克萊布什也把黎曼關(guān)于黎曼曲面上阿貝爾積分（即形如∫g(x,y)dx的積分坑傅，其中g(shù)是有理函數(shù)且f(x,y)=0）的概念用到曲線(xiàn)上僵驰。 為了說(shuō)明第一類(lèi)積分，考慮一個(gè)無(wú)重點(diǎn)四次平面曲線(xiàn)C4唁毒。這里p=3且有三個(gè)處處有限積分：
適用于C4的也適用于n次任意代數(shù)曲線(xiàn)f(x,y)=0蒜茴，p個(gè)積分代替三個(gè)處處有限積分（其中p是f=0的虧格），每個(gè)積分有2p個(gè)周期模數(shù)（見(jiàn)單復(fù)變函數(shù)）浆西，積分具有形式粉私，其中Φ是一個(gè)（伴隨的）多項(xiàng)式，恰為n-3次近零，且在f=0的重點(diǎn)與尖點(diǎn)處為零诺核。
克萊布什的另一貢獻(xiàn)是引進(jìn)虧格的思想對(duì)曲線(xiàn)進(jìn)行分類(lèi)。若曲線(xiàn)有d個(gè)二重點(diǎn)久信，則虧格p=(1/2)(n-1)(n-2)-d窖杀。以前有曲線(xiàn)的虧數(shù)概念（見(jiàn)十八世紀(jì)的解析幾何和微分幾何（二）），即n次曲線(xiàn)可能有的二重點(diǎn)最多個(gè)數(shù)(1/2)(n-1)(n-2)減去確實(shí)有的二重點(diǎn)數(shù)入篮〕率荩克萊布什證明：只具有尋常重點(diǎn)（切線(xiàn)全不相同）的曲線(xiàn)，虧格(genus)與虧數(shù)(deficiency)相等潮售，且虧格在把平面變到自己的雙有理變換下是一個(gè)不變量」纾克萊布什的虧格概念是與黎曼對(duì)黎曼曲面的連通數(shù)相關(guān)聯(lián)的酥诽。與虧格為p的曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的黎曼曲面具有連通數(shù)2p+1。
虧格的概念可以用來(lái)建立曲線(xiàn)的重要定理皱埠。Jacob Luroth(1844-1910)證明了虧格為0的曲線(xiàn)可用雙有理變換變到一條直線(xiàn)肮帐。克萊布什證明了一條虧格為1的曲線(xiàn)可用雙有理變換變到三次曲線(xiàn)边器。
除去用虧格分類(lèi)曲線(xiàn)外训枢，克萊布什還仿照黎曼在每個(gè)虧格中引進(jìn)類(lèi)別。黎曼考慮過(guò)黎曼曲面的雙有理變換忘巧，例如恒界，若f(w,z)=0是曲面的方程，并設(shè)是有理函數(shù)砚嘴，且逆變換是有理函數(shù)十酣，則f(w,z)可以變換成F(w1,z1)=0涩拙。兩個(gè)代數(shù)方程F(w,z)=0（或它們的曲面）僅當(dāng)它們有相同的p值時(shí)才可以彼此雙有理變換。（曲面的頁(yè)數(shù)不一定保持不變耸采。）黎曼不要求進(jìn)一步證明兴泥，它是由直觀保證的。
黎曼（在1857年的論文中）認(rèn)為所有能彼此雙有理變換的方程（或曲面）屬于同一類(lèi)虾宇。它們有相同的虧格p搓彻。然而，不同的類(lèi)別可具有相同的p值（因?yàn)槠琰c(diǎn)可以不同）嘱朽。虧格為p最普遍的一類(lèi)旭贬，當(dāng)p>0時(shí)用3p-3個(gè)（復(fù)數(shù)）常數(shù)（方程中的系數(shù)）去刻劃，p=1時(shí)用一個(gè)常數(shù)刻劃燥翅，p=0時(shí)用0個(gè)常數(shù)刻劃骑篙。對(duì)橢圓函數(shù)，p=1森书，有一個(gè)常量靶端。對(duì)三角函數(shù)，p=0凛膏，沒(méi)有常量杨名。黎曼把常量個(gè)數(shù)稱(chēng)為類(lèi)模數(shù)。常量在雙有理變換下是不變量猖毫。
克萊布什同樣把從一個(gè)曲線(xiàn)用一一對(duì)應(yīng)的雙有理變換導(dǎo)出的所有曲線(xiàn)放在一類(lèi)台谍。在同一類(lèi)的曲線(xiàn)必然有相同的虧格，但是不同的類(lèi)可以具有相同的虧格吁断。
