不夠準(zhǔn)確于微。關(guān)于反射率的準(zhǔn)確計(jì)算逗嫡，可以通過線性回歸分析來實(shí)現(xiàn)。

multi-flux / multi-channel

涂料薄膜介質(zhì)的光學(xué)特性可以用輻射傳遞理論來解釋株依。該理論的優(yōu)點(diǎn)在于驱证，可以通過在輻射傳遞計(jì)算中插入米氏理論參數(shù)來評(píng)估微粒系統(tǒng)的光學(xué)行為，那么輻射傳遞計(jì)算就可以根據(jù)粒子的尺寸和折射率來計(jì)算恋腕。

輻射傳遞理論的數(shù)學(xué)表達(dá)式非常復(fù)雜抹锄，難以用于技術(shù)應(yīng)用，需要一些簡(jiǎn)化來使方程實(shí)際上有用荠藤。 這些方程的第一個(gè)有用的近似解是Schuster用來研究光在恒星大氣中的傳播伙单， Kubelka和Munk進(jìn)一步修改了這一點(diǎn)，以增加其技術(shù)應(yīng)用的可能性哈肖。但K-M理論沒有提出理論關(guān)系來從粒子的基本光學(xué)和形態(tài)特征計(jì)算K-M系數(shù)吻育，因此嘗試將K-M系數(shù)與Mie理論散射和吸收系數(shù)相關(guān)聯(lián)。

multi-flux是一種適用于技術(shù)應(yīng)用的簡(jiǎn)化多次散射的計(jì)算方案淤井，其保留了輻射轉(zhuǎn)移處理的本質(zhì)布疼，但在概念上和數(shù)學(xué)上更簡(jiǎn)單。對(duì)于多次散射介質(zhì)庄吼，需要非常精細(xì)的計(jì)算來確定散射光的強(qiáng)度缎除，偏振狀態(tài)和角度分布；在顏色技術(shù)中总寻，僅需要漆膜的漫射散射光的總強(qiáng)度器罐。 多通量理論不考慮偏振狀態(tài)（這是多通道理論唯一重要的假設(shè)）（振動(dòng)方向?qū)τ趥鞑シ较虻牟粚?duì)稱性叫做偏振，只有橫波才能產(chǎn)生偏振現(xiàn)象渐行。在垂直于傳播方向的平面內(nèi)轰坊，包含一切可能方向的橫振動(dòng)，且平均說來任一方向上具有相同的振幅祟印，這種橫振動(dòng)對(duì)稱于傳播方向的光稱為自然光或非偏振光肴沫；凡其振動(dòng)失去這種對(duì)稱性的光統(tǒng)稱偏振光），而只給出由微粒系統(tǒng)散射的光的總強(qiáng)度蕴忆， 因此颤芬，該理論非常適合研究顏料的光學(xué)和形態(tài)特性與漆膜所顯示的顏色之間存在的復(fù)雜關(guān)系。

多通道理論物理模型

根據(jù)理論的物理模型，通過漆膜的光被分成大量的通道站蝠，每個(gè)通道覆蓋從垂直到水平的不同角度范圍汰具。選擇用于計(jì)算的通道總數(shù)是偶數(shù)，一半通道中菱魔，光被認(rèn)為是向下行進(jìn)留荔，而另一半是沿向上方向行進(jìn)。該物理模型的優(yōu)點(diǎn)在于澜倦，給定通道中的整個(gè)光量以幾乎相同的入射角接近散射介質(zhì)的邊界聚蝶，因此，關(guān)于菲涅耳（注1）反射系數(shù)的正確值的不確定性很小藻治。結(jié)果是碘勉，與K-M理論相比，M-F計(jì)算準(zhǔn)確地確定了在漆膜邊界內(nèi)部反射的部分通量栋艳。

該物理模型的數(shù)學(xué)表示為：

F_i 代表通道 i 的單色通量恰聘；為每個(gè)通道寫入的微分方程表示通過厚度dx的散射介質(zhì)時(shí)通量dF的微分變化（ 每個(gè)通道中的通量由于來自其他通道的光的散射而增加句各，并且由于吸收和散射到其他通道而減少）吸占。S_ijF_j代表從通道 j 散射到通道 i 的通量（i ≠ j）；S_iiF_i 代表通道 i 減少的總通量凿宾。

通過積分運(yùn)算可得：

這里的λ_j和A_ij分別是矩陣S（由系數(shù)S_ij組成的n×n矩陣）的特征值和相應(yīng)的特征向量矾屯，C_j則是由邊界條件決定的常數(shù)。

推導(dǎo)過程

【注1】K = (n₁-n₂)² / (n₁+n₂)²初厚，K為表面反射率件蚕，n₁、n₂分別為介質(zhì)1产禾、介質(zhì)2的相對(duì)折射率

--- 米氏散射理論 ---
直徑接近或大于入射光波長(zhǎng)的粒子發(fā)生的散射稱為米氏散射排作，其散射光強(qiáng)在各方向是不相同的，順入射方向上的前向散射最強(qiáng)亚情。Mie提出的米氏散射理論是對(duì)于處于均勻介質(zhì)的各向同性的單個(gè)介質(zhì)球在單色平行光照射下妄痪，基于麥克斯韋方程邊界條件下的嚴(yán)格數(shù)學(xué)解。輸入入射波長(zhǎng)λ楞件、介質(zhì)球的折射率n與直徑D衫生，就可以根據(jù)米氏理論得出散射的光譜、角譜土浸、方位角分布函數(shù)罪针。

散射相位函數(shù)

可以使用Mie散射理論參數(shù)來求得系數(shù)S_ij的值（推導(dǎo)過程參見Multiple Scattering Calculations for Technology [PDF]）：

w_i為通道 i 的立體角，θ為通道角度黄伊，P_l(cosθ_j)為勒讓德多項(xiàng)式泪酱，a_l稱為L(zhǎng)egendre系數(shù)，其值由以下公式?jīng)Q定：

ρ(cosθ_j)即為米氏散射理論的相位函數(shù)：

其中，α=2πr/λ墓阀，r 為顆粒半徑愈腾。i₁(θ)與i₂(θ)是米氏理論強(qiáng)度函數(shù)。Q_sca為米氏理論散射系數(shù)的有效參數(shù)岂津。另外：

k虱黄、s分別為吸收和散射系數(shù)，式子的第一項(xiàng)表示通道 j 中因吸收而減少的通量（s的出現(xiàn)是因?yàn)榻橘|(zhì)光學(xué)厚度與散射系數(shù)相關(guān)）吮成，式子第二項(xiàng)表示通道 j 中因散射到其他通道而減少的通量橱乱。其中：

x 為漆膜的光學(xué)厚度：

x_g是漆膜的幾何厚度，s為其散射系數(shù)粱甫，c為涂料濃度泳叠。

常量C_j的值由邊界條件確定，上表面的條件由入射光決定茶宵，下表面的條件由漆膜的基底決定危纫。引入一下幾個(gè)系數(shù)：入射光的D_i部分進(jìn)入通道i，向上的光通在上層內(nèi)表面發(fā)生反射乌庶，r_i部分的反射光進(jìn)入通道i种蝶。假設(shè)漆膜的下表面下的基底處會(huì)發(fā)生R_s的鏡面反射和R_d的漫反射，R_ik為通道k中的通量通過后表面時(shí)反射到通道i中的部分瞒大，R_ik與R_s和R_d的關(guān)系可以參見Multiple Scattering Calculations for Technology螃征。系數(shù)D_i、r_i透敌、R_ik和C_j盯滚、A_ij、x給出了一組方程式酗电，以求得n個(gè)C_j的值魄藕。

總結(jié)：C_j、A_ij撵术，l_j 和 x 共同確定每個(gè)通道中的通量背率，最終可得到漆膜的漫反射率。

假設(shè)介質(zhì)邊界是光滑的荷荤，當(dāng)入射光為準(zhǔn)直光時(shí)退渗，可根據(jù)斯涅爾定律和菲涅耳方程來計(jì)算進(jìn)入散射介質(zhì)及其各個(gè)通道的光通量。當(dāng)入射光為漫射光蕴纳，一個(gè)解決方法是將入射光分為很多個(gè)通道（外通道）会油，然后根據(jù)斯涅爾定律和菲涅耳方程來計(jì)算每個(gè)外通道的光有多少進(jìn)入了散射介質(zhì)及各個(gè)內(nèi)通道。

多通道理論的計(jì)算步驟

1. 首先進(jìn)行相位函數(shù)的計(jì)算古毛。相位函數(shù)由一系列勒讓德多項(xiàng)式擬合翻翩，并進(jìn)行歸一化：

2. 選擇一組通道都许，然后計(jì)算 ω_i、|cosθ_i| 嫂冻、D_i 和 r_i 的值胶征；
3. 計(jì)算矩陣元素 S_ij 的值：

4. 根據(jù) S_ij 的值得到矩陣S：

5. 計(jì)算矩陣S的特征值和相應(yīng)的特征向量。至此完成了多通量方程的一般解桨仿，其僅取決于相位函數(shù)和吸收散射系數(shù)睛低。

6. 如果邊界條件適用，則計(jì)算 R_ik 的值：

或

7. 計(jì)算出由邊界條件決定的常數(shù) C_j 的值：

8. 現(xiàn)在可以估算出介質(zhì)中任何位置任何通道中的通量服傍。如果存在菲涅爾表面反射钱雷，則在計(jì)算從介質(zhì)中透出的通量時(shí)需要將其考慮在內(nèi)，這是根據(jù)系數(shù) r_i 逐通道計(jì)算的吹零。

多通道模型的局限

在多通道模型中罩抗，唯一重要的假設(shè)就是不考慮偏振。在很薄的聚苯乙烯膠乳懸浮液散射的光線中灿椅，偏振效應(yīng)十分明顯套蒂，在這種情況下，多通道模型準(zhǔn)確性不高茫蛹。但由工業(yè)白涂料引起的偏振則很小操刀，因此無論光學(xué)厚度如何，都可以忽略偏振麻惶。

4-flux

庫(kù)貝爾卡-蒙克模型（2-flux）只考慮兩個(gè)通道馍刮，一個(gè)通道包含正向的漫反射通量，另一個(gè)通道包含反向傳播的漫反射通量窃蹋。當(dāng)光源類型是準(zhǔn)直光而非漫射光時(shí)，計(jì)算的精確度可以通過為非散射準(zhǔn)直通量增加額外通道來提升静稻。這即是四通道模型出現(xiàn)的原因警没。

四通道模型示意圖

如果通道1、4有非常小的立體角振湾，則經(jīng)過散射進(jìn)入1杀迹、4通道的通量可以忽略不計(jì)，即 S₁₂ = S₁₃ = S₁₄ = S₄₁ = S₄₂ = S₄₃ = 0.

介質(zhì)的對(duì)稱性使得 S₂₁ = S₃₄ = S₁押搪，S₃₁ = S₂₄ = S₂树酪，S₂₃ = S₃₂ = S.

則4個(gè)通道的通量有以下關(guān)系：

其中，k為通道1大州、4中準(zhǔn)直光通量的吸收系數(shù)续语，K為通道2、3中的吸收系數(shù)厦画〈眩可知轉(zhuǎn)換矩陣 S 為：

按照之前多通道模型給出的計(jì)算公式滥朱，可求得各個(gè)通道的通量：

其中 ±λ 和 ±σ 都是矩陣S的特征值，A₁力试、A₂徙邻、β是特征向量中的元素，C_i 則是由邊界條件決定的常數(shù)畸裳，

當(dāng)入射光中不包含準(zhǔn)直光缰犁，則C₁ = C₄ = 0，那么四通道模型就與雙通道模型一樣怖糊。

四通道模型的計(jì)算中出現(xiàn)了13個(gè)系數(shù)：S民鼓、S₁、S₂蓬抄、K丰嘉、k、r₃₂【通道2經(jīng)介質(zhì)內(nèi)邊界反射（可能還包括基底反射）進(jìn)入通道3的通量】嚷缭、r₂₃【通道3經(jīng)介質(zhì)內(nèi)邊界反射（可能還包括基底反射）進(jìn)入通道2的通量】饮亏、R_e【漫射入射光在介質(zhì)邊界的鏡面反射率】、R_c【準(zhǔn)直入射光在介質(zhì)邊界的鏡面反射率】阅爽、R_d【基底的漫反射率】路幸、R_s【基底的鏡面反射率】、f 【入射光中準(zhǔn)直光的比例】和 X【介質(zhì)厚度】付翁。其中简肴，X、f百侧、R_s砰识、R_d 是輸入值；R_c佣渴、R_e 經(jīng)過簡(jiǎn)單計(jì)算可得辫狼；r₃₂、r₂₃這種內(nèi)表面反射系數(shù)與介質(zhì)內(nèi)通量的角度分布有直接關(guān)系辛润；剩下的系數(shù)就是描述對(duì)光的吸收與散射的系數(shù)膨处。

k 是介質(zhì)的真實(shí)吸收系數(shù)，在雙通道模型的計(jì)算中得知砂竖，漫射光的吸收系數(shù) K 約等于 2k真椿，這個(gè)關(guān)系對(duì)于四通道模型依然適用。而漫射光的散射系數(shù) S 與相位函數(shù)有關(guān)乎澄，經(jīng)勒讓德多項(xiàng)式表示后近似為：

S₁突硝、S₂描述準(zhǔn)直光經(jīng)散射進(jìn)入漫射光通道的通量，S₁描述了 0° 到 90°的散射三圆，S₂描述了 90° 到 180°的散射狞换，因此有：

S₁和S₂的和即為準(zhǔn)直光的所有散射避咆，即 S₁ + S₂ = s。將相位函數(shù)用勒讓德多項(xiàng)式表示：

模型計(jì)算結(jié)果中修噪，我們往往最關(guān)心透射率與反射率：

（K-M模型中）K／S 與濃度 c 的關(guān)系

理論上查库，K／S 與 c 為線性關(guān)系，直線斜率為 k（單位濃度 K/S 值）黄琼，但實(shí)際上樊销，二者關(guān)系并不是完全線性：

出現(xiàn)曲線的原因有二：
① 存在色料樣品的表面反射；
② 色料沒有完全進(jìn)入基底脏款，例如當(dāng)染料濃度增加至纖維的吸收達(dá)到飽和時(shí)围苫，越來越多的染料被遺留在外；

對(duì)于原因一撤师，測(cè)得的反射率比實(shí)際值高剂府，因此K／S值比實(shí)際值低。一種修正方法是用測(cè)得的反射率減去恒定表面反射比值剃盾。另一種修正方法是引用桑德森修正系數(shù)K1腺占、K2。具體步驟是：首先選擇比較合理的K1痒谴、K2值衰伯，并把對(duì)于所有色料在所有強(qiáng)吸收波長(zhǎng)處測(cè)得的反射率值Rm通過下述方程轉(zhuǎn)換成R：

R =（R_m - K₁ ）/ (1 - K₁ – K₂ + K₂ R_m)

然后把所有R轉(zhuǎn)換成K／S值；最后积蔚，對(duì)于每種色料在每個(gè)波長(zhǎng)處計(jì)算出最好的直線關(guān)系意鲸，并確定K／S點(diǎn)和直線之間的均方根偏差，以此求得K1尽爆、K2值怎顾。按同樣的方法反復(fù)運(yùn)算，最后獲得的K1教翩、K2值使得直線與實(shí)驗(yàn)點(diǎn)之間的均方根偏差最小杆勇。

對(duì)于原因二，實(shí)際濃度偏低饱亿，因此K／S值比預(yù)想的低∪蜓ィ可以用多項(xiàng)式來進(jìn)行曲線修正：

K／S = a₀ + a₁ c + a₂ c² + a₃ c³

式中 a₁ 近似于單位濃度K／S值彪笼，其它常數(shù) a₀、a₂蚂且、a₃ 用于修正曲線配猫，常數(shù)值可以用回歸法擬合求得。

【注】關(guān)于 K / S 與 c 的關(guān)系杏死，在單常數(shù)或雙常數(shù)場(chǎng)景下泵肄，都有不同的討論捆交，也有不同的修正方法，這里不多敘述腐巢，但可以將其作為修正配色模型的一個(gè)研究點(diǎn)品追。