摘要：數(shù)學思維必須符合邏輯，演繹證明某事肯定是這樣，歸納說明某事在實際上是有效的鱼喉，溯因僅僅表明某事可能是，所以溯因是推理中較弱的一種形式趋观。

溯因整理成為一個命題叫做猜想（證明一個猜想是告訴你結果扛禽，讓你按照規(guī)則找出原因-過程的必然性，把道理講清楚）皱坛。我們證明一個數(shù)學命題就是一種整體上弱勢溯因推理编曼，每一個局部需要強勢演繹推理，這是無法克服的困難----超出了人類解決問題的能力剩辟！況且掐场，往扔，一個事實可能有多種原因，我們要找到那個必然的原因刻肄，并且用演繹推理證明就是它。好比逆水行舟,盲人摸象融欧。

演繹是從一般到特殊敏弃，歸納是從很多特殊到某一個一般。但是噪馏，溯因邏輯是從一個現(xiàn)象或者一個事實麦到，反推出可能存在的原因。

人永遠需要理由欠肾，解釋永遠需要解釋來解釋瓶颠。數(shù)學家用公理把數(shù)學推理的無窮退后阻斷，防止無休止的循環(huán)論證刺桃。公理讓數(shù)學有了合法性粹淋。

我們可以看到，大多數(shù)數(shù)學證明都是錯誤的【數(shù)學家的錯誤】https://max.book118.com/html/2024/0818/8122142007006121.shtm

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 一瑟慈，概念-關系-判斷-命題

? ? ? ? 數(shù)學思維最基本的單位是概念桃移，比概念大一些的思維單位是模型，我們用概念為事物分類葛碧，建立對象借杰。模型可以是命題和公式，它包含了多個概念进泼，我們用模型建立概念間的關系蔗衡，把握概念的關系。概念又分為多種乳绕，我們只能把握普遍概念和單獨概念绞惦，不能一次性把握集合概念。（詳見后面內(nèi)容）

? ? ? 理性洋措，最基本的要素是概念和關系翩隧。概念和關系組成命題，具有判斷功能呻纹。就是詞項和連接詞堆生，用詞項把握對象，用連接詞把握對象之間的關系雷酪。

數(shù)學概念極為復雜淑仆，所有的數(shù)學命題，無論主項還是謂項哥力。

（一）蔗怠，按照: 屬性還是實體劃分

1墩弯，屬性概念（例如圓周率）。

2寞射，實體概念（例如渔工，肥婆那也數(shù)）。

3桥温，屬性包含實體概念（例如費馬素數(shù)）引矩。

4，實體包含屬性概念（例如孿生素數(shù)）侵浸。

需要說明的是旺韭，如果主項和謂項都不是屬性概念，僅僅是實體概念掏觉，那就是恒等式区端，例如二項式“定理”，其實不是定理澳腹，只是恒等式织盼。因為沒有屬性事物不能算定理。

但是酱塔，要求二項式結構具有一種性質悔政，則是定理，例如斐波那契數(shù)列如果要求是一個素數(shù)延旧；? 谋国。如果要求它們必須是素數(shù)的話，公式內(nèi)的二項式就是屬性迁沫。

（二）芦瘾，按照集合與否劃分

詳見后面的：單獨概念，普遍概念集畅，集合概念近弟，非集合概念。

三挺智，按照動態(tài)邏輯層次

有一階邏輯命題概念祷愉，二階邏輯命題概念（變化率的變化率，例如費馬大定理赦颇，黎曼猜想二鳄，華林問題，物理學中的“加速度”“三體問題”....媒怯。

人類認知最基本的關系是就是理性订讼，認識世界第一推動力就是差異！

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?一扇苞，我們建立對象關系把握關系為了什么

? ? ? ? 是為了有效的判斷欺殿。

命題就是帶有判斷功能的語句寄纵，概念的本質是事物的差異，就是不同事物的否定（概念無限否定性脖苏，例如梨子不是饅頭程拭，不是包子，不是雞蛋棍潘，....恃鞋。），多個概念在連接詞的作用下形成判斷語句蜒谤。錯誤的句子無法判斷山宾。

舉例一個：

大家知道至扰，有一個著名的龐加萊猜想鳍徽，這個猜想為什么狗屁不通？

1敢课，龐加萊猜想的內(nèi)容為：

任何一個單連通的阶祭，閉的三維流形一定同胚于一個三維的球面。

2直秆，龐加萊猜想的主項和謂項

主項是【三維流形】濒募，還有修飾限定主項的定語：單連通和閉流形。

謂項是【三維球面】圾结。

3瑰剃，龐加萊猜想主項與謂項的關系

在數(shù)學中，三維球面是一個具有三個維度的幾何客體筝野，這樣的幾何客體都可以歸類為三維流形晌姚。

就是說，主項的內(nèi)涵與外延全覆蓋謂項歇竟。當主項與謂項具有同樣的概念內(nèi)涵和外延挥唠，，我們不是采用證明焕议，而是采用種加屬差定義的方法宝磨。

所以，將龐加萊猜想（命題）用定義方法：“三維球面就是一個單連通的-閉的三維流形”盅安。

主項與謂項是：a唤锉，種屬關系；b别瞭，是一種真包含關系腌紧；c，是傳遞關系畜隶。

全稱判斷的命題通常涉及到一個總體的所有成員都具備某項性質壁肋，如果主項包含謂項号胚，就會以偏概全。例如“所有的學生（外延寬的）都是小學生（外延窄的）”浸遗。這種命題要求對一個整體的每一個成員進行描述猫胁，而種屬關系描述的是部分與整體的關系，無法準確反映全稱判斷的邏輯要求跛锌。因此弃秆，在邏輯推理中，種屬關系不適用于全稱判斷的命題髓帽。

種屬關系數(shù)學中用定義解決菠赚。

類似的定義：素數(shù)就是大于1并且只能被1和自身整除的自然數(shù)（定義是已經(jīng)搞清楚的內(nèi)容，將自然數(shù)劃分為：自然數(shù)1郑藏，素數(shù)衡查，合數(shù)）。

我們不能用命題形式：任何大于1并且只能被1和自身整除的自然數(shù)都是素數(shù)（命題是有待于證明的問題）必盖。

5拌牲，主項表示判斷句子主要說明的人或事物；謂項說明主項的動作歌粥，狀態(tài)或特征-行為-屬性等塌忽。

真包含關系用于判斷，常常出現(xiàn)錯誤：例如“所有的學生（外延寬的）都是小學生（外延窄的）”失驶。

判斷土居，必須有兩個以上的不同內(nèi)涵概念；全稱判斷的主項與謂項必須是兩個不同的概念嬉探。主項是條件擦耀，謂項是結論，而龐加萊猜想的主項與謂項是同一概念的內(nèi)涵（把本應是“所有的s都是p”甲馋，說成“所有的s都是s的一部分）埂奈，把所有的條件說成是結論。

6定躏，判斷句子主項不能包含謂項账磺。或者說命題的主項不能包含謂項痊远。

數(shù)學命題的謂項一般說主項有多少或者主項是什么性質垮抗，，例如命題【素數(shù)有無窮多】素數(shù)與無窮多是全異關系碧聪；命題【e是超越數(shù)-實際是說e具有超越性冒版，一種屬性】e與超越性在證明之前是全異關系，證明之后是交叉關系逞姿。

全稱命題的主項與謂項是全異關系辞嗡，因為只有全異關系才是兩個內(nèi)涵不同的概念捆等。又因為，數(shù)學定理必須是全稱判斷续室。

看到?jīng)]有栋烤？

一個錯誤的句子不具備判斷的功能。

?（二）挺狰，為什么數(shù)學需要邏輯呢?

? ? ? ?因為數(shù)學是研究數(shù)量-空間結構-數(shù)量和空間結構的變化明郭，我們面對的情況是復雜的和變化的，常常需要從一個時空到另外一個時空丰泊，從一個命題推出另外一個命題薯定，從一個判斷中得到另外一個判斷。

? ? ? 我們從已知命題推斷出未知命題的行為叫推理瞳购，已知命題叫前提话侄，未知命題叫結論。我們證明一個結論的系統(tǒng)化行為苛败，叫做論證满葛。

? ? 邏輯就是確保這些推理和論證能夠有效的規(guī)則径簿。邏輯學就是研究這些有效推論和論證規(guī)則與標準的學科罢屈。

（三），邏輯為有效性推理提供了合法性篇亭，邏輯的合法性即邏輯起作用的底層原理是什么缠捌？

? ? ? ? ?邏輯的本質內(nèi)涵是：通過老概念理解新概念，通過已知命題來推斷未知命題译蒂。從老范疇中得到新范疇曼月。

? ? ? ? 邏輯本質是處置我們心智中的問題和擴大我們的認知范圍。

? ? ? ? 這種擴大有三種有效路徑：

1柔昼，演繹推理哑芹，就是從大范疇中找到小范疇的推理；前提與結論是蘊含關系捕透。得出的結論是必然判斷聪姿。

2，歸納推理乙嘀，從眾多小范疇中找到大范疇的推理末购；

3，類比推理虎谢，在相似的范疇之間找到共性的東西和不同的東西盟榴。

我們借助從老命題引向新的命題-從已知引向未知的。

? ? ? ? ?只有演繹推理形式是必然有效的婴噩，因為大范疇的存在擎场，是小范疇存在的充分條件羽德，所以，演繹推理是必然的因果關系推理迅办。

? ? ? ? ?而歸納和類比推理不是玩般，邏輯上也不會用有效性與否來評價這兩類推理，只會說歸納強度和類比的可接受性礼饱。所以也叫或然性推理坏为。

數(shù)學定理不能是或然判斷。數(shù)學歸納法產(chǎn)生的不是定理镊绪，因為歸納無法產(chǎn)生屬性匀伏。

（四），溯因推理是形成一個說明假說過程蝴韭。它是唯一的引導新思想產(chǎn)生的邏輯操作够颠。

歸納只能進行評價，演繹能從假說中推斷出必然的推論榄鉴。

? ? ? 演繹證明某事肯定是履磨，歸納說明某事實際是有效的，溯因僅僅表明某事可能是庆尘，溯因整理成為一個命題叫做猜想剃诅。

? ? ? 對溯因形成的猜想是不可靠的，唯一辯護是從猜想的建議中能夠演繹出一個預言（假說驶忌，數(shù)學中叫猜想）矛辕，這個預言（猜想）能夠被歸納檢驗（例如哥德巴赫猜想：3+3=6，3+5=8付魔，....聊品，。）几苍。如果我們要完全認識和理解這個現(xiàn)象翻屈，必須通過系統(tǒng)性溯因才能達到（證明）。

邏輯的本質就是必然得出妻坝。

五伸眶，所以，邏輯的合法性來自于形式的合理性惠勒，而形式的合理性來自于實踐的有效性赚抡。溯因達到嚴格的推理-論證才能叫做定理。

在這里必須是沒有任何模糊性纠屋，論證中的一切推理應該井井有條涂臣，一切細節(jié)環(huán)環(huán)相扣。結論的正確性建立在前提的正確性和真實性基礎上。

（一）赁遗，溯因的邏輯規(guī)則是廣義的論證規(guī)則署辉，符合邏輯規(guī)則的我們就接受，不符合我們就拒絕岩四。

邏輯憑什么有這樣的心理機制哭尝，支撐這種有效性，這些現(xiàn)象是怎么產(chǎn)生的剖煌，其理由產(chǎn)生的強制力材鹦，心理強制力是怎么來的，為什么能夠左右我們的判斷耕姊，一個人為什么會被說服桶唐。

（二），什么是理性茉兰，理性這個看不見的東西尤泽，它哪里來的力量？

我們看著論證如何從現(xiàn)實世界到經(jīng)過精神世界再到我們語言世界中運行规脸，我們的心智如何參與其中的坯约。

論證的定義：一種推理形式，它是通過某一種真實的判斷莫鸭，來判斷某一個判斷的真實性的過程闹丐。我們知道判斷，這是我們心智對外部世界的肯定黔龟，或者否定思維過程妇智。

（三）我們判斷的依據(jù)是什么滥玷？

語言或者作為理由的語言氏身，語言必須是清晰的，沒有歧義的惑畴，符合語法的蛋欣。語言的正確與否影響我們的判斷。這一切和我們?nèi)祟惱硇灾心莻€“溯因”機制有關系如贷。

六陷虎，判斷基本形式，肯定和否定杠袱，是一個結果尚猿，導致這個結果的理性活動，那個思維基本形式叫做試推楣富，也被譯作溯因凿掂。試推是我們思維的基本形式。從現(xiàn)實世界到心理世界再到語言世界。

判斷是以一個或者多個試推完成的一個結果庄萎。

試推的基本形式是在（現(xiàn)實世界）觀察到一個事實b踪少。這個理所當然的b，

b是由命題a帶來的糠涛，所以有理由相信a是真的援奢。（例如，干旱造成莊稼干枯或者一些死亡了忍捡，下雨以后莊稼復活了集漾，雨水a(chǎn)帶來了莊稼復活b）我們心智無法理解的事件，我們也能（在心理世界）進行判斷砸脊。

我們居然能夠對事物進行肯定或者否定帆竹，這個事實讓你不那么驚訝，而且變得理所當然了脓规，而且沒有更好的說法栽连，你就有理由相信，這個就是溯因邏輯侨舆。

七秒紧，溯因要得是一個結果，判斷沒有什么了不起挨下，動物也會判斷熔恢。

? ? ? 但是，溯因臭笆，在語言中溯因叙淌。然后形成判斷，指導判斷愁铺。

這是一種非常神奇的能力鹰霍，判斷落實到語言中，就有了語言斷言（語言世界）茵乱，斷言就是具有判斷功能的命題茂洒。

命題是什么，命題蘊含了概念和概念的關系瓶竭，它是詞項和連接詞組成的事物督勺。表征了外部世間事件的對象纤房，以及對象之間的關系湖员、于是就有了知識，概念是數(shù)學的核心贸呢。

我們發(fā)現(xiàn)荧恍，只要符合某些規(guī)則瓷叫，就可以從一個命題推出另外一個命題，從一個斷言推出另外一個斷言，我們把這個過程叫做推理赞辩。

我們又把那個大規(guī)模的推理雌芽，那個更加系統(tǒng)的推理叫做論證。

于是辨嗽，我們的語言和知識的范疇不斷擴大世落，結下了一張命題的網(wǎng)絡——斷言之網(wǎng)。我們通過斷言之網(wǎng)理解我們的世界糟需。

從事態(tài)的判斷（現(xiàn)實世界到心理世界）屉佳，從判斷再到斷言（語言世界），我們的某些規(guī)則就是指這些語言和語言聯(lián)系的規(guī)則洲押，它是語言之間的：斷言到斷言的那個推出關系（純粹的非洲人不會通過斷言推導武花，以至于非洲人無法學會數(shù)學-物理學，最近有非洲女孩會下國際象棋杈帐，驚動了人類學家）体箕。

邏輯最終目標就是確立一套語言說的規(guī)范，從而確保我們思維的有效性挑童。然后最終確保我們對世界認識的正確性累铅。

我們講的溯因邏輯，和我們說的演繹邏輯和歸納邏輯有什么關系站叼？演繹是從一般到特殊娃兽，歸納是從很多特殊到某一個一般。但是尽楔，溯因邏輯是從一個現(xiàn)象或者一個事實投储，反推出可能存在的原因。我們理解世界生產(chǎn)知識一個三角關系阔馋。

一個結果或者一個理由玛荞，會有很多原因，但是最根本的原因是我們暫時沒有理由否定垦缅。

一個命題必須在其它命題限制之下才能成立冲泥，必須在無限延遲的否定中介之下，所有的能夠否定的都被否定了壁涎，剩下的就是暫時的真理。

因為人是理性動物志秃，人永遠需要理由怔球。

理性為什么有力量？因為人永遠需要理由浮还，解釋永遠需要解釋來解釋竟坛。

數(shù)學家用公理把數(shù)學推理的無窮退后阻斷，防止無休止的循環(huán)論證。公理讓數(shù)學有了合法性担汤。

當有了足夠強大的溯因推理涎跨，有了足夠的最佳解釋，我們就可以結出一張理由之網(wǎng)崭歧，也是逐漸增大的循環(huán)論證之網(wǎng)隅很，來間接認識這個世界，因為還有一個人類無法逾越的精神障礙——可證偽率碾。

盡管你建立了復雜的重言式叔营，但你仍然被限制在如果（溯因假設）的條件范圍內(nèi)。

數(shù)學由于有了最先的公理體系所宰，我們不能再讓循環(huán)論證出現(xiàn)绒尊。

? ? ? 解釋就是建構一個重言式，并且最大可能地確保其中連接的有效性仔粥，即使是不言自明的婴谱，這一重言式永遠不會令人完全滿意，因為沒有人知道未來會發(fā)生什么躯泰。它顛倒了我們對人類理性的理解勘究，它揭示了我們以語言符合為運思材料的理性思維內(nèi)在悖論。

例如最近的超弦理論不可證偽斟冕，人們還是接受它口糕，因為用現(xiàn)有理論無法否定它。

八磕蛇，數(shù)學命題證明的限制

由于數(shù)學定理必須是全稱判斷景描，即一切A是B，所以主項的A只能是普遍概念或者單獨概念秀撇。

全世界的數(shù)學定理的主項都是普遍概念或者單獨概念超棺，世界上沒有任何一個數(shù)學定理的主項是集合概念。命題中概念出現(xiàn)多種屬性就會破壞判斷的合理性呵燕。

概念的種類：

（1）棠绘，單獨概念和普遍概念

a，單獨概念再扭，反映獨一無二的概念氧苍，單獨概念的外延只有一個。例如泛范，上海让虐，孫中山，罢荡，赡突，对扶。數(shù)學中的單獨概念有“e”“Π”〔宴郑“e是超越數(shù)”就是一個單獨概念的命題浪南。

b，普遍概念漱受，普遍概念反映的是一個對象以上的概念络凿，反映的是一個“類”，這個詞項的內(nèi)涵由為了包含在詞項外延所必須具有的事物的性質組成拜效。

就是說喷众，普遍概念的每一個個體必然具有這個概念的基本屬性。例如：工人紧憾，無論“石油工人”到千，“鋼鐵工人”，還是“中國工人”赴穗，“德國工人”憔四，它們必然地具有“工人”的基本屬性。數(shù)學中的普遍概念有例如“素數(shù)”般眉，“合數(shù)”了赵，等〉樵撸“素數(shù)無窮多”就是一個普遍概念的命題柿汛。

（2），集合概念和非集合概念埠对。

a络断，集合概念反映的是集合體，這個詞項的外延由詞項所應用的事物集合組成项玛，例如“中國工人階級”貌笨，集合體的每一個個體不是必然具備集合體的基本屬性，例如某一個“中國工人”襟沮，不是必然具有“中國工人階級”的基本屬性锥惋。集合概念的命題是不需要證明的，也是無法證明的开伏，只能是歸納總結膀跌。

b，非集合概念（省略）硅则。

（3）淹父，一個結果有多種原因的二階邏輯數(shù)學命題溯因無法用邏輯語言一次性斷定

? 集合概念的主項無法一次性斷定，因為集合概念外延的內(nèi)涵不一定是一致的怎虫。邏輯語言無法有效地統(tǒng)一這個判斷暑认。當一個結果有多種原因，對結果的溯因無法針對多個原因定位大审。例如費馬大定理和黎曼猜想等蘸际。這是變化率的變化率，人類不能突破二階邏輯的制約徒扶，強行一次性斷言一個有無窮多個變化率的變化率的命題粮彤，超越了人的認識能力，那是神的工作姜骡。

九导坟，除了溯因推理可以引導發(fā)現(xiàn)數(shù)學新認識，還有一種反常的路徑——數(shù)學叛亂

人類在已經(jīng)存在的科學范式下探索-解題-增加例證圈澈。使得我們相信我們應該繼續(xù)沿著前輩開發(fā)的道路前進惫周。無限進步理論告訴我們認識的規(guī)律，只有質疑已有的范式才能突破創(chuàng)新康栈〉莸荩科學團體允許自己的理論被大破大立，畫魂索命（這一點與宗教團體和政治團體不同）啥么。無理數(shù)登舞，集合論，非歐幾何悬荣，....菠秒。都是在全面否定以往認識的局限以后發(fā)展的。

數(shù)學開發(fā)新的知識氯迂，還有一種形式践叠，就是利用定義擴展和連接，有興趣的讀者可以看百度百科【素數(shù)普遍公式】【重大數(shù)論問題聯(lián)合表示m理論】囚戚，這是利用定義完成的酵熙。，

十驰坊，機器能夠代替人腦越過瓶頸嗎

數(shù)學定理要求全稱判斷：一切A是B匾二；全稱判斷主項必須是普遍概念或者單獨概念；普遍概念就是按照屬性定義的拳芙；機器不能判斷屬性察藐，因為，判斷屬性不是機器的工作舟扎，例如判斷一個人的性別分飞，是生物化學的工作，染色體xx是女性睹限，xy是男性譬猫。所以機器證明數(shù)學定理是荒唐的讯檐。