十一喇潘、估計

原文：Estimation

譯者：飛龍

協(xié)議：CC BY-NC-SA 4.0

自豪地采用谷歌翻譯

在前一章中，我們開始開發(fā)推斷思維的方法梭稚。特別是颖低，我們學(xué)會了如何使用數(shù)據(jù)，在世界的兩個假設(shè)之間做決策弧烤。但是我們通常只想知道忱屑，某件事情有多大。

例如扼褪，在前面的章節(jié)中想幻，我們調(diào)查了敵人可能擁有的戰(zhàn)機(jī)數(shù)量。在選舉年话浇，我們可能想知道有多少選民贊成特定候選人脏毯。為了評估目前的經(jīng)濟(jì)狀況，我們可能會對美國家庭年收入的中位數(shù)感興趣幔崖。

在本章中食店，我們將開發(fā)一種估計未知參數(shù)的方法。請記住赏寇，參數(shù)是總體相關(guān)的數(shù)值吉嫩。

要弄清參數(shù)的值，我們需要數(shù)據(jù)嗅定。如果我們有整個人口的相關(guān)數(shù)據(jù)自娩，我們可以簡單地計算參數(shù)。

但是渠退，如果人口非常龐大（例如忙迁，如果它由美國的所有家庭組成）脐彩，那么收集整個人口的數(shù)據(jù)可能過于昂貴和耗時。在這種情況下姊扔，數(shù)據(jù)科學(xué)家依賴從人口中隨機(jī)抽樣惠奸。

這導(dǎo)致了一個推斷問題：如何根據(jù)隨機(jī)樣本中的數(shù)據(jù)，對未知參數(shù)做出正確的結(jié)論恰梢？我們將用推斷思維來回答這個問題佛南。

基于隨機(jī)樣本的統(tǒng)計量可能是總體中未知參數(shù)的合理估計。例如嵌言，你可能希望使用家庭樣本的年收入中位數(shù)嗅回，來估計美國所有家庭的年收入中位數(shù)。

但任何統(tǒng)計量的值都取決于樣本呀页，樣本基于隨機(jī)抽取妈拌。所以每次數(shù)據(jù)科學(xué)家得到了一個基于隨機(jī)樣本的估計，他們都面臨一個問題：

“如果樣本是不同的蓬蝶，這個估計有多大的不同呢？”

在本章中猜惋，你將學(xué)習(xí)一種回答這個問題的方法丸氛。答案將為你提供工具來估算數(shù)值參數(shù)，并量化估算中的誤差量著摔。

我們將以百分位數(shù)開始缓窜。最有名的百分位數(shù)是中位數(shù)，通常用于收入數(shù)據(jù)的摘要谍咆。在我們即將開發(fā)的估計方法中禾锤，其他百分位數(shù)也是非常重要的。所以我們一開始要仔細(xì)定義百分位數(shù)摹察。

百分位數(shù)

數(shù)值數(shù)據(jù)可以按照升序或降序排序彭则。因此吐葵，數(shù)值數(shù)據(jù)集的值具有等級順序。百分位數(shù)是特定等級的值。

例如北戏，如果你的考試成績在第 95 個百分位，一個常見的解釋是只有 5% 的成績高于你的成績雄卷。中位數(shù)是第 50 個百分位熄驼；通常假定數(shù)據(jù)集中 50% 的值高于中值。

但是劝赔，給予百分位一個精確定義誓焦，適用于所有等級和所有列表，需要一些謹(jǐn)慎着帽。為了明白為什么杂伟，考慮一個極端的例子移层，一個班級的所有學(xué)生在考試中得分為 75 分。那么 75 是中位數(shù)的自然候選稿壁，但是 50% 的分?jǐn)?shù)高于 75 并不是真的幽钢。另外，75 同樣是第 95 個或第 25 個百分位數(shù)傅是，或任何其他百分位數(shù)的自然候選匪燕。在定義百分位數(shù)時，必須將重復(fù) - 也就是相同的數(shù)據(jù)值 - 考慮在內(nèi)喧笔。

當(dāng)相關(guān)的索引不明確時帽驯，你還必須小心列表到底有多長。例如书闸，10 個值的集合的第 87 個百分位數(shù)是多少尼变？有序集合的第 8 個值，還是第 9 個浆劲，還是其中的某個位置嫌术？

數(shù)值的例子

在給出所有百分位數(shù)的一般定義之前，我們將把數(shù)值集合的第80個百分點定義為集合中的（一定條件的）最小值牌借，它至少與所有值的 80% 一樣大度气。

例如，考慮非洲膨报，南極洲磷籍，亞洲，北美洲和南美洲五大洲的大小现柠，四舍五入到最接近的百萬平方英里院领。

sizes = make_array(12, 17, 6, 9, 7)

第 80 個百分位數(shù)是（一定條件的）最小值，至少和 80% 的值一樣大够吩，也就是五個元素的五分之四比然。等于 12：

np.sort(sizes)
array([ 6,  7,  9, 12, 17])

第 80 個百分位數(shù)是列表中的一個值，也就是 12废恋。你可以看到谈秫，80% 的值小于等于它，并且它是列表中滿足這個條件的最小值鱼鼓。

與之類似拟烫，第 70 個百分位數(shù)是該集合中（一定條件的）最小值，至少與 70% 的元素一樣大迄本。 現(xiàn)在 5 個元素中的 70% 是“3.5 個元素”硕淑，所以第 70 個百分位數(shù)是列表中的第 4 個元素。 它是 12，與這些數(shù)據(jù)的第 80 百分位數(shù)相同置媳。

percentile函數(shù)

percentile函數(shù)接受兩個參數(shù)：一個 0 到 100 之間的等級于樟，和一個數(shù)組。它返回數(shù)組相應(yīng)的百分位數(shù)拇囊。

percentile(70, sizes)
12

一般定義

令p為 0 到 100 之間的數(shù)字迂曲。集合的第p個百分位數(shù)是集合中的（一定條件）的最小值，它至少與p%的所有值一樣大寥袭。

通過這個定義路捧，可以計算任何值的集合的任何 0 到 100 之間的百分位數(shù)，并且它始終是集合的一個元素传黄。

實際上杰扫，假設(shè)集合中有n個元素。 要找到第p個百分位數(shù)：

• 對集合升序排序膘掰。
• 計算n的p%：(p/100) * n章姓。叫做k。
• 如果k是一個整數(shù)识埋，則取有序集合的第k個元素凡伊。
• 如果k不是一個整數(shù)，則將其四舍五入到下一個整數(shù)窒舟，并采用有序集合的那個元素窗声。

示例

scores_and_sections表包含 359 名學(xué)生，每個學(xué)生一行辜纲。 列是學(xué)生的討論分組和期中分?jǐn)?shù)。

scores_and_sections = Table.read_table('scores_by_section.csv')
scores_and_sections

（省略了 349 列）

scores_and_sections.select('Midterm').hist(bins=np.arange(-0.5, 25.6, 1))

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/11-1.png

分?jǐn)?shù)的第 85 個百分位數(shù)是多少拦耐？ 為了使用percentile函數(shù)耕腾，創(chuàng)建包含期中分?jǐn)?shù)的數(shù)組scores，并找到第 85 個百分位數(shù)：

scores = scores_and_sections.column(1)
percentile(85, scores)
22

根據(jù)percentile函數(shù)杀糯，第 85 個百分點數(shù)是 22扫俺。為了檢查這是否符合我們的新定義，我們直接應(yīng)用定義固翰。

首先狼纬，把分?jǐn)?shù)升序排列：

sorted_scores = np.sort(scores_and_sections.column(1))

數(shù)組中有 359 個分?jǐn)?shù)。所以下面骂际，計算 359 的 85%疗琉，它是 305.15。

0.85 * 359
305.15

這不是一個整數(shù)歉铝。 根據(jù)我們的定義盈简，中位數(shù)是sorted_scores的第 306 個元素，按 Python 的索引約定，它是數(shù)組的第 305 項柠贤。

# The 306th element of the sorted array

sorted_scores.item(305)
22

它和我們通過使用percentile得到的答案一樣香浩。以后，我們會僅僅使用percentile臼勉。

四分位數(shù)

數(shù)值集合的第一個四分位數(shù)是第 25 個百分分?jǐn)?shù)邻吭。 這個術(shù)語（quartile）來自第一個季度（quarter）。 第二個四分位數(shù)是中位數(shù)宴霸，第三個四分位數(shù)是第 75 個百分位數(shù)囱晴。

對于我們的分?jǐn)?shù)數(shù)據(jù)，這些值是：

percentile(25, scores)
11
percentile(50, scores)
16
percentile(75, scores)
20

分?jǐn)?shù)的分布有時歸納為“中等 50%”區(qū)間猖败，在第一和第三個四分位數(shù)之間速缆。

自舉法

一個數(shù)據(jù)科學(xué)家正在使用隨機(jī)樣本中的數(shù)據(jù)來估計未知參數(shù)。她使用樣本來計算用作估計值的統(tǒng)計量恩闻。

一旦她計算出了統(tǒng)計量的觀察值艺糜，她就可以把它作為她的估計值，然后順其自然幢尚。 但她是一名數(shù)據(jù)科學(xué)家破停。 她知道她的隨機(jī)樣本只是眾多可能的隨機(jī)樣本之一，因此她的估計只是眾多合理估算之一尉剩。

這些估計的變化有多大真慢？ 為了回答這個問題，似乎她需要從總體中抽取另一個樣本理茎，并根據(jù)新樣本計算一個新的估計值黑界。 但是她沒有資源來回到總體中，再抽取一個樣本皂林。

這個數(shù)據(jù)科學(xué)家看起來好像卡住了朗鸠。

幸運的是，一個叫做自舉法的好主意可以幫助她础倍。 由于從總體中生成新樣本是不可行的烛占，自舉法通過稱為重采樣的方法生成新的隨機(jī)樣本：新樣本從原始樣本中隨機(jī)抽取。

在本節(jié)中沟启，我們將看到自舉法的工作方式和原因忆家。 在本章的其余部分，我們將使用自舉法進(jìn)行推理德迹。

舊金山市的雇員薪資

SF OpenData 是一個網(wǎng)站芽卿，舊金山市和縣在上面公開提供他們的一些數(shù)據(jù)。 其中一個數(shù)據(jù)集包含城市雇員的薪資數(shù)據(jù)浦辨。 其中包括市營醫(yī)院的醫(yī)療專業(yè)人員蹬竖，警察沼沈，消防員，運輸工人币厕，民選官員以及市內(nèi)所有其他雇員列另。

2015 日歷年的薪資數(shù)據(jù)見表sf2015。

sf2015 = Table.read_table('san_francisco_2015.csv')
sf2015

（省略了 42979 行）

共有 42,979 名員工旦装，每個人一行页衙。 有許多列包含市政部門隸屬關(guān)系的信息，以及員工薪酬方案不同部分的詳細(xì)信息阴绢。 這是對應(yīng)市長 Ed Lee 的一行店乐。

sf2015.where('Job', are.equal_to('Mayor'))

我們要研究最后一欄，總薪酬呻袭。 這是員工的工資加上市政府對退休和福利計劃的貢獻(xiàn)眨八。

日歷年的財務(wù)方案有時難以理解，因為它們?nèi)Q于雇用日期左电，員工是否在城市內(nèi)部換工作等等廉侧。 例如，Total Compensation列中的最低值看起來有點奇怪篓足。

sf2015.sort('Total Compensation')

（省略了 42979 行）

為了便于比較段誊，我們將專注于那些工作時間相當(dāng)于至少半年的人。 最低工資約為每小時 10 美元栈拖，52 周每周 20 小時连舍，工資約為 1 萬美元。

sf2015 = sf2015.where('Salaries', are.above(10000))
sf2015.num_rows
36569

總體和參數(shù)

讓這張超過 36500 行的表格成為我們的總體涩哟。 這是總薪資的直方圖索赏。

sf_bins = np.arange(0, 700000, 25000)
sf2015.select('Total Compensation').hist(bins=sf_bins)

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/11-2.png

雖然大部分值都低于 300,000 美元，但有一些還是比較高的贴彼。 例如参滴，首席投資官的總薪資不多是 65 萬美元。 這就是為什么橫軸延伸到了 700,000 美元锻弓。

sf2015.sort('Total Compensation', descending=True).show(2)

（省略了 36567 行）

現(xiàn)在讓參數(shù)為總薪資的中位數(shù)。

既然我們有能力從總體中得到所有數(shù)據(jù)蝌箍，我們可以簡單計算參數(shù)：

pop_median = percentile(50, sf2015.column('Total Compensation'))
pop_median
110305.78999999999

所有員工的薪酬總額的中位數(shù)剛剛超過 110,300 美元青灼。

從實際的角度來看，我們沒有理由抽取樣本來估計這個參數(shù)妓盲，因為我們只是知道它的值杂拨。 但在本節(jié)中，我們假裝不知道這個值悯衬，看看我們?nèi)绾胃鶕?jù)隨機(jī)樣本來估計它弹沽。

在后面的章節(jié)中，我們將回到現(xiàn)實，在參數(shù)未知的情況下工作策橘。 就目前而言炸渡，我們是無所不知的。

隨機(jī)樣本和估計

讓我們無放回地隨機(jī)抽取 500 名員工的樣本丽已，并將所選員工的總薪酬的中位數(shù)作為我們的參數(shù)估計量蚌堵。

our_sample = sf2015.sample(500, with_replacement=False)
our_sample.select('Total Compensation').hist(bins=sf_bins)

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/11-3.png

est_median = percentile(50, our_sample.column('Total Compensation'))
est_median
113598.99000000001

樣本量很大。 根據(jù)平均定律沛婴，樣本的分布與總體的分布相似吼畏，因此樣本中位數(shù)與總體中位數(shù)相差不大（盡管當(dāng)然并不完全相同）。

所以現(xiàn)在我們有了參數(shù)的估計嘁灯。 但是泻蚊，如果樣本是不同的，估計的值也會不同丑婿。 我們希望能夠量化估計的值在不同樣本間的差異性雄。 這個變化的測量將有助于我們衡量我們可以將參數(shù)估計得多么準(zhǔn)確。

為了查看樣本有多么不同枯冈，我們可以從總體中抽取另一個樣本毅贮，但這樣做就作弊了。 我們正試圖模仿現(xiàn)實生活尘奏，我們不能掌握所有的人口數(shù)據(jù)滩褥。

用某種方式，我們必須得到另一個隨機(jī)樣本炫加，而不從總體中抽樣瑰煎。

自舉法：從樣本中重采樣

我們所做的是，從樣本中隨機(jī)抽樣俗孝。 我們知道了酒甸，大型隨機(jī)樣本可能類似于用于抽取的總體。 這一觀察使得數(shù)據(jù)科學(xué)家可以通過自舉來提升自己：抽樣過程可以通過從樣本中抽樣來復(fù)制赋铝。

以下是自舉法的步驟插勤，用于生成類似總體的另一個隨機(jī)樣本：

• 將原始樣本看做總體。
• 從樣本中隨機(jī)抽取樣本革骨，與原始樣本大小相同农尖。

二次樣本的大小與原始樣本相同很重要。 原因是估計量的變化取決于樣本的大小良哲。 由于我們的原始樣本由 500 名員工組成盛卡，我們的樣本中位數(shù)基于 500 個值。 為了看看樣本變化多少筑凫，我們必須將其與 500 個其他樣本的中位數(shù)進(jìn)行比較滑沧。

如果我們從大小為 500 的樣本中并村，無放回地隨機(jī)抽取了 500 次，我們只會得到相同的樣本滓技。 通過帶放回抽取哩牍，我們就可以讓新樣本與原始樣本不同，因為有些員工可能會被抽到一次以上殖属，其他人則完全不會姐叁。

為什么這是一個好主意？ 按照平均定律洗显，原始樣本的分布可能與總體相似外潜，所有“二次樣本”的分布可能與原始樣本相似。 因此挠唆，所有二次樣本的分布也可能與總體相似处窥。

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/11-4.png

二次樣本的中位數(shù)

回想一下，使用sample方法而沒有指定樣本大小時玄组，默認(rèn)情況下樣本大小等于用于抽取樣本的表的行數(shù)滔驾。 這是完美的自舉！ 這是從原始樣本中抽取的一個新樣本俄讹，以及相應(yīng)的樣本中位數(shù)哆致。

resample_1 = our_sample.sample()
resample_1.select('Total Compensation').hist(bins=sf_bins)

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/11-5.png

resampled_median_1 = percentile(50, resample_1.column('Total Compensation'))
resampled_median_1
110001.16

通過重采樣，我們有了總體中位數(shù)的另一個估計患膛。 通過一次又一次的重采樣摊阀，我們得到許多這樣的估計，因此有了估計的經(jīng)驗分布踪蹬。

resample_2 = our_sample.sample()
resampled_median_2 = percentile(50, resample_2.column('Total Compensation'))
resampled_median_2
110261.39999999999

自舉樣本中位數(shù)的經(jīng)驗分布

讓我們定義一個函數(shù)bootstrap_median胞此，該函數(shù)接受我們的原始樣本，包含變量的列的標(biāo)簽跃捣，以及我們想要的自舉樣本的數(shù)量漱牵，并返回二次樣本的相應(yīng)中值的數(shù)組。

每次我們重采樣并找到中位數(shù)疚漆，我們重復(fù)自舉過程酣胀。 所以自舉樣本的數(shù)量將被稱為重復(fù)數(shù)量。

def bootstrap_median(original_sample, label, replications):
    """Returns an array of bootstrapped sample medians:
    original_sample: table containing the original sample
    label: label of column containing the variable
    replications: number of bootstrap samples
    """
    just_one_column = original_sample.select(label)
    medians = make_array()
    for i in np.arange(replications):
        bootstrap_sample = just_one_column.sample()
        resampled_median = percentile(50, bootstrap_sample.column(0))
        medians = np.append(medians, resampled_median)

    return medians

我們現(xiàn)在將自舉過程重復(fù) 5000 次娶聘。 數(shù)組bstrap_medians包含所有 5,000 個自舉樣本的中位數(shù)灵临。 注意代碼的運行時間比我們以前的代碼要長。 因為要做很多重采樣趴荸！

bstrap_medians = bootstrap_median(our_sample, 'Total Compensation', 5000)

這是 5000 個中位數(shù)的直方圖。 紅點是總體的參數(shù)：它是整個總體的中位數(shù)宦焦，我們碰巧知道但沒有在自舉過程中使用发钝。

resampled_medians = Table().with_column('Bootstrap Sample Median', bstrap_medians)

#median_bins=np.arange(100000, 130000, 2500)
#resampled_medians.hist(bins = median_bins)
resampled_medians.hist()

plots.scatter(pop_median, 0, color='red', s=30);

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/11-6.png

重要的是要記住顿涣，紅點是固定的：110,305.79 美元，總體的中位數(shù)酝豪。 經(jīng)驗直方圖是隨機(jī)抽取的結(jié)果涛碑，將相對于紅點隨機(jī)定位。

請記住孵淘，所有這些計算的重點是估計人口中位數(shù)蒲障，它是紅點。我們的估計是所有隨機(jī)生成的樣本中位數(shù)瘫证，它們的直方圖你在上面看到了揉阎。 我們希望這些估計量包含參數(shù) - 如果沒有，它們就脫線了背捌。

估計量是否捕獲了參數(shù)

紅點正好落在二次樣本的中位數(shù)的經(jīng)驗直方圖中間毙籽，而不是尾部的幾率有多少？ 要回答這個問題毡庆，我們必須定義“中間”坑赡。 讓我們將它看做“紅點落在二次樣本的中位數(shù)的中間 95%”。

以下是二次采樣中位數(shù)的“中間 95%”的兩端：

left = percentile(2.5, bstrap_medians)
left
107652.71000000001
right = percentile(97.5, bstrap_medians)
right
119256.73

總體中位數(shù) 110,305 美元在這兩個數(shù)中間么抗。下面的直方圖展示了區(qū)間和總體中位數(shù)毅否。

#median_bins=np.arange(100000, 130000, 2500)
#resampled_medians.hist(bins = median_bins)
resampled_medians.hist()

plots.plot(make_array(left, right), make_array(0, 0), color='yellow', lw=3, zorder=1)
plots.scatter(pop_median, 0, color='red', s=30, zorder=2);

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/11-7.png

我們例子中，估計量的“中間 95%”的區(qū)間捕獲了參數(shù)蝇刀。 但是螟加，這是一個偶然嗎？

要查看區(qū)間包含參數(shù)的頻率熊泵，我們必須一遍又一遍地運行整個過程仰迁。具體而言，我們將重復(fù)以下過程 100 次：

• 從總體中抽取一個大小為 500 的原始樣本顽分。
• 執(zhí)行 5000 次重復(fù)的自舉過程徐许，并生成二次樣本的中位數(shù)的“中間 95％”的區(qū)間。
• 我們最后得到了 100 個區(qū)間卒蘸，并計算其中有多少個包含總體中位數(shù)雌隅。

劇透警告：自舉的統(tǒng)計理論表明，這個數(shù)字應(yīng)該在 95 左右缸沃。它可能高于或低于 95恰起，但不會離得太遠(yuǎn)。

# THE BIG SIMULATION: This one takes several minutes.

# Generate 100 intervals, in the table intervals

left_ends = make_array()
right_ends = make_array()

total_comps = sf2015.select('Total Compensation')

for i in np.arange(100):
    first_sample = total_comps.sample(500, with_replacement=False)
    medians = bootstrap_median(first_sample, 'Total Compensation', 5000)
    left_ends = np.append(left_ends, percentile(2.5, medians))
    right_ends = np.append(right_ends, percentile(97.5, medians))

intervals = Table().with_columns(
    'Left', left_ends,
    'Right', right_ends
)    

對于 100 個重復(fù)中的每個趾牧，我們得到了一個中位數(shù)估計量的區(qū)間检盼。

intervals

（省略了 90 行）

良好的區(qū)間是那些包含我們試圖估計的參數(shù)的區(qū)間。 通常參數(shù)是未知的翘单，但在本節(jié)中吨枉，我們碰巧知道參數(shù)是什么蹦渣。

pop_median
110305.78999999999

100 個區(qū)間中有多少個包含總體中位數(shù)？ 這是左端低于且右端高于總體中位數(shù)的區(qū)間數(shù)量貌亭。

intervals.where('Left', are.below(pop_median)).where('Right', are.above(pop_median)).num_rows
95

構(gòu)建所有區(qū)間需要花費幾分鐘時間柬唯，但如果你有耐心，請再試一次圃庭。最有可能的是锄奢，100 個區(qū)間中有大約 95 個將是良好的：它們將包含參數(shù)。

因為它們有較大的重疊剧腻，所以很難在橫軸上顯示所有的區(qū)間 - 畢竟拘央，它們都試圖估計相同的參數(shù)。下圖通過豎直堆疊恕酸，在相同軸域上展示的每個區(qū)間堪滨。縱軸簡單地是重復(fù)的序號蕊温，區(qū)間從中生成袱箱。

紅線是參數(shù)所在的位置。良好的區(qū)間覆蓋了參數(shù)义矛；通常有大約 95 個发笔。

如果一個區(qū)間不能覆蓋這個參數(shù)，就是個糟糕的事情凉翻。在這個地方了讨，你可以看到紅線周圍的“亮光”。他們中只有很少 - 通常是大約 5 個 - 但是他們確實存在制轰。

任何基于抽樣的方法都有可能脫線前计。基于隨機(jī)抽樣的方法的優(yōu)點是垃杖，我們可以量化它們可能脫線的頻率徐鹤。

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/11-8.png

為了總結(jié)模擬所示的內(nèi)容忙上，假設(shè)你通過以下過程來估計總體中位數(shù)：

從總體中隨機(jī)抽取一個大樣本乱豆。
自舉你的隨機(jī)樣本躺盛，并從新的隨機(jī)樣本中獲取估計量。
重復(fù)上述步驟數(shù)千次彩库，并獲得數(shù)千個估計量肤无。
挑選所有估計量的“中間 95％”的區(qū)間。
這給了你一個估計量的區(qū)間『眨現(xiàn)在宛渐，如果重復(fù)整個過程 100 次，會得到 100 個區(qū)間，那么 100 個區(qū)間中的大約 95 個將包含總體的參數(shù)窥翩。

換句話說畴蹭，95% 的時間內(nèi)，這個估計過程捕獲了參數(shù)鳍烁。

你可以用一個不同的值代替 95%，只要它不是 100繁扎。假設(shè)你用 80% 代替了 95%幔荒，并保持樣本大小為 500。那么你的估計量的區(qū)間將比我們這里的模擬要短梳玫，因為“中間 80％”是比“中間 95％”更小的范圍爹梁。只有大約 80% 的區(qū)間將包含參數(shù)。

置信區(qū)間

我們已經(jīng)開發(fā)了一種方法提澎，通過使用隨機(jī)抽樣和自舉來估計參數(shù)姚垃。我們的方法產(chǎn)生一個估計區(qū)間，來解釋隨機(jī)樣本的機(jī)會變異盼忌。通過提供一個估計區(qū)間而不是一個估計量积糯，我們給自己一些回旋的余地。

在前面的例子中谦纱，我們看到我們的估計過程在 95% 的時間內(nèi)產(chǎn)生了一個良好的區(qū)間看成，一個“良好”的區(qū)間就是包含這個參數(shù)的區(qū)間。對于這個過程的結(jié)果很好跨嘉，我們說我們有 95% 的置信度（信心）川慌。我們的估計區(qū)間稱為參數(shù)的 95% 置信區(qū)間，95% 稱為區(qū)間的置信度祠乃。

前一個例子中的情況有點不尋常梦重。因為我們碰巧知道參數(shù)的值，所以我們能夠檢查一個區(qū)間是好還是不好亮瓷，這反過來又幫助我們看到琴拧，我們的估計過程每 100 次中有 95 次捕獲了參數(shù)。

但通常情況下寺庄，數(shù)據(jù)科學(xué)家不知道參數(shù)的值艾蓝。這就是他們首先想要估計的原因。在這種情況下斗塘，他們通過使用一些方法赢织，類似我們開發(fā)的方法，獲得未知參數(shù)的估計區(qū)間馍盟。由于統(tǒng)計理論于置，和我們所看到的演示，數(shù)據(jù)科學(xué)家可以確信贞岭，他們產(chǎn)生區(qū)間的過程八毯，會以已知百分比的幾率搓侄，產(chǎn)生一個良好的區(qū)間。

總體中位數(shù)的置信區(qū)間：自舉百分位數(shù)方法

現(xiàn)在我們使用自舉法來估計未知總體的中位數(shù)话速。 數(shù)據(jù)來自大型醫(yī)院系統(tǒng)中的新生兒樣本; 我們將把它看作是一個簡單的隨機(jī)樣本讶踪，雖然抽樣分多個階段完成。 Deborah Nolan 和 Terry Speed 的 Stat Labs 擁有一個大數(shù)據(jù)集的詳細(xì)信息泊交，這個樣本是從中抽取的乳讥。

baby表中包含以下母嬰偶對的數(shù)量：嬰兒的出生體重（盎司），孕期天數(shù)廓俭，母親的年齡云石，母親身高（英寸），孕期體重（磅）研乒，母親是否在孕期吸煙汹忠。

baby = Table.read_table('baby.csv')
baby

（省略了 1164 行）

出生體重是新生兒健康的一個重要因素 - 較小的嬰兒比較大的嬰兒在初期需要更多的醫(yī)療護(hù)理。 因此雹熬，在嬰兒出生前估計出生體重是有幫助的宽菜。 一種方法是檢查出生體重和懷孕天數(shù)之間的關(guān)系。

這種關(guān)系的一個簡單的衡量標(biāo)準(zhǔn)是出生體重與懷孕天數(shù)的比值橄唬。ratios表包含baby的前兩列赋焕，以及一列ratios。 這一列的第一個條目按以下方式計算：

https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B120%7E%5Cmbox%7Bounces%7D%7D%7B284%7E%5Cmbox%7Bdays%7D%7D%20%7E%5Capprox%20%7E%200.4225%7E%20%5Cmbox%7Bounces%20per%20day%7D

ratios = baby.select('Birth Weight', 'Gestational Days').with_column(
    'Ratio BW/GD', baby.column('Birth Weight')/baby.column('Gestational Days')
)
ratios

| Birth Weight | Gestational Days | Ratio BW/GD |
| --- | --- | --- | --- |
| 120 | 284 | 0.422535 |
| 113 | 282 | 0.400709 |
| 128 | 279 | 0.458781 |
| 108 | 282 | 0.382979 |
| 136 | 286 | 0.475524 |
| 138 | 244 | 0.565574 |
| 132 | 245 | 0.538776 |
| 120 | 289 | 0.415225 |
| 143 | 299 | 0.478261 |
| 140 | 351 | 0.39886 |

（省略了 1164 行）

ratios.select('Ratio BW/GD').hist()

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/11-9.png

一眼望去仰楚，直方圖看起來相當(dāng)對稱隆判，密度在 4opd 到 4.5opd 的區(qū)間內(nèi)是最大的。 但仔細(xì)一看僧界，就可以看出一些比例相當(dāng)大侨嘀。 比率的最大值剛好超過 0.78opd，幾乎是通常值的兩倍捂襟。

ratios.sort('Ratio BW/GD', descending=True).take(0)

中位數(shù)提供了通常比例的感覺咬腕，因為它不受非常大或非常小的比例的影響。 樣本（比值）的中位數(shù)約為 0.429opd葬荷。

np.median(ratios.column(2))
0.42907801418439717

但是總體中位數(shù)是多少涨共？ 我們不知道，所以我們會估計它宠漩。

我們的方法將與前一節(jié)完全相同举反。 我們將自舉樣本 5000 次，結(jié)果是 5000 個中位數(shù)的估計量扒吁。 我們 95% 的置信區(qū)間將是我們所有估計量的“中間 95%”火鼻。

回憶前一節(jié)定義的bootstrap_median函數(shù)。 我們將調(diào)用這個函數(shù)，并構(gòu)造總體（比值）中位數(shù)的 95% 置信區(qū)間魁索。請記住融撞，ratios表包含來自我們的原始樣本的相關(guān)數(shù)據(jù)。

def bootstrap_median(original_sample, label, replications):

    """Returns an array of bootstrapped sample medians:
    original_sample: table containing the original sample
    label: label of column containing the variable
    replications: number of bootstrap samples
    """

    just_one_column = original_sample.select(label)
    medians = make_array()
    for i in np.arange(replications):
        bootstrap_sample = just_one_column.sample()
        resampled_median = percentile(50, bootstrap_sample.column(0))
        medians = np.append(medians, resampled_median)

    return medians
# Generate the medians from 5000 bootstrap samples
bstrap_medians = bootstrap_median(ratios, 'Ratio BW/GD', 5000)
# Get the endpoints of the 95% confidence interval
left = percentile(2.5, bstrap_medians)
right = percentile(97.5, bstrap_medians)

make_array(left, right)
array([ 0.42545455,  0.43262411])

95% 置信區(qū)間是 0.425opd 到 0.433opd粗蔚。 我們估計的總體（出生重量與懷孕天數(shù)的比值）中位數(shù)尝偎，在 0.425opd 到 0.433opd 的范圍內(nèi)。

基于原始樣本的估計量 0.429 恰好在區(qū)間兩端的中間鹏控，盡管這通常不是真的冬念。

為了使我們的結(jié)果可視化，讓我們畫出我們自舉的中位數(shù)的經(jīng)驗直方圖牧挣，并將置信區(qū)間置于橫軸上。

resampled_medians = Table().with_column(
    'Bootstrap Sample Median', bstrap_medians
)
resampled_medians.hist(bins=15)
plots.plot(make_array(left, right), make_array(0, 0), color='yellow', lw=8);

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/11-10.png

這個直方圖和區(qū)間就像我們在前一節(jié)中繪制的直方圖和區(qū)間醒陆，只有一個很大的區(qū)別 - 沒有顯示參數(shù)的紅點瀑构。 我們不知道這個點應(yīng)該在哪里，或者它是否在區(qū)間中刨摩。

我們只是有一個估計區(qū)間寺晌。 這是估計量的 95% 置信區(qū)間，因為生成它的過程在 95% 的時間中產(chǎn)生了良好的區(qū)間澡刹。 那肯定是在隨機(jī)猜測呻征！

請記住，這個區(qū)間是一個大約 95% 的置信區(qū)間罢浇。 計算中涉及到很多近似值陆赋。 近似值并不差，但并不準(zhǔn)確嚷闭。

總體均值的置信區(qū)間：自舉百分位數(shù)方法

我們?yōu)橹形粩?shù)所做的事情也可以用于均值攒岛。 假設(shè)我們想估計總體中的母親的平均年齡。 自然估計量是樣本中的母親的平均年齡胞锰。 這是他們的年齡分布灾锯，他們的平均年齡大約是 27.2 歲。

baby.select('Maternal Age').hist()

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/11-11.png

np.mean(baby.column('Maternal Age'))
27.228279386712096

母親的平均年齡是多少嗅榕？ 我們不知道這個參數(shù)的值顺饮。

我們用自舉法來估計未知參數(shù)。 為此凌那，我們將編輯bootstrap_median的代碼兼雄，而不是定義函數(shù)bootstrap_mean。 代碼是相同的案怯，除了統(tǒng)計量是代替中位數(shù)的均值君旦，并且收集在一個名為means而不是medians的數(shù)組中。

def bootstrap_mean(original_sample, label, replications):

    """Returns an array of bootstrapped sample means:
    original_sample: table containing the original sample
    label: label of column containing the variable
    replications: number of bootstrap samples
    """

    just_one_column = original_sample.select(label)
    means = make_array()
    for i in np.arange(replications):
        bootstrap_sample = just_one_column.sample()
        resampled_mean = np.mean(bootstrap_sample.column(0))
        means = np.append(means, resampled_mean)

    return means
# Generate the means from 5000 bootstrap samples
bstrap_means = bootstrap_mean(baby, 'Maternal Age', 5000)

# Get the endpoints of the 95% confidence interval
left = percentile(2.5, bstrap_means)
right = percentile(97.5, bstrap_means)

make_array(left, right)
array([ 26.89778535,  27.55962521])

95% 置信區(qū)間是約 26.9 歲到約 27.6 歲。 也就是說金砍，我們估計的母親的平均年齡在 26.9 歲到 27.6 歲之間局蚀。

注意兩端距原始樣本均值 27.2 歲的距離。 樣本量非常大 - 1174 個母親 - 所以樣本均值變化不大恕稠。 我們將在下一章進(jìn)一步探討這個觀察琅绅。

下面顯示了 5000 個自舉均值的經(jīng)驗直方圖，以及總體均值的 95% 置信區(qū)間鹅巍。

resampled_means = Table().with_column(
    'Bootstrap Sample Mean', bstrap_means
)
resampled_means.hist(bins=15)
plots.plot(make_array(left, right), make_array(0, 0), color='yellow', lw=8);

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/11-12.png

原始樣本的均值（27.23 歲）同樣接近區(qū)間中心千扶。 這并不奇怪，因為每個自舉樣本都是從相同的原始樣本中抽取的骆捧。 自舉樣本的均值大約對稱分布原始樣本（從其中抽扰煨摺）的均值的兩側(cè)。

還要注意敛苇，即使所采樣的年齡的直方圖完全不是對稱的妆绞，二次樣本的均值的經(jīng)驗直方圖也是大致對稱的鐘形：

baby.select('Maternal Age').hist()

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/11-13.png

這是概率統(tǒng)計的中心極限定理的結(jié)果。 在后面的章節(jié)中枫攀，我們將看到這個定理是什么括饶。

80% 置信區(qū)間

你可以使用自舉法來構(gòu)建任意水平的置信區(qū)間。 例如来涨，要為總體中的平均年齡構(gòu)建 80% 置信區(qū)間图焰，可以選取二次樣本的均值的“中間 80%”。 所以你會希望為兩個尾巴的每一個分配 10%蹦掐，因此端點是二次樣本的均值的第 10 和第 90 個百分位數(shù)技羔。

left_80 = percentile(10, bstrap_means)
right_80 = percentile(90, bstrap_means)
make_array(left_80, right_80)
array([ 27.01192504,  27.439523  ])
resampled_means.hist(bins=15)
plots.plot(make_array(left_80, right_80), make_array(0, 0), color='yellow', lw=8);

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/11-14.png

這個 80% 置信區(qū)間比 95% 置信區(qū)間要短得多。 它只是約定 27.0 歲到約 27.4 歲卧抗。 雖然這是估計量的較窄區(qū)間堕阔，你知道這個過程在 80% 的時間內(nèi)產(chǎn)生良好的區(qū)間。

之前過程產(chǎn)生了較寬的區(qū)間颗味，但是我們對產(chǎn)生它的過程擁有更高的置信度超陆。

為了以較高的置信度獲得較窄的置信區(qū)間，你必須從較大的樣本開始浦马。 我們將在下一章看到為什么时呀。

總體比例的置信區(qū)間：自舉百分位數(shù)方法

在樣本中，39% 的母親在懷孕期間吸煙晶默。

baby.where('Maternal Smoker', are.equal_to(True)).num_rows/baby.num_rows
0.3909710391822828

以下對觀察很實用谨娜，這個比例也可以通過數(shù)組操作來計算：

smoking = baby.column('Maternal Smoker')
np.count_nonzero(smoking)/len(smoking)
0.3909710391822828

譯者注：

np.count_nonzero(arr)等價于np.sum(arr != 0)。

總體中有百分之多少的母親在懷孕期間吸煙磺陡？ 這是一個未知的參數(shù)趴梢，我們可以通過自舉置信區(qū)間來估計漠畜。 這個過程中的步驟與我們用來估計總體均值和中位數(shù)的步驟相似。

我們將首先定義一個函數(shù)bootstrap_proportion坞靶，返回一個自舉樣本的比例的數(shù)組憔狞。 我們再一次通過編輯bootstrap_median的定義來實現(xiàn)它。 計算中唯一的變化是用二次樣本的吸煙者比例代替中位數(shù)彰阴。 該代碼假定數(shù)據(jù)列由布爾值組成瘾敢。 其他的改變只是數(shù)組的名字，來幫助我們閱讀和理解我們的代碼尿这。

def bootstrap_proportion(original_sample, label, replications):

    """Returns an array of bootstrapped sample proportions:
    original_sample: table containing the original sample
    label: label of column containing the Boolean variable
    replications: number of bootstrap samples
    """

    just_one_column = original_sample.select(label)
    proportions = make_array()
    for i in np.arange(replications):
        bootstrap_sample = just_one_column.sample()
        resample_array = bootstrap_sample.column(0)
        resampled_proportion = np.count_nonzero(resample_array)/len(resample_array)
        proportions = np.append(proportions, resampled_proportion)

    return proportions

讓我們使用bootstrap_proportion來構(gòu)建總體的母親吸煙者百分比的 95% 置信區(qū)間簇抵。 該代碼類似于均值和中位數(shù)的相應(yīng)代碼。

# Generate the proportions from 5000 bootstrap samples
bstrap_props = bootstrap_proportion(baby, 'Maternal Smoker', 5000)

# Get the endpoints of the 95% confidence interval
left = percentile(2.5, bstrap_props)
right = percentile(97.5, bstrap_props)

make_array(left, right)
array([ 0.36286201,  0.41908007])

置信區(qū)間是 36% 到 42%射众。原始樣本的百分比 39% 非常接近于區(qū)間的中心碟摆。你可以在下面看到：

resampled_proportions = Table().with_column(
    'Bootstrap Sample Proportion', bstrap_props
)
resampled_proportions.hist(bins=15)
plots.plot(make_array(left, right), make_array(0, 0), color='yellow', lw=8);

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/11-15.png

自舉法的注意事項

自舉法是一個優(yōu)雅而強大的方法。在使用之前叨橱，記住一些要點非常重要焦履。

以大型隨機(jī)樣本開始。如果你不這樣做雏逾，該方法可能無法正常工作。它的成功基于大型隨機(jī)樣本（因此也從樣本中重采樣）郑临。平均定律說栖博，如果隨機(jī)樣本很大，這很可能是真的厢洞。

為了近似統(tǒng)計量的概率分布仇让，最好多次復(fù)制重采樣過程。數(shù)千次重復(fù)將產(chǎn)生樣本中位數(shù)分布的正確近似躺翻，特別是如果總體分布存在峰值并且不是非常不對稱的話丧叽。在我們的例子中，我們使用了 5000 次重復(fù)公你，但一般會推薦 10000 次踊淳。

自舉百分位數(shù)方法適用于基于大型隨機(jī)樣本，估計總體中位數(shù)或均值陕靠。但是迂尝，它也有其局限性，所有的估計方法也是如此剪芥。例如垄开，在以下情況下，它預(yù)期沒有效果税肪。

• 目標(biāo)是估計總體中的最小值或最大值溉躲，或非常低或非常高的百分位數(shù)榜田，或受總體中稀有元素影響較大的參數(shù)。
• 統(tǒng)計量的概率分布不是近似鐘形的锻梳。
• 原始樣本非常小箭券，比如 10 或 15。

使用置信區(qū)間

def bootstrap_median(original_sample, label, replications):

    """Returns an array of bootstrapped sample medians:
    original_sample: table containing the original sample
    label: label of column containing the variable
    replications: number of bootstrap samples
    """

    just_one_column = original_sample.select(label)
    medians = make_array()
    for i in np.arange(replications):
        bootstrap_sample = just_one_column.sample()
        resampled_median = percentile(50, bootstrap_sample.column(0))
        medians = np.append(medians, resampled_median)

    return medians
def bootstrap_mean(original_sample, label, replications):

    """Returns an array of bootstrapped sample means:
    original_sample: table containing the original sample
    label: label of column containing the variable
    replications: number of bootstrap samples
    """

    just_one_column = original_sample.select(label)
    means = make_array()
    for i in np.arange(replications):
        bootstrap_sample = just_one_column.sample()
        resampled_mean = np.mean(bootstrap_sample.column(0))
        means = np.append(means, resampled_mean)

    return means
def bootstrap_proportion(original_sample, label, replications):

    """Returns an array of bootstrapped sample proportions:
    original_sample: table containing the original sample
    label: label of column containing the Boolean variable
    replications: number of bootstrap samples
    """

    just_one_column = original_sample.select(label)
    proportions = make_array()
    for i in np.arange(replications):
        bootstrap_sample = just_one_column.sample()
        resample_array = bootstrap_sample.column(0)
        resampled_proportion = np.count_nonzero(resample_array)/len(resample_array)
        proportions = np.append(proportions, resampled_proportion)

    return proportions

置信區(qū)間只有一個目的 - 根據(jù)隨機(jī)樣本中的數(shù)據(jù)估計未知參數(shù)唱蒸。在最后一節(jié)中邦鲫，我們說區(qū)間(36%, 42%)是總體中吸煙者百分比的約 95% 的置信區(qū)間。正式的表述方式為神汹，據(jù)我們估計庆捺，總體中的吸煙者比例在 36% 到 42% 之間，我們的估計過程在 95% 的時間內(nèi)是正確的屁魏。

克制住將置信區(qū)間用于其他目的的沖動滔以，這很重要。例如氓拼，回想一下你画，我們計算了區(qū)間(26.9 yr, 27.6 yr)，作為母親平均年齡的約 95% 的置信區(qū)間桃漾。區(qū)間的一個令人驚訝的常見誤用是得出這樣的結(jié)論坏匪，約 95% 的女性在 26.9 歲至 27.6 歲之間。你不需要怎么了解置信區(qū)間撬统，來查看這是不是正確的 - 你不會預(yù)計 95% 的母親的年齡在這個較小的范圍內(nèi)适滓。實際上，抽樣年齡的直方圖顯示出相當(dāng)多的變化恋追。

baby = Table.read_table('baby.csv')
baby.select('Maternal Age').hist()

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/11-16.png

抽樣年齡的一小部分在(26.9, 27.6)的區(qū)間內(nèi)凭迹，你可能會預(yù)計總體中的百分比很小。 區(qū)間只是估計一個數(shù)字：總體中所有年齡的平均值苦囱。

但是嗅绸，除了僅僅告訴我們這個參數(shù)有多大之外，用置信區(qū)間來估計一個參數(shù)確實有重要的用處撕彤。

使用置信區(qū)間來檢驗假設(shè)

我們總體（年齡）均值的 95% 置信區(qū)間是 26.9 歲到 27.6 歲鱼鸠。假設(shè)有人想要測試以下假設(shè)：

原假設(shè)。人口的平均年齡是 30 歲羹铅。

備選假設(shè)瞧柔。人口的平均年齡不是 30 歲。

那么睦裳，如果你使用 5% 的截斷值作為 P 值造锅，則會拒絕原假設(shè)。這是因為總體平均值 30 不在 95% 置信區(qū)間內(nèi)廉邑。在 5% 的顯著性水平上哥蔚，30 對于人口平均值并不合理倒谷。

置信區(qū)間的使用是置信區(qū)間和檢驗之間二元性結(jié)果：如果你正在測試總體平均值是否是特定值 x，并且你使用的 5% 截斷值作為 P 值糙箍，那么如果 x 不在平均值的 95% 置信區(qū)間內(nèi)渤愁，你將拒絕原零假設(shè)。

這可以由統(tǒng)計理論來確定深夯。在實踐中抖格，它只是歸結(jié)為，檢查原假設(shè)中指定的值是否在置信區(qū)間內(nèi)咕晋。

如果你使用 1% 的截斷值作為 P 值雹拄，你必須檢查，原假設(shè)中指定的值是否在總體均值的 99% 置信區(qū)間內(nèi)掌呜。

粗略地說滓玖，如果樣本量很大，這些陳述也適用于總體比例质蕉。

雖然我們現(xiàn)在有一種方法势篡，使用置信區(qū)間來檢驗一種特定假設(shè)，但是你可能想知道模暗，測試總體（年齡）的均值是否等于 30 的意義禁悠。實際上，這個意義并不清楚兑宇。但是在某些情況下碍侦，對這種假設(shè)的檢驗既自然又有用。

我們將在數(shù)據(jù)的背景下來研究它顾孽，這些數(shù)據(jù)是霍奇金病治療的隨機(jī)對照試驗中收集的信息的子集”裙妫霍奇金病是一種通常影響年輕人的癌癥若厚。這種疾病是可以治愈的，但治療可能非常艱難蜒什。該試驗的目的是找出治療癌癥的劑量测秸，并且將對患者的不利影響最小化。

這張表格包含治療對 22 名患者肺部的影響的數(shù)據(jù)灾常。這些列是：

• 身高（厘米）
• 覆蓋物輻射的測量（頸部霎冯，胸部，手臂下）
• 化療的測量
• 基線下钞瀑，即在治療開始時的肺健康得分沈撞；較高的分?jǐn)?shù)對應(yīng)于更健康的肺
• 治療后 15 個月，相同的肺的健康得分

hodgkins = Table.read_table('hodgkins.csv')
hodgkins

（省略了 12 行）

我們將比較基準(zhǔn)和 15 個月的得分雕什。 由于每行對應(yīng)一個病人缠俺，我們說基線得分的樣本和 15 個月得分的樣本是成對的 - 它們不是每組 22 個值的兩組显晶，而是 22 對值，每個病人一個壹士。

一眼望去磷雇，你可以看到，15 個月的得分往往低于基線得分 - 抽樣患者的肺似乎在治療后 15 個月更差躏救。 這個由drop列主要是正值來證實唯笙，它是基線得分減去 15 個月的得分。

hodgkins = hodgkins.with_column(
    'drop', hodgkins.column('base') - hodgkins.column('month15')
)
hodgkins

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/11-17.png

（省略了 12 行）

hodgkins.select('drop').hist(bins=np.arange(-20, 81, 20))

np.mean(hodgkins.column('drop'))
28.615909090909096

但是盒使，這可能是機(jī)會變異的結(jié)果嗎崩掘？ 似乎并不如此，但數(shù)據(jù)來自隨機(jī)樣本忠怖。 難道在整個人群中呢堰，平均下降值只有 0 嗎？

為了回答這個問題凡泣，我們可以設(shè)定兩個假設(shè)：

原假設(shè)：總體（下降值）均值為 0枉疼。

備選假設(shè)：總體（下降值）均值不為 0。

為了使用 1% 的截斷值作為 P 值來驗證這個假設(shè)鞋拟，讓我們?yōu)榭傮w（下降值）均值構(gòu)建近似 99% 置信區(qū)間骂维。

bstrap_means = bootstrap_mean(hodgkins, 'drop', 10000)

left = percentile(0.5, bstrap_means)
right = percentile(99.5, bstrap_means)

make_array(left, right)
array([ 17.25045455,  40.60136364])
resampled_means = Table().with_column(
    'Bootstrap Sample Mean', bstrap_means
)
resampled_means.hist()
plots.plot(make_array(left, right), make_array(0, 0), color='yellow', lw=8);

https://gitee.com/wizardforcel/data8-textbook-zh/raw/master/img/11-18.png

總體均值的 99% 置信區(qū)間是約 17 到約 40。區(qū)間不包含 0贺纲。因此航闺，我們拒絕原假設(shè)。

但是請注意猴誊，我們所做的不僅僅是簡單得出結(jié)論：總體均值不是 0潦刃，我們估計了均值的幅度是多大。這比僅僅說“不是 0”更有用懈叹。

對于準(zhǔn)確性的注解：我們的置信區(qū)間相當(dāng)寬泛乖杠，主要有兩個原因：

• 置信水平很高（99％）。
• 與我們之前的例子相比澄成，樣本量相對較小胧洒。

在下一章中，我們將研究樣本大小如何影響準(zhǔn)確性墨状。我們還將研究卫漫，樣本均值的經(jīng)驗分布為何經(jīng)常出現(xiàn)鐘形，盡管底層數(shù)據(jù)的分布根本不是鐘形的肾砂。

尾注

一個領(lǐng)域的術(shù)語通常來自該領(lǐng)域的主要研究人員列赎。首先提出自舉技術(shù)的 Brad Efron 用了一個美國血統(tǒng)的術(shù)語。中國統(tǒng)計學(xué)家不甘示弱镐确，提出了自己的方法粥谬。