概率論與數(shù)理統(tǒng)計

第一章 隨機(jī)事件及其概率

1.1隨機(jī)事件

一、隨機(jī)現(xiàn)象?

并不總是出現(xiàn)相同的結(jié)果讥此，結(jié)果并不只一個悔醋，哪個結(jié)果出現(xiàn)是未知的摩窃，但具有統(tǒng)計規(guī)律性。

二芬骄、隨機(jī)試驗和隨機(jī)事件

隨機(jī)試驗：實驗在在相同條件下可以重復(fù)的進(jìn)行猾愿，且實驗結(jié)果不可預(yù)言鹦聪，用字母E表示

三、樣本空間

試驗E能出現(xiàn)的結(jié)果構(gòu)成的集合稱為該事件的樣本空間蒂秘，用字母Ω表示

四椎麦、事件之間的關(guān)系和運算

1.包含關(guān)系，A\subset B材彪，事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生

2.相等關(guān)系观挎，A=B，事件A段化、B等價

3.事件的并嘁捷，A\cup B，事件A和B的和显熏，在一次試驗中事件A雄嚣、B至少有一個發(fā)生

4.事件的交，A\cap B喘蟆，事件A和B的交缓升，在一次試驗中試驗A、B同時發(fā)生

5.不相容蕴轨，AB=\varnothing,在一次試驗中A港谊、B不能同時發(fā)生

6.若A\cup B=\Omega ,A\cap B=\varnothing,則A、B構(gòu)成對立事件橙弱，A歧寺、B二者在一次試驗至少發(fā)生一個，且不同時發(fā)生棘脐。對立事件一定不相容斜筐，但不相容事件不一定對立。

7.事件的差蛀缝，A-B，在一次試驗中A發(fā)生B不發(fā)生

交換律嗤练，結(jié)合律潭苞，分配律真朗，德摩根律

1.2隨機(jī)事件的概率

一、事件的頻率

二蝗碎、頻率的公理化定義

頻率的特性：非負(fù)蹦骑，可加（多個不相容事件和的頻率等于各個事件頻率的和），規(guī)范性（必然事件發(fā)生概率為1）

P（\bigcup _{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^nP(A_i)-\sum_{1\leq i<j\leq n}P(A_iA_j)+\sum_{1\leq i<j<k\leq n}P(A_iA_jA_k)-...+(-1)^{n-1}P(\bigcup_{i=1}^nA_i)

奇加偶減

概率的減法公式

A\subset B边败，P(A-B)=P(A)-P(B）

1.3古典概率模型（等可能事件）

1.樣本空間含有有限多個基本事件笑窜，且每個事件出現(xiàn)的可能性相同

2.P（A）=\frac{\text{A包含的樣本點數(shù)}}{\text{樣本總點數(shù)}}

排列與組合公式

全排列：n！

重復(fù)排列（元素可重復(fù)取出登疗，有放回）：n^r（r為抽出的元素個數(shù)）

重復(fù)排列

選排列（有序的）：A_n^r

組合：C_n^r

3.加法原理：做一件事情排截，完成它有n類途徑，第一類途徑有M1種方法辐益，第二類途徑有M2種方法断傲，……，第n類途徑有Mn種方法智政，那么完成這件事情共有M1+M2+……+Mn種方法认罩。

4.常見模型

不放回抽樣：P（A_k)=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}(N個產(chǎn)品，M個次品女仰，不放回的取n個產(chǎn)品猜年，其中k個次品的概率）

放回抽樣：P(A_k)=\frac{C_n^kM^k(N-M)^{n-k}}{N^n}

盒子模型:P(A_n)=\frac{N!}{N^n(N-n)!}(n個不同的球放入N個盒子中，求恰有n個有一個球的盒子的概率）

配對模型：

記Ai為第i個人拿對了自己的帽子

則P=P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i),

1.4條件概率

P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)},在B發(fā)生的條件下疾忍，A發(fā)生的概率

條件概率也是概率，具有概率的一切性質(zhì)

全概率公式（已知原因求結(jié)果床三，多個原因?qū)е乱粋€結(jié)果）

貝葉斯公式（已知結(jié)果求原因）

P(A_i\mid B)=\frac{P(A_i)P(B\mid A_i)}{\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)P(B\mid A_i) }

明顯發(fā)現(xiàn)一罩，分母部分為全概率公式

本概率為后驗概率，即已知結(jié)果后反推的概率撇簿，和全概率公式中的先驗概率有所不同

1.5隨機(jī)事件的獨立性

P(AB)=P(A)P(B)聂渊，滿足本公式的兩個事件之間為獨立事件

A與B相互獨立的充要條件是\bar A和B，A和\bar B四瘫，\bar A和\bar B之間都相互獨立

本公式也可推廣到n個事件之間相互獨立

三個事件兩兩獨立無法推出三個事件之間相互獨立

第二章 隨機(jī)變量及其概率分布

2.1隨機(jī)變量

將每一次試驗的結(jié)果與唯一的實數(shù)對應(yīng)起來

2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)

1.F(x)=P(X\leq x)

分布函數(shù)的性質(zhì)

（1）0\leq F（x）\leq 1

（2）單調(diào)不降，x_1\leq x_2,F(x_1)\leq F(x_2)

（3）右連續(xù)饼暑，

2.3離散型隨機(jī)變量

一彰居、離散型隨機(jī)變量的分布律

列出離散型隨機(jī)變量X可能取的一切數(shù)值為x1，x2抬闯，x3...

稱P(X=x_k)=p_k,k=1,2,3...

為X的分布律，也可用表格表示

性質(zhì)：

p_k\geq 0,\sum_{k=1}^np_k=1

一個常用的等式c\sum_{k=1}^\infty \frac{p^k}{k}=c\sum_{k=1}^\infty\int_0^px^{k-1}dx

分布律與分布函數(shù)的關(guān)系F(x)=\sum_{x_k\leq x}P(X=x_k)=\sum_{x_k\leq x}p_k

二、常見的離散型隨機(jī)變量

（1）（0-1）分布

隨機(jī)變量X只有兩個取值肉微，不妨設(shè)為0和1

P(X=x)=p^x(1-p)^{n-x},x=0,1

(2)伯努利試驗，二項分布X\sim b(n,p)

P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}

定義：

每次試驗的條件相同且試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果為有限個

各次試驗的結(jié)果互不影響（相互獨立）劳曹，則稱這n次試驗是n次獨立試驗概型

當(dāng)（n+1）p是整數(shù)時，則n重伯努利實驗中有兩個最可能成功的次數(shù)（n+1）p-1和（n+1）p

當(dāng)不是整數(shù)時蜕劝，只有一個最可能成功的次數(shù)[（n+1）p]

泊松定理：

設(shè)λ>0是一常數(shù)，n是任意正整數(shù)婴削，設(shè)np_n=\lambda,則對于任意的非負(fù)整數(shù)k嗤朴，有：

\lim_{x\to \infty} C_n^kp_n^k(1-p_n)^{n-k}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

(3)泊松分布X\sim P(\lambda)

二項分布的極限分布，或許多隨機(jī)現(xiàn)象

P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2...

(4)超幾何分布X\sim (N,M,n)

P(X=k)=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n},k=0,1,2....,l=\min\text{{n,M}}

一般地，若盒子中有N個球坎背，其中有M個黑球得滤，從中不放回抽取n個球，令X表示取出的n個球中含有的黑球個數(shù)沮协，則X符合超幾何分布

（5）幾何分布?X\sim G(p)

P(X=k)=p(1-p)^{k-1},k=1,2...

在n次伯努利試驗中，試驗k次才得到第一次成功的機(jī)率行瑞。

（6）負(fù)二項分布?X\sim Nb(r,p)

P(X=k)=C_{k-1}^{r-1}p^r(1-P)^{k-r},k=r,r+1,r+2...

在n次伯努利試驗中，第r次成功出現(xiàn)在第k次試驗的機(jī)率洋魂。

2.4連續(xù)型隨機(jī)變量

一庄岖、連續(xù)型隨機(jī)變量的概念

F(x)=\int_{-∞}^{x}f(x)dx,-\infty<x<+\infty

其中f(x)為概率密度函數(shù)隅忿，F(xiàn)(x)為分布函數(shù)

概率密度函數(shù)f(x)有這樣的性質(zhì)：

（1）f(x)\geq 0,-\infty<x<+\infty

（2)\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1

? ?(3)當(dāng)f(x)在x的鄰域連續(xù)時优烧，f(x)=\frac{dF(x)}{dx}

其中第二條性質(zhì)常被用來計算概率密度函數(shù)中的未知數(shù)

一個特殊的積分

\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^{2}}dx=\sqrt{\pi}

將被積函數(shù)中形如上式的部分分離出來，即可簡化運算

二、幾個重要的連續(xù)型隨機(jī)變量

（1）均勻分布

X\sim U(a,b)

f(x)=\left\{\begin{aligned}&\frac{1}{b-a},&a\leq x \leq b \\&0,&\text{其他}\end{aligned}\right.

F(x)=\left\{\begin{aligned}&0,&x<a\\&\frac{x-a}{b-a},&a\leq x\leq b\\&1,&x>b\end{aligned}\right.

P(c\leq X\leq c+l)=\int_{c}^{c+l}f(x)dx=\frac{l}{b-a}

(2)指數(shù)分布

X\sim e(\lambda)

f(x)=\left\{\begin{aligned}&\lambda e^{-\lambda x},&x>0\\&0,&x\leq 0\end{aligned}\right.

F(x)=\left\{\begin{aligned}&1-\lambda e^{-\lambda x},&x>0\\&0,&x\leq 0\end{aligned}\right.

在指數(shù)分布進(jìn)行條件概率計算時，指數(shù)分布符合無記憶性

P(X\geq x+\Delta x\mid X>x)=P(X\geq \Delta x)

即無論條件為何事颓鲜，概率都等于變化量對應(yīng)的概率

(3）正態(tài)分布

X \sim N(\mu,\sigma^2)

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2\sigma^2}}

其中\mu是期望值（偏移量，方便理解），\sigma是標(biāo)準(zhǔn)差（幅值昭娩，方便理解）栏渺，該函數(shù)無法積分，故正態(tài)分布無法正常計算霎终，應(yīng)將各形式的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(分布函數(shù)\Phi (x),密度函數(shù)\varphi (x))

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

F_x(a)=P(X\leq a)=\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})=1-F_x(-a)

2.5 隨機(jī)變量函數(shù)的分布

已知X的概率分布和Y=g(x)涎劈，求Y的概率分布

（1）X是離散型隨機(jī)變量

列出Y的所有可能值，y_1,y_2,y_3...y_j...,再找出對應(yīng)y_j的X值的集合D脸哀，得

P(Y=y_j)=P(X\in D)

（2）X是連續(xù)型隨機(jī)變量

方法1

F_Y(y)=P\left\{Y<y\right\}=P\left\{g(x)<y\right\}

解出x的范圍a(y)和b(y)

F_Y(y)=\int_{a(y)}^{b(y)}f(x)

f_Y(y)=F’(y)

方法2

在法一中解出x的范圍之后

F_Y(y)=F_X(b(y))+1-F_X(a(y))

再進(jìn)行復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可求得f_Y(y)

一個我還不知道叫啥的定理

已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f_X(x),-\infty<x<+\infty,Y=g(x),并且g(x)是一個單調(diào)函數(shù)(導(dǎo)數(shù)恒大于零或恒小于零）智末，則Y的概率密度函數(shù)為：

f_Y(y)=\left\{\begin{aligned}&f_X(h(y))\mid h’(y)\mid ,&\alpha <y<\beta \\&0,&\text{其他}\end{aligned}\right.

其中\alpha 送漠，\beta 為Y的可能取值范圍? ?\alpha =g(-\infty),\beta =g(+\infty),函數(shù)遞減時反之

h是g的反函數(shù)

一般地闽寡，若X\sim N(\mu,\sigma^2),則有Y=aX+b\Rightarrow Y\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)

第三章 隨機(jī)向量及其概率分布

3.1二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)

二維隨機(jī)變量相當(dāng)于AB兩個事件同時發(fā)生

即P(x,y)=P(y)P(x\mid y)

聯(lián)合分布函數(shù)F(X,Y)的性質(zhì)：

1.單調(diào)不降

2.對于任意的變量，滿足：

P(x_1<X\leq x_2,y_1<Y\leq y_2)=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)\geq 0

二維離散型隨機(jī)向量

1.二維0—1分布

2.三項分布

二維連續(xù)型隨機(jī)向量

F(x,y)=\int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{x}f(x,y)dxdy

f(x,y)=\frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}

二重微積分，利用參數(shù)方程等進(jìn)行簡化

1.二維均勻分布

2.二維正態(tài)分布

3.2邊緣分布

邊緣分布即X羡微、Y兩事件中有一件為必然發(fā)生的事件，在分布表上體現(xiàn)為某一行或某一列的求和

二維正態(tài)分布的邊緣分布是一維正態(tài)分布

3.3條件分布

P(Y=y_j\mid X=x_i)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(X=x_i)}=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}

即盯蝴，上式為常規(guī)的二維向量捧挺，下部為條件的邊緣分布

條件分布的密度函數(shù)與之類似

3.4隨機(jī)事件的獨立性

與一維隨機(jī)事件類似，通過比較下列等式即可證明隨機(jī)事件的獨立性

F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)

需要注意的是鸣峭，下式也滿足證明隨機(jī)事件的獨立性

f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)

3.5 n維隨機(jī)向量

如

3.6 隨機(jī)向量函數(shù)的分布

二維連續(xù)型隨機(jī)向量函數(shù)的分布密度

先求Z=g(x,y)的分布函數(shù)，再兩邊對z求導(dǎo)得到概率密度函數(shù)

當(dāng)X和Y相互獨立莫换，且已知f_x(x)和f_y(y)拉岁，則f_z(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f_x(x)f_y(z-y)dx或f_z(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f_x(z-x)f_y(y)dy,即卷積


\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} x^{\alpha-1}e^{-x}dx,\alpha>0

\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)

最小值撕瞧、最大值的分布

F_{min}(z)=1-\prod_{i=1}^n (1-F_{X_i}(z_i))

F_{max}(z)=\prod_{i=1}^n F_{X_i}(z_i)

第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征

4.1數(shù)學(xué)期望

離散型：

若級數(shù)\sum_{k=1}^\infty |x_k|p_k收斂巩掺，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望存在胖替，為\sum_{k=1}^\infty x_kp_k

連續(xù)型：

若積分\int_{-\infty}^{+\infty} |x|f(x)dx存在独令，則稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望存在為\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx

常見隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

1.（0-1）分布

EX=p

2.二項分布 b(n,p)，設(shè)X的分布律為P(X=k)=C_n^kp^kq^{n-k}

EX=np

3.泊松分布P(\lambda ),設(shè)X的分布律為P(X=k)=\frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda}

EX=\lambda

4.超幾何分布

EX=\frac{nM}{N}

5.均勻分布

EX=\frac{a+b}{2}

6.指數(shù)分布

EX=\frac{1}{\lambda}

7.正態(tài)分布

EX=\mu

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

一維函數(shù)

離散型：

驗證數(shù)學(xué)期望存在：\sum_{k=1}^{\infty}g(x_k)p_k絕對收斂

EX=\sum_{k=1}^{\infty}g(x_k)p_k

連續(xù)型：

驗證數(shù)學(xué)期望存在：\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)f(x)dx絕對收斂

EX=\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)f(x)dx

二維函數(shù)

離散型：

驗證數(shù)學(xué)期望存在：\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}g(x_i,y_j)p_{ij}絕對收斂

EX=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}g(x_i,y_j)p_{ij}

連續(xù)型：

驗證數(shù)學(xué)期望存在：\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} g(x,y)f(x,y)dxdy絕對收斂

EX=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} g(x,y)f(x,y)dxdy

兩個特殊的數(shù)學(xué)期望

1.EX(X-1)

X符合二項分布時：EX(X-1)=n(n-1)p^2

X符合泊松分布時：EX(X-1)=\lambda^2

2.

X符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)

EX^4=3

數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

1.c是常數(shù)瓢颅，Ec=c

2.E(aX+b)=aEX+b

3.E(X+Y)=EX+EY

4.EXY=EXEY

4.2隨機(jī)變量的方差

方差的定義：DX=E(X-EX)^2=Var(X)

標(biāo)準(zhǔn)差或均方差：\delta (X)=\sqrt{DX}

以上兩個值都是反應(yīng)隨機(jī)變量的波動性，越小越集中信柿，越大越分散

離散型隨機(jī)變量方差

DX=\sum_{k=1}^\infty (x_k-EX)^2p_k

連續(xù)型隨機(jī)變量方差

DX=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-EX)^2f(x)dx

計算方差公式

DX=EX^2-(EX)^2

常見隨機(jī)變量的方差

1.（0-1）分布? ?DX=p(1-p)

2. 二項分布 X~b(n,p)??DX=np(1-p)

3.泊松分布 X~P(\lambda)? ?DX=\lambda

4.超幾何分布 X~H(N,M,n)??DX=\frac{nM(N-n)(N-M)}{N^2(N-1)}

5.均勻分布?DX=\frac{(b-a)^2}{12}

6.指數(shù)分布DX=\frac{1}{\lambda ^2}

7.正態(tài)分布?DX=\sigma ^2

方差的性質(zhì)

1.c是常數(shù)，Dc=0

2.D（aX+b)=a^2DX

3.D(X\pm Y)=DX+DY客年，X和Y是兩個獨立的隨機(jī)變量

4.DX=0的充要條件是量瓜，X取某個常數(shù)c的概率為1

切比雪夫不等式

設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望EX=\mu,方差DX=\sigma ^2,則對任意的\varepsilon >0,有

P(|X-\mu|>\varepsilon)\leq \frac{\sigma ^2}{\varepsilon^2}或等價式P(|X-\mu|\leq\varepsilon)\geq 1- \frac{\sigma ^2}{\varepsilon^2}

4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

一欺劳、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

%協(xié)方差或許也可以稱作二維隨機(jī)變量方差枫弟？

E(X-EX)(Y-EY)=0，說明X韩容，Y相互獨立

若E(X-EX)(Y-EY)存在群凶，則記Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)為X與Y的協(xié)方差，稱\rho _{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DXDY} }為X與Y的相關(guān)系數(shù)毅弧。

協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)都是刻畫兩個隨機(jī)變量相互依賴關(guān)系的數(shù)字特征量够坐。

對方差性質(zhì)的推廣D(X\pm Y)=DX+DY\pm Cov(X,Y)

計算協(xié)方差時，常采用Cov(X,Y)=EXY-EXEY

聯(lián)合分布的期望減去邊緣分布期望的乘積

二光酣、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

1.Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

2.Cov(X,X)=DX

3.Cov(X,c)=0,c是常數(shù)

4.Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)

5.X_1,X_2是兩個隨機(jī)變量倘零，已知他們的相關(guān)系數(shù)\rho _{X_1X_2},a_i,b_i(i=1,2)是常數(shù)，Y_i=a_iX+b_i,a_i\neq 0,DX_i>0(i=1,2),則Y_1,Y_2的相關(guān)系數(shù)

\rho _{Y_1Y_2}=\frac{a_1a_2}{|a_1a_2|}\rho _{X_1X_2}

三袖瞻、獨立與不相關(guān)的聯(lián)系

若相關(guān)系數(shù)\rho_{XY}=0(Cov(X,Y)=0),則稱X,Y是不相關(guān)的

獨立一定不相關(guān)，但不相關(guān)不一定獨立

第五章 極限定理

5.1大數(shù)定理

依概率收斂

設(shè)X_1,X_2,...,X_n是一隨機(jī)變量序列，若存在隨機(jī)變量X牺堰，使得對任意正數(shù)\varepsilon >0，恒有

\lim_{n\to\infty} P(|X_n-X|\geq \varepsilon)=0或\lim_{n\to\infty} P(|X_n-X|< \varepsilon)=1,則稱隨機(jī)變量序列依概率收斂于X，記為\lim_{n\to\infty} X_n=X(P)

若一個隨機(jī)變量序列滿足依概率收斂撼玄，則稱該隨機(jī)變量符合大數(shù)定律（符合大數(shù)定律的證明）

切比雪夫大數(shù)定律

一列相互獨立的隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望和方差都存在且方差一致有界废膘，則該序列滿足大數(shù)定律

\lim_{n\to \infty}P(\mid \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}EX_i\mid \geq \varepsilon)=0

辛欽大數(shù)定律

一串相互獨立同分布的隨機(jī)變量序列，他們有有限的數(shù)學(xué)期望孔飒，則該序列符合大數(shù)定律

\lim_{n\to \infty}P(\mid \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i-\mu\mid < \varepsilon)=1

辛欽大數(shù)定律證明了算術(shù)平均值在n特別大的情況下是與期望的差距很小的灌闺，可作為期望的近似值，證明了一致估計性

伯努利大數(shù)定律

n_A是n次獨立重復(fù)事件A發(fā)生的次數(shù)坏瞄，p是A發(fā)生的概率

\lim_{n\to \infty}P(\mid \frac{n_A}{n}-p\mid \geq \varepsilon)=0

伯努利大數(shù)定律證明了在n很大時桂对，A發(fā)生的頻率與概率相差無幾，證明了頻率的穩(wěn)定性


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  • 人面猴
    序言：七十年代末鸠匀，一起剝皮案震驚了整個濱河市蕉斜，隨后出現(xiàn)的幾起案子，更是在濱河造成了極大的恐慌爬范，老刑警劉巖杜顺，帶你破解...
    沈念sama閱讀 222,590評論 6贊 517
  • 死咒
    序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件，死亡現(xiàn)場離奇詭異铃岔，居然都是意外死亡盏道，警方通過查閱死者的電腦和手機(jī)为鳄，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
    沈念sama閱讀 95,157評論 3贊 399
  • 救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
    文/潘曉璐 我一進(jìn)店門，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來，“玉大人解总，你說我怎么就攤上這事敦锌〉孔觯” “怎么了？”我有些...
    開封第一講書人閱讀 169,301評論 0贊 362
  • 道士緝兇錄：失蹤的賣姜人
    文/不壞的土叔 我叫張陵，是天一觀的道長鱼响。 經(jīng)常有香客問我，道長，這世上最難降的妖魔是什么？ 我笑而不...
    開封第一講書人閱讀 60,078評論 1贊 300
  • ?港島之戀（遺憾婚禮）
    正文 為了忘掉前任拼弃，我火速辦了婚禮振惰，結(jié)果婚禮上，老公的妹妹穿的比我還像新娘斩郎。我一直安慰自己，他們只是感情好倦沧，可當(dāng)我...
    茶點故事閱讀 69,082評論 6贊 398
  • 惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來的
    文/花漫 我一把揭開白布仙逻。 她就那樣靜靜地躺著并鸵，像睡著了一般。 火紅的嫁衣襯著肌膚如雪搂擦。 梳的紋絲不亂的頭發(fā)上茬暇，一...
    開封第一講書人閱讀 52,682評論 1贊 312
  • 城市分裂傳說
    那天驶兜，我揣著相機(jī)與錄音，去河邊找鬼犯犁。 笑死惕艳，一個胖子當(dāng)著我的面吹牛远搪，可吹牛的內(nèi)容都是我干的伺绽。 我是一名探鬼主播株汉，決...
    沈念sama閱讀 41,155評論 3贊 422
  • 雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
    文/蒼蘭香墨 我猛地睜開眼朵你，長吁一口氣：“原來是場噩夢啊……” “哼！你這毒婦竟也來了揣非？” 一聲冷哼從身側(cè)響起抡医，我...
    開封第一講書人閱讀 40,098評論 0贊 277
  • 萬榮殺人案實錄
    序言：老撾萬榮一對情侶失蹤，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎早敬，沒想到半個月后忌傻，有當(dāng)?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體，經(jīng)...
    沈念sama閱讀 46,638評論 1贊 319
  • ?護(hù)林員之死
    正文 獨居荒郊野嶺守林人離奇死亡搞监，尸身上長有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛 以下內(nèi)容為張勛視角 年9月15日...
    茶點故事閱讀 38,701評論 3贊 342
  • ?白月光啟示錄
    正文 我和宋清朗相戀三年水孩，在試婚紗的時候發(fā)現(xiàn)自己被綠了。 大學(xué)時的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片琐驴。...
    茶點故事閱讀 40,852評論 1贊 353
  • 活死人
    序言：一個原本活蹦亂跳的男人離奇死亡俘种，死狀恐怖，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出绝淡，到底是詐尸還是另有隱情宙刘，我是刑警寧澤，帶...
    沈念sama閱讀 36,520評論 5贊 351
  • ?日本核電站爆炸內(nèi)幕
    正文 年R本政府宣布牢酵，位于F島的核電站悬包，受9級特大地震影響，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏馍乙。R本人自食惡果不足惜布近，卻給世界環(huán)境...
    茶點故事閱讀 42,181評論 3贊 335
  • 男人毒藥：我在死后第九天來索命
    文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望潘拨。 院中可真熱鬧，春花似錦饶号、人聲如沸铁追。這莊子的主人今日做“春日...
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  • 一樁弒父案茫船，背后竟有這般陰謀
    文/蒼蘭香墨 我抬頭看了看天上的太陽琅束。三九已至扭屁，卻和暖如春，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間涩禀，已是汗流浹背料滥。 一陣腳步聲響...
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  • 情欲美人皮
    我被黑心中介騙來泰國打工， 沒想到剛下飛機(jī)就差點兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留艾船，地道東北人葵腹。 一個月前我還...
    沈念sama閱讀 49,279評論 3贊 379
  • 代替公主和親
    正文 我出身青樓，卻偏偏與公主長得像屿岂，于是被迫代替她去往敵國和親践宴。 傳聞我的和親對象是個殘疾皇子，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
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