概率論是一門研究可能性的學(xué)科谆棱。概率論最大的作用在于快压，幫助人類從宏觀上認識復(fù)雜事物中的客觀規(guī)律圆仔，并且利用這種規(guī)律來指導(dǎo)人類社會的生產(chǎn)、決策蔫劣、行為坪郭。因此，概率論在大學(xué)課程的重要性便由此凸顯脉幢。
概率論是一門建立在嚴謹邏輯基礎(chǔ)上的一門學(xué)科歪沃，因此，它不同于以往初高中對概率的定性認識鸵隧。概率論最重要的邏輯基礎(chǔ)是概率論的公理化定義绸罗，通過引出一系列基本定義，從而推導(dǎo)出概率論整個的學(xué)科圖景豆瘫，這是概率論的精髓珊蟀。
下面引出概率論的公理化定義
概率論的公理化定義
1. 相關(guān)基本概念：
我們首先定義以下概念：
- 隨機實驗：對于一個隨機現(xiàn)象的觀察或者試驗，如果滿足三個條件（相同條件下可重復(fù)外驱、結(jié)果預(yù)知育灸、結(jié)果不確定性），則稱該試驗為「隨機試驗」昵宇。記為
磅崭。
- 樣本點與樣本空間：樣本點即試驗的每一個結(jié)果，樣本空間即為所有樣本點構(gòu)成的集合瓦哎。樣本點是集合的元素砸喻，而樣本空間是集合。
- 隨機事件：在一個隨機試驗中可能發(fā)生或者可能不發(fā)生的事件蒋譬「畹海可以理解為樣本空間的子集。（空集也是一種子集犯助，即對應(yīng)為不可能事件）
- 基本事件：由一個樣本點所對應(yīng)的事件成為「基本事件」癣漆。
至此，我們將試驗剂买、事件等概念與集合的概念相聯(lián)系惠爽，顯然，我們會有以下的運算性質(zhì)：
2. 事件之間的關(guān)系以及運算（本質(zhì)為集合運算）
- 包含：若事件A發(fā)生瞬哼，則事件B必然發(fā)生婚肆。記作
。
- 相等：若
倒槐，則為相等旬痹。記作
。
- 并:
。
- 交:
两残，或者記作
（AB的積）永毅。
- 補: 又稱對立（complementary）事件，或者逆事件人弓。記作
- 互不相容：事件A與事件B不能同時發(fā)生沼死，即稱互不相容。
- 差：記作
崔赌，表示事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生的事件意蛀。
經(jīng)過簡單的推導(dǎo)可以得出以下運算性質(zhì)：
3. 事件的運算性質(zhì)
- 交換律
- 結(jié)合律
- 分配律
,
- 對偶律
經(jīng)過以上鋪墊健芭，我們可以引出頻率县钥、概率的定義：
4. 頻率 (frequency)
定義：設(shè)隨機事件A在n次重復(fù)試驗中發(fā)生了m次，則稱比值
為事件A在n次重復(fù)試驗中發(fā)生的「頻率」慈迈。
頻率越大若贮，事件A發(fā)生就越頻繁，可以用頻率來預(yù)測事件A的發(fā)生的可能性大小痒留。
當重復(fù)試驗次數(shù)越多谴麦，n越大時，頻率越逐漸趨于穩(wěn)定于某個常數(shù)伸头。
5. 概率的公理化定義（前蘇聯(lián) 柯爾莫哥洛夫 首次提出）
設(shè)是隨機試驗
的樣本空間匾效，對于每個事件
，賦予一個實數(shù)恤磷，記為
面哼，稱為事件A的「概率」，如果集合函數(shù)
滿足一下三個條件：
- 非負性扫步，任意事件A都有
- 規(guī)范性精绎，
- 可列可加性，兩兩互不相容的（無限個）事件锌妻，都有
理解：概率的本質(zhì)一種映射，是一種將每個事件映射給一個實數(shù)的映射旬牲。并且滿足以上三個性質(zhì)仿粹。
另外，注意一個常記的技巧：
由以上概率的公理化定義推導(dǎo)出的性質(zhì):
- 不可能事件的概率為0
- 有限可加性
- 逆事件有
- 減法公式
- 單調(diào)性
- 容斥原理
原茅，可推廣至多個事件
古典概型與幾何概型
古典概型是概率論的經(jīng)典研究內(nèi)容吭历。
古典概型是指，如果一個隨機試驗擂橘，其中包含有限個樣本點晌区，并且所有樣本點的概率都相等，那么我們就稱該隨機試驗為古典概型。而幾何概型與以上定義基本相同朗若，只不過包含了無限個樣本點（對于幾何圖形來說恼五，一塊區(qū)域也包含了無窮個點）
我們很容易就能夠得到古典概型的計算公式（由可列可加性）
關(guān)于古典概型的具體例題與技巧在此不再贅述。
如何定性認識古典概型的概率哭懈？我們可以認為灾馒，這種概率代表了一個試驗中事件發(fā)生的可能性，可以認為是“ 進行無窮次試驗之后事件發(fā)生頻率的趨近值 ”遣总。利用這種可能性睬罗，我們可以最優(yōu)化實際的決策。
條件概率與乘法公式
條件概率的引入旭斥，是為了解決在某事件已經(jīng)發(fā)生（或者指定某條件）的情況下具體事件的概率容达。顯然地，計算條件概率垂券，可以認為是縮小了樣本空間后的概率計算花盐。為了滿足某指定條件，我們需要排除掉不符合條件的樣本點圆米，之后再根據(jù)符合條件的樣本點卒暂，再在條件事件下的樣本集合進行古典概型的計算。這一過程娄帖，實質(zhì)上就是條件概率的本質(zhì)也祠。但是我們?yōu)榱朔奖悖瑒t利用了結(jié)論進行定義近速。注意：這只是為了方便诈嘿。
我們定義條件概率，就是指在樣本空間中的事件,
削葱，則
就是事件A在事件B條件下的「條件概率」奖亚。在該定義下，要求了條件的概率不為0析砸。
條件概率是一種「概率」嗎昔字？答案是肯定的，因為顯然首繁，條件概率滿足了概率的三條基本公理作郭，即非負性、規(guī)范性弦疮、可加性夹攒。因此條件概率也是一種概率，概率的所有性質(zhì)都適用于條件概率胁塞。
由條件概率公式可以直接得到乘法公式：若咏尝，則有
乘法概率可以進行推廣到n個乘積的情況压语。
全概率公式
全概率公式是為了解決計算復(fù)雜事件概率的一種方法。如果說對于一個事件
的計算較為困難编检，但是如果對于事件B的概率能夠分情況討論（或者說胎食，能夠分成不同的子集），那么就可以利用全概率公式進行計算
全概率公式：如果對于事件 蒙谓，如果我們有互不相容斥季、但是其總和為總樣本空間的一系列事件
，那么就可以利用這種方式計算事件
的概率：
全概率公式的精髓就在于：分情況討論累驮，建立某種因果關(guān)系酣倾，從而簡化分解問題。
什么是建立因果關(guān)系谤专，這關(guān)系到具體問題的語境問題躁锡。例如產(chǎn)品的次品率問題，抽取的某產(chǎn)品是否為次品置侍，與不同工廠有關(guān)映之，這就屬于一種因果關(guān)系。實際上該問題的基本事件是什么蜡坊？是 [ 工廠種類杠输，是否為次品 ] 的二元對。概率論是沒有事件之間的因果概念的秕衙，但是我們只是利用語境建立事件的因果關(guān)系蠢甲，從而更好地對“果事件”進行分情況討論。
貝葉斯公式
對于一個隨機試驗据忘，若有事件
鹦牛，并且滿足
事件概率大于0勇吊， 并且事件
是樣本空間的一個分割曼追，那么就有
觀察貝葉斯公式，我們可以發(fā)現(xiàn)它就是全概率公式與條件概率的推導(dǎo)結(jié)論而已汉规。
