代數(shù)-幾何方法
1865-1870年間克萊布什和哥爾丹的合作開啟了代數(shù)幾何研究的一個(gè)新方向框全∪鲨担克萊布什不滿足于只指出黎曼研究對曲線的重要意義喳张，想用曲線的代數(shù)理論來建立阿貝爾積分理論。1865年他和哥爾丹合作寫出了《阿貝爾函數(shù)論》岂丘。這時(shí)魏爾斯特拉斯更嚴(yán)密的阿貝爾積分理論尚無人知道陵究，而黎曼的基礎(chǔ)（他的存在性證明基于狄利克雷原理）不僅使人感到奇怪，而且還沒有完善建立元潘。而且那時(shí)對于代數(shù)型（或曲線）的不變量理論畔乙，以及對于用射影方法作為處理雙有理變換的所謂第一步，都有相當(dāng)大的熱情翩概。
雖然克萊布什和哥爾丹的工作對代數(shù)幾何作出了貢獻(xiàn)牲距，但并沒有用純代數(shù)理論來建立黎曼的阿貝爾積分理論。雖然他們不同于黎曼的函數(shù)論钥庇，用了代數(shù)和幾何的方法牍鞠，但他們也用了函數(shù)論的基本結(jié)果和魏爾斯特拉斯的函數(shù)論方法。此外他們也用了有理函數(shù)和交點(diǎn)定理的某些結(jié)果作為已給事實(shí)评姨∧咽觯總的來說萤晴，他們的貢獻(xiàn)是：從一些函數(shù)論的結(jié)果出發(fā)，用代數(shù)方法獲得了先前用函數(shù)論方法所建立的結(jié)果店读。有理變換是代數(shù)方法的精髓攀芯。
他們給出有理變換下代數(shù)曲線虧格p的不變性的第一個(gè)代數(shù)證明侣诺，以f=0的次數(shù)和它的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)作為p的定義年鸳。于是，利用p是f(x1,x2,x3)=0的線性無關(guān)的第一類積分的個(gè)數(shù)（而且這些積分處處有限）這一事實(shí)彼棍，他們證明變換把第一類積分變到第二類積分滥酥，從而p是不變量坎吻。他們也給出阿貝爾定理的新證明（應(yīng)用函數(shù)論的思想和方法）宇葱。
他們的工作是不嚴(yán)密的黍瞧，特別是他們按普呂克的傳統(tǒng)用任意常量的個(gè)數(shù)來確定Cm和Cn的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，沒有對特殊類型的二重點(diǎn)進(jìn)行研究您机∧昃郑克萊布什-哥爾丹的工作對代數(shù)函數(shù)論的意義在于：用代數(shù)形式清楚地表達(dá)出像阿貝爾定理那樣的結(jié)果，并用這種形式研究阿貝爾積分仲闽。他們把阿貝爾積分和阿貝爾函數(shù)論中的代數(shù)部分放在更突出的位置僵朗，特別是在變換本身的基礎(chǔ)上建立了變換理論屑彻。
克萊布什和哥爾丹提出很多問題顶吮，這些問題指出了以純粹代數(shù)理論對代數(shù)函數(shù)進(jìn)行代數(shù)研究的一個(gè)新方向悴了。1871年起Alexander von Brill和馬克思諾特繼續(xù)進(jìn)行用代數(shù)方法的研究让禀，1874年發(fā)表了關(guān)鍵性文章巡揍。Brill和諾特的理論基于著名的留數(shù)定理菌瘪，用這個(gè)代替了阿貝爾定理俏扩。他們也用代數(shù)方法證明了關(guān)于代數(shù)函數(shù)F(w,z)里常量個(gè)數(shù)的黎曼-羅赫定理(Riemann–Roch theorem)录淡，這里函數(shù)F(w,z)除去在Cn的m個(gè)已給點(diǎn)外不再變?yōu)闊o窮大嫉戚。根據(jù)這個(gè)定理，滿足所說條件的最一般的代數(shù)函數(shù)形為帆啃，其中μ=m-p+τ，τ是線性無關(guān)的函數(shù)Φ(n-3次)的個(gè)數(shù)窍帝，它們在m個(gè)已給點(diǎn)處為0，p是Cn的虧格坤学，例如若Cn是沒有二重點(diǎn)的C4，則p=3拥峦，且Φ都是直線贴膘。在這種情況下若m=1,則τ=2略号，且μ=1-3+2=0刑峡；若m=2,則τ=1洋闽，且μ=2-3+1=0；若m=3突梦，則τ=1或0，且μ=1或0宫患。當(dāng)μ=0時(shí)娃闲，沒有代數(shù)函數(shù)在已給點(diǎn)處變?yōu)闊o窮大，當(dāng)m=3時(shí)，假如三個(gè)已知點(diǎn)在一條直線上将谊，有且僅有一個(gè)這樣的函數(shù)。當(dāng)三點(diǎn)在一直線v=0上尊浓，此線交C4于第四個(gè)點(diǎn)栋齿，選取一直線u=0過該點(diǎn)，則F1=u/v襟诸。
這個(gè)工作取代了黎曼對在已知點(diǎn)變?yōu)闊o窮的最一般的代數(shù)函數(shù)的確定法褒颈。再者Brill-Noether的成果勝過射影觀點(diǎn)儿捧，因其所處理的由f=0給出的曲線Cn上點(diǎn)的幾何绸吸，其相互關(guān)系在一一對應(yīng)雙有理變換下不變鄙信，第一次從代數(shù)上證明了曲線交點(diǎn)定理譬嚣，舍棄了計(jì)算常量個(gè)數(shù)的方法昭雌。
