本文結(jié)構(gòu)：
- 時(shí)間序列分析咖熟？
- 什么是ARIMA圃酵？
- ARIMA數(shù)學(xué)模型？
- input球恤，output 是什么辜昵？
- 怎么用？－代碼實(shí)例
- 常見問題咽斧？
時(shí)間序列分析堪置？
時(shí)間序列，就是按時(shí)間順序排列的张惹，隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)序列舀锨。
生活中各領(lǐng)域各行業(yè)太多時(shí)間序列的數(shù)據(jù)了，銷售額宛逗，顧客數(shù)坎匿，訪問量，股價(jià)雷激，油價(jià)替蔬，GDP，氣溫屎暇。承桥。。
隨機(jī)過程的特征有均值根悼、方差凶异、協(xié)方差等。
如果隨機(jī)過程的特征隨著時(shí)間變化挤巡，則此過程是非平穩(wěn)的剩彬；相反，如果隨機(jī)過程的特征不隨時(shí)間而變化矿卑，就稱此過程是平穩(wěn)的喉恋。
下圖所示，左邊非穩(wěn)定母廷，右邊穩(wěn)定瀑晒。
非平穩(wěn)時(shí)間序列分析時(shí)，若導(dǎo)致非平穩(wěn)的原因是確定的徘意，可以用的方法主要有趨勢擬合模型、季節(jié)調(diào)整模型轩褐、移動(dòng)平均椎咧、指數(shù)平滑等方法。
若導(dǎo)致非平穩(wěn)的原因是隨機(jī)的，方法主要有ARIMA（autoregressive integrated moving average）及自回歸條件異方差模型等勤讽。
什么是ARIMA蟋座？
ARIMA (Auto Regressive Integrated Moving Average) 可以用來對時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測，常被用于需求預(yù)測和規(guī)劃中脚牍。
可以用來對付 ‘隨機(jī)過程的特征隨著時(shí)間變化而非固定’ 且 ‘導(dǎo)致時(shí)間序列非平穩(wěn)的原因是隨機(jī)而非確定’ 的問題向臀。不過，如果是從一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列開始诸狭， 首先需要做差分券膀，直到得到一個(gè)平穩(wěn)的序列。
模型的思想就是從歷史的數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)到隨時(shí)間變化的模式驯遇，學(xué)到了就用這個(gè)規(guī)律去預(yù)測未來芹彬。
ARIMA(p,d,q)模型，其中 d 是差分的階數(shù)叉庐，用來得到平穩(wěn)序列舒帮。
AR是自回歸, p為相應(yīng)的自回歸項(xiàng)。
MA為移動(dòng)平均陡叠，q為相應(yīng)的移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)玩郊。
ARIMA數(shù)學(xué)模型？
ARIMA（p枉阵，d译红，q）模型是ARMA（p，q）模型的擴(kuò)展岭妖。
ARIMA（p临庇，d，q）模型可以表示為：
其中L 是滯后算子（Lag operator）昵慌，d in Z, d>0假夺。
AR：
當(dāng)前值只是過去值的加權(quán)求和。
MA：
過去的白噪音的移動(dòng)平均斋攀。
ARMA：
AR和MA的綜合已卷。
ARIMA：
和ARMA的區(qū)別，就是公式左邊的x變成差分算子淳蔼，保證數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性侧蘸。
差分算子就是：
令 wt 為：
則 ARIMA 就可以寫成：
input，output 是什么鹉梨？
輸入歷史數(shù)據(jù)讳癌，預(yù)測未來時(shí)間點(diǎn)的數(shù)據(jù)。
怎么用存皂？－代碼實(shí)例
本文參考了：時(shí)間序列實(shí)例
另外推薦大家看這篇晌坤，36大數(shù)據(jù)上有一個(gè)python版講的不錯(cuò)逢艘，里面對穩(wěn)定性的定量檢驗(yàn)的講解比較詳細(xì)：時(shí)間序列預(yù)測全攻略－附帶Python代碼
ARIMA模型運(yùn)用的基本流程有幾下幾步：
- 數(shù)據(jù)可視化，識別平穩(wěn)性骤菠。
- 對非平穩(wěn)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)它改，做差分，得到平穩(wěn)序列商乎。
- 建立合適的模型央拖。
平穩(wěn)化處理后，若偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的鹉戚，而自相關(guān)函數(shù)是拖尾的鲜戒，則建立AR模型；
若偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的崩瓤，而自相關(guān)函數(shù)是截尾的袍啡，則建立MA模型；
若偏自相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)均是拖尾的却桶，則序列適合ARMA模型境输。 - 模型的階數(shù)在確定之后，對ARMA模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)颖系，比較常用是最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)嗅剖。
- 假設(shè)檢驗(yàn)，判斷（診斷）殘差序列是否為白噪聲序列嘁扼。
- 利用已通過檢驗(yàn)的模型進(jìn)行預(yù)測信粮。
使用ARIMA模型對裙子長度預(yù)測
1、加載數(shù)據(jù)
skirts <- scan("http://robjhyndman.com/tsdldata/roberts/skirts.dat", skip=5)
str(skirts)
head(skirts)
boxplot(skirts)
length(skirts)
2趁啸、把數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為是時(shí)間序列
skirts_ts <- ts(skirts, start=c(1886), frequency=1)
1)查看時(shí)間序列對應(yīng)的時(shí)間
skirts_ts
2)畫出時(shí)間序列圖
plot.ts(skirts_ts)
從圖可知：女人裙子邊緣的直徑做成的時(shí)間序列數(shù)據(jù)强缘，從 1866 年到 1911 年在平均值上是不平穩(wěn)的
3、做差分得到平穩(wěn)序列
1)做時(shí)間序列的一階差分
skirts_diff <- diff(skirts_ts, differences = 1)
plot.ts(skirts_diff)
從一階差分的圖中可以看出不傅，數(shù)據(jù)仍是不平穩(wěn)的旅掂，繼續(xù)差分
2)做時(shí)間序列的二階差分
skirts_diff2 <- diff(skirts_ts, differences = 2)
plot.ts(skirts_diff2)
二次差分后的時(shí)間序列在均值和方差上看起來是平穩(wěn)了
4、找到合適的ARIMA模型
尋找 ARIMA(p,d,q)中合適的 p 值和 q
1)自相關(guān)圖ACF
acf(skirts_diff2, lag.max = 20)
acf(skirts_diff2, lag.max = 20, plot = F)
自相關(guān)圖顯示滯后1階自相關(guān)值基本沒有超過邊界值访娶，雖然5階自相關(guān)值超出邊界商虐，那么很可能屬于偶然出現(xiàn)的，而自相關(guān)值在其他上都沒有超出顯著邊界崖疤， 而且我們可以期望 1 到 20 之間的會(huì)偶爾超出 95%的置信邊界秘车。 自相關(guān)圖5階后結(jié)尾
2)偏相關(guān)圖PACF
pacf(skirts_diff2, lag.max = 20)
pacf(skirts_diff2, lag.max = 20, plot = F)
偏自相關(guān)值選1階后結(jié)尾
故我們的ARMIA模型為armia（1,2,5
3)使用auto.arima()函數(shù)，自動(dòng)獲取最佳的ARIMA模型
library(forecast)
auto.arima(skirts_ts, ic=c("aicc", "aic", "bic"), trace = T)
Best model: ARIMA(1,2,0)
5劫哼、建立ARIMA模型：并對比arima(1, 2, 0)與arima(1, 2, 5)模型
1）arima(1, 2, 0)模型
(skirts_arima <- arima(skirts_ts, order = c(1, 2, 0)))
aic = 391.33
2）arima(1, 2, 5)模型
(skirts_arima <- arima(skirts_ts, order = c(1, 2, 5)))
aic = 381.6
AIC是赤池消息準(zhǔn)則SC是施瓦茨準(zhǔn)則叮趴，當(dāng)兩個(gè)數(shù)值最小時(shí)，則是最優(yōu)滯后分布的長度权烧。我們進(jìn)行模型選擇時(shí)眯亦，AIC值越小越好咳蔚。所以arima(1, 2, 5)模型較好
6、預(yù)測：預(yù)測5年后裙子的邊緣直徑
(skirts_forecast <- forecast.Arima(skirts_arima, h=5, level = c(99.5)))
plot.forecast(skirts_forecast)
7搔驼、檢驗(yàn)
觀察 ARIMA 模型的預(yù)測誤差是否是平均值為 0 且方差為常數(shù)的正態(tài)分布，同時(shí)也要觀察連續(xù)預(yù)測誤差是否自相關(guān)
1）檢驗(yàn)預(yù)測誤差的自相關(guān)性
tsdiag(skirts_arima)
下面第一個(gè)圖表代表估計(jì)模型誤差的繪圖侈询。圖中豎線的長度比較相似舌涨，都處在穩(wěn)定范圍之內(nèi)，即估計(jì)的模型沒產(chǎn)生不符合要求的誤差分布扔字。
第二張繪圖囊嘉，顯示估計(jì)的模型沒造成誤差之間的任何關(guān)系。這是符合數(shù)據(jù)生成時(shí)每個(gè)數(shù)據(jù)都是獨(dú)立的這個(gè)前提的革为。由此可見扭粱，這ACF圖符合檢測要求。
第三張圖震檩，也就是Ljung-Box 指標(biāo)琢蛤。這個(gè)指標(biāo)可對每一個(gè)時(shí)間序列的延遲進(jìn)行顯著性的評估。判定技巧是抛虏，P-value點(diǎn)的高度越高博其，我們的模型越可信。
acf(skirts_forecast$residuals, lag.max = 20)
Box.test(skirts_forecast$residuals, lag=20, type = "Ljung-Box")
p-value = 0.9871
相關(guān)圖顯示出在滯后1-20階中樣本自相關(guān)值都沒有超出顯著置信邊界迂猴，而且Ljung-Box檢驗(yàn)的p值為0.99慕淡，所以我們推斷在滯后1-20階（lags1-20）中沒明顯證據(jù)說明預(yù)測誤差是非零自相關(guān)的。
Acf檢驗(yàn)說明：殘差沒有明顯的自相關(guān)性沸毁，Ljung-Box測試顯示：所有的P-value>0.05峰髓，說明殘差為白噪聲。
2）判斷預(yù)測誤差是否是平均值為零且方差為常數(shù)的正態(tài)分布
做預(yù)測誤差的時(shí)間曲線圖和直方圖（具有正態(tài)分布曲線）
預(yù)測誤差的均值是否為0
plot.ts(skirts_forecast$residuals)
自定義判斷預(yù)測誤差的方差是正態(tài)分布的函數(shù)
plotForecastErrors <- function(forecasterrors){
#畫預(yù)測誤差的直方圖
hist(forecasterrors, col="red", freq = F)
#畫方差是預(yù)測誤差數(shù)據(jù)的方差息尺，平均值是0的正態(tài)分布數(shù)據(jù)的線
mysd <- sd(forecasterrors)
mynorm <- rnorm(10000, mean = 0, sd = mysd)
myhist <- hist(mynorm, plot = F)
points(myhist$mids, myhist$density, type="l", col="blue", lwd=2)
}
plotForecastErrors(skirts_forecast$residuals)
下圖顯示時(shí)間序列的直方圖顯示預(yù)測誤大致是正態(tài)分布的且平均值接近于0携兵。因此，把預(yù)測誤差看作平均值為0方差為服從零均值掷倔、方差不變的正態(tài)分布是合理的眉孩。
既然依次連續(xù)的預(yù)測誤差看起來不是相關(guān)，而且服從零均值勒葱、方差不變的正態(tài)分布浪汪，那么對于裙子直徑的數(shù)據(jù)，ARIMA(1,2,5)看起來是可以提供非常合適預(yù)測的模型凛虽。
常見問題死遭？
1.ARIMA建模的步驟
- 觀察數(shù)據(jù)是否是時(shí)間序列數(shù)據(jù)，是否有seasonal等因素凯旋。
- transform：Box－correlation呀潭，保證variance是uniform的钉迷。如果用box－cor還不能穩(wěn)定，還要繼續(xù)深入挖掘钠署。
- ACF／PACF 是為了找到 MA 和 AR 的order糠聪。
- d＝0－stationarity，1谐鼎，2－non stationarity
- 白噪音check：確定這個(gè)模型是optimize的舰蟆，mean＝0，平方差＝1.
-
誤差是白噪音的時(shí)候狸棍，model就ok了身害，就可以預(yù)測了
2.決定ARIMA參數(shù)的方法
d是差分的階數(shù)，幾階后就可以保證穩(wěn)定：
modelfit草戈，計(jì)算出來的參數(shù)是 1塌鸯，1，1 唐片，但可能 2丙猬，1，1 預(yù)測效果更好牵触，那就用后者淮悼。
或者用AIC比較倆模型。
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