公式只能傳圖片?,好多公式都沒寫上,但是,不管有沒有公式,寫得一樣無趣至極,在中國(guó)人民大學(xué)出版社出版的王燕編著的<<應(yīng)用時(shí)間序列分析(第三版)>>的基礎(chǔ)上寫的,文中說的第幾頁都是指這本書的第幾頁,我大概列了一下基本概念,理論,方法,方便了解整個(gè)分析過程步驟,之后會(huì)給出python處理代碼的,計(jì)算過程幫你解決,想當(dāng)年我們還是手寫計(jì)算出來的,最多加個(gè)計(jì)算器,公式一大堆,闊怕.

一.時(shí)間序列分析

按照時(shí)間的順序把隨機(jī)事件變化發(fā)展的過程記錄下來就構(gòu)成了一個(gè)時(shí)間序列.對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行觀察,研究,找尋它變化的規(guī)律,預(yù)測(cè)它將來的走勢(shì)就是時(shí)間序列分析.

時(shí)間序列數(shù)學(xué)定義

二.時(shí)間序列的預(yù)處理

拿到一個(gè)觀察值序列之后,首先對(duì)它的平穩(wěn)性和純隨機(jī)性進(jìn)行檢驗(yàn),這兩個(gè)重要的檢驗(yàn)成為序列的預(yù)處理.根據(jù)檢驗(yàn)的結(jié)果將序列分為不同的類型,對(duì)不同類型序列采用不同的分析方法.

2.1 平穩(wěn)性的檢驗(yàn)

嚴(yán)平穩(wěn):只有當(dāng)序列所有的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)都不會(huì)隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化時(shí),該序列才能被認(rèn)為平穩(wěn)
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寬平穩(wěn):序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)主要由它的低階矩決定,只要保證序列低階矩平穩(wěn)(二階),就能保證序列的主要性質(zhì)近似穩(wěn)定.寬平穩(wěn)也稱為弱平穩(wěn)或二階平穩(wěn).

平穩(wěn)序列性質(zhì):均值和方差為常數(shù)

通常直觀的檢驗(yàn)方法有時(shí)序圖檢驗(yàn)和自相關(guān)圖檢驗(yàn),觀察時(shí)序圖,在某一范圍波動(dòng)的通常是平穩(wěn)的,另外還有兩種準(zhǔn)確的判別方法:特征根判別和平穩(wěn)域判別,具體運(yùn)算過程不講,有興趣可翻閱45-46頁查看,后面說到再講怎么判斷.

2.2純隨機(jī)性檢驗(yàn)

純隨機(jī)序列:平穩(wěn)序列值之間沒有任何相關(guān)性的序列成為純隨機(jī)序列,這意味著該序列過去的行為對(duì)將來的發(fā)展沒有絲毫影響.從統(tǒng)計(jì)分析的角度而言,純隨機(jī)序列沒有任何分析價(jià)值.純隨機(jī)序列也稱為白噪聲序列.

白噪聲序列的性質(zhì):純隨機(jī)性和方差齊性.純隨機(jī)指序列各項(xiàng)直接沒有任何相關(guān)關(guān)系,方差齊性指序列中每個(gè)變量的方差都相等,如果不滿足方差齊性,就稱序列具有異方差性質(zhì).

純隨機(jī)性檢驗(yàn):檢驗(yàn)序列是否為純隨機(jī)序列,即滿足樣本自相關(guān)系數(shù)為0.根據(jù)Barlett定理(延遲非0期的樣本自相關(guān)系數(shù)將近似服從均值為0方差為序列觀察期數(shù)倒數(shù)的正態(tài)分布),可以通過構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)序列的純隨機(jī)性.

構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量

三:平穩(wěn)序列的模型

3.1.AR模型

AR模型屬于平穩(wěn)時(shí)間序列的分析模型

p階自回歸模型,簡(jiǎn)記AR(p),隨機(jī)干擾序列為0均值白噪聲序列,當(dāng)期隨機(jī)干擾與過去的序列值無關(guān),一般分許AR模型的相關(guān)關(guān)系時(shí),都簡(jiǎn)化為中心化模型,具體公式過程可參考中國(guó)人民大學(xué)出版社出版的王燕編著的<應(yīng)用時(shí)間序列分析(第三版)>43-44頁,下面說的第幾頁均是指這本書的第幾頁.

AR模型平穩(wěn)性判別:1.特征根判別:p個(gè)特征根在單位圓內(nèi)則平穩(wěn)(絕對(duì)值小于1),從而也可推導(dǎo)出自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根都在單位圓外(絕對(duì)值大于1)

平穩(wěn)域判斷:AR(1)的平穩(wěn)域在[-1,1]范圍內(nèi),AR(2)的平穩(wěn)域是一個(gè)三角性區(qū)域,公式見46-47

AR模型的性質(zhì):均值為常數(shù),方差有界也是常數(shù)

自相關(guān)系數(shù)性質(zhì):拖尾性和呈指數(shù)衰減(即短期相關(guān)性)

偏自相關(guān)系數(shù)性質(zhì):平穩(wěn)AR(p)的偏自相關(guān)系數(shù)具有p階截尾性

3.2.MA模型

MA模型屬于平穩(wěn)時(shí)間序列的分析模型

簡(jiǎn)記MA(q),隨機(jī)干擾序列為0均值白噪聲序列,分析時(shí)同樣先中心化模型

性質(zhì):常數(shù)均值,常數(shù)方差,自協(xié)方差函數(shù)只與滯后階數(shù)相關(guān),且q階截尾,自相關(guān)系數(shù)q階截尾,偏自相關(guān)拖尾

3.3.ARMA模型

ARMA模型屬于平穩(wěn)時(shí)間序列的分析模型

簡(jiǎn)記ARMA(p,q),當(dāng)q=0時(shí),ARMA模型退化成AR(p)模型,當(dāng)p=0時(shí),ARMA模型退化成MA(q)模型

模型的平穩(wěn)性由自回歸部分的平穩(wěn)性決定

性質(zhì):均值常數(shù),自相關(guān)系數(shù)不截尾,偏自相關(guān)系數(shù)不截尾

AR,MA,ARMA模型的截尾與拖尾

四.平穩(wěn)序列建模過程.即AR,MA,ARMA的建模過程

1.通過序列預(yù)處理判定為平穩(wěn)非白噪聲序列,如果非平穩(wěn),則采用接下來要說的ARIMA模型,這里只說平穩(wěn)的過程.直觀時(shí)序圖法,或特征根絕對(duì)值<1和平穩(wěn)域

2.計(jì)算ACF和PACF,其中ACF是樣本的自相關(guān)系數(shù),PACF是樣本的偏自相關(guān)系數(shù).

3.根據(jù)ACF個(gè)PACF性質(zhì)選擇適當(dāng)?shù)腁RMA(p,q)模型進(jìn)行擬合,p=0則為MA(q),q=0則為AR(p),這個(gè)過程也叫定階過程,即選取不同的p,q,如果樣本自相關(guān)系數(shù)或偏自相關(guān)系數(shù)在最初的d階明顯超過2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍,而后幾乎95%的自相關(guān)關(guān)系數(shù)都落在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi),而且由非零自相關(guān)關(guān)系數(shù)衰減為小值波動(dòng)的過程非常突然,這是成為自相關(guān)系數(shù)截尾,截尾階數(shù)為d,如果超過5%的樣本自相關(guān)系數(shù)落入2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍之外,或者由顯著非常的自相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動(dòng)過程比較緩慢或者非常連續(xù),成為自相關(guān)系數(shù)不截尾,即拖尾,由拖尾與截尾,再根據(jù)上圖AR,MA,ARMA的截尾拖尾性質(zhì)表確定用哪個(gè)模型

4.然后估計(jì)未知參數(shù)值,估計(jì)方法有矩估計(jì),極大似然估計(jì),最小二乘估計(jì).矩估計(jì)比較粗糙,精度一般不高,常被用做確定極大似然估計(jì)和最小二乘估計(jì)迭代計(jì)算的初始值.極大似然估計(jì)計(jì)算復(fù)雜(經(jīng)過迭代算法),但計(jì)算機(jī)可幫助實(shí)現(xiàn)計(jì)算,精度高,具有估計(jì)得一致性,漸近正態(tài)性和漸近有效性等統(tǒng)計(jì)性質(zhì),是一種非常優(yōu)良的參數(shù)估計(jì)方法.最小二乘估計(jì)通常也是通過迭代法求出,精度高,實(shí)際運(yùn)用中最常用的是條件最小二乘估計(jì)方法.

5.檢驗(yàn)有效性:模型顯著性檢驗(yàn)即為殘差序列的白噪聲檢驗(yàn),先做出原假設(shè)和備擇假設(shè),在通過計(jì)算LB統(tǒng)計(jì)量,在這個(gè)統(tǒng)計(jì)量下比較P值與alpha,P值大于0.05則認(rèn)為這個(gè)擬合模型的殘差序列屬于白噪聲序列,模型擬合顯著有效.參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)即要檢驗(yàn)每一個(gè)未知參數(shù)是否顯著非零,如果某個(gè)參數(shù)不顯著,其對(duì)應(yīng)的自變量對(duì)因變量的影響不明顯,則可剔除該自變量,最終模型由一系列參數(shù)顯著非零的自變量表示.做出原假設(shè):某個(gè)參數(shù)為0,通過計(jì)算最終可以構(gòu)造出用于檢驗(yàn)位置參數(shù)顯著性的t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T,當(dāng)P值<alpha,拒絕原假設(shè),認(rèn)為該參數(shù)顯著(計(jì)算推導(dǎo)過程78頁).

6.模型優(yōu)化:同一個(gè)序列可以構(gòu)造多個(gè)擬合模型,例如可以構(gòu)造MA(2),也可以構(gòu)造AR(1),兩個(gè)都顯著有效,為了選擇最優(yōu),按照AIC準(zhǔn)則(最小信息量準(zhǔn)則)和SBC準(zhǔn)則進(jìn)行選擇,使AIC函數(shù)達(dá)到最小的模型被認(rèn)為是最優(yōu)模型,當(dāng)樣本容量趨于無窮大時(shí),其選擇的模型不收斂于真實(shí)模型.而BIC模型彌補(bǔ)了他的不足,,BIC后也稱SBC,所以選擇AIC和SBC函數(shù)值達(dá)到最小的八個(gè)模型作為最終擬合模型,這樣得到的最優(yōu)模型就是一個(gè)相對(duì)最優(yōu)模型

7.最后就可以利用擬合的模型預(yù)測(cè)序列的將來走勢(shì)了.最常用的預(yù)測(cè)方法是線性最小方差預(yù)測(cè),線性是指預(yù)測(cè)值為觀察值序列的線性函數(shù)(即計(jì)算出模型后,把后面每一期的數(shù)值代入方程,得到預(yù)測(cè)值),最小方差是指預(yù)測(cè)方差達(dá)到最小.預(yù)測(cè)只適合做短期預(yù)測(cè)

8.修正預(yù)測(cè):隨著時(shí)間不斷發(fā)展,會(huì)不斷獲得新的觀察值,修正預(yù)測(cè)就是把新的值加進(jìn)去提高精度.重新獲得p個(gè)新觀察值,修正誤差和修正方差公式在92頁

平穩(wěn)序列建模流程圖