算術(shù)

一明场、整數(shù)否过、分數(shù)午笛、小數(shù)

1.有理數(shù)Q

$實數(shù)R = \begin{cases} 有理數(shù) \\ 無理數(shù)\\ \end{cases}$

任何有理數(shù)都可以寫成 $\frac{n}{m}(m,n\in Z惭蟋，且m\neq0)$
無理數(shù)無法表示成分子和分母都是整數(shù)的分數(shù)

有理數(shù)有以下幾種維度分類：
$有理數(shù)Q = \begin{cases} 正有理數(shù)\\ 負有理數(shù)\\ 0\\ \end{cases}$

$有理數(shù)Q = \begin{cases} 整數(shù)\\ 分數(shù)\\ \end{cases}$

$有理數(shù)Q = \begin{cases} 有限小數(shù)\\ 無限循環(huán)小數(shù)\\ \end{cases}$

0既不是正數(shù)也不是負數(shù)

2.無理數(shù)

$無理數(shù) = \begin{cases} 正無理數(shù)\\ 負無理數(shù)\\ \end{cases}$

無限不循環(huán)小數(shù)

常見四類無理數(shù)：
$f(n) = \begin{cases} \pi=3.14····,e=2.7182···\\ 開不盡的根號：如 \sqrt{2}\\ 取不盡的對數(shù)，如 log_23 \\ 常見三角函數(shù) \\ \end{cases}$

常見三角函數(shù)

$α$	0°	30°	45°	60°	90°
$sin$	$\frac{\sqrt{0}}{2}$	$\frac{\sqrt{1}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{4}}{2}$
$cos$	$\frac{\sqrt{4}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{1}}{2}$	$\frac{\sqrt{0}}{2}$
$tan$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	不存在

記憶：左手法則 + tan = sin/cos

相關(guān)公式：
如果 $α+β=\frac{π}{2}$ 药磺，則 $sinα = cosβ$

3.整數(shù)

$整數(shù)Z= \begin{cases} 正整數(shù) Z+\\ 0\\ 負整數(shù)Z-\\ \end{cases}$

$整數(shù)Z= \begin{cases} 奇數(shù)\\ 偶數(shù)（0為偶數(shù)）\\ \end{cases}$

$自然數(shù)N= \begin{cases} 正整數(shù) Z+\\ 0\\ \end{cases}$

1.最小的正整數(shù)為1告组。正整數(shù)沒有最大值
2.最小的自然數(shù)為0。自然數(shù)沒有最大值
3.自然數(shù)也可以稱之為非負整數(shù)
4.負整數(shù)中最小值不存在与涡，最大值為-1
5.運算性質(zhì)：整數(shù)之間的+-*結(jié)果仍為整數(shù)
6.連續(xù)整數(shù)

連續(xù)2個整數(shù):n,n+1 和:2n+1
連續(xù)3個整數(shù):n-1,n,n+1 和:3n
連續(xù)4個整數(shù):n-1,n,n+1,n+2 和:4n+2
連續(xù)5個整數(shù):n-2,n-1,n,n+1,n+2 和:5n
連續(xù)奇數(shù)個整數(shù)利用中間項去表示,們的和必然是個數(shù)(奇數(shù)個)x中間項即可
連續(xù)n個整數(shù)相乘惹谐，乘積必為n!的倍數(shù)

組合性質(zhì)

有理數(shù)±有理數(shù)=有理數(shù);
有理數(shù)x有理數(shù)=有理數(shù);
有理數(shù)÷非零有理數(shù)=有理數(shù).
有理數(shù)±無理數(shù)=無理數(shù);
非零有理數(shù)x無理數(shù)=無理數(shù);
非零有理數(shù)÷無理數(shù)=無理數(shù).
無理數(shù)±無理數(shù)=不確定;
無理數(shù)x無理數(shù)=不確定;
無理數(shù)÷無理數(shù)=不確定.

4.分數(shù)

將單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫作分數(shù)

真分數(shù):分子<分母驼卖，3/7
假分數(shù):分子≥分母氨肌，7/5

5.小數(shù)

$小數(shù)= \begin{cases} 純小數(shù)：整數(shù)部分為0的小數(shù)，比如 0.21\\ 混小數(shù)：整數(shù)部分不為0的小數(shù)酌畜，比如3.21\\ \end{cases}$

$小數(shù)= \begin{cases} 有限小數(shù):比如0.21\\ 無限小數(shù) \begin{cases} 循環(huán)小數(shù) \begin{cases} 純循環(huán)小數(shù):比如 0.21212121...\\ 混循環(huán)小數(shù):比如 0.312121212...\\ \end{cases} \\ 不循環(huán)小數(shù)\\ \end{cases} \\ \end{cases}$

小數(shù)與分數(shù)互化:

(1)有限小數(shù)化為分數(shù)
(2)純循環(huán)小數(shù)化為分數(shù):要用9怎囚，99，999 等這樣的數(shù)作為分母桥胞，其中“9”的個數(shù)等于一個循環(huán)節(jié)數(shù)字的個數(shù);一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字所組成的數(shù)恳守，就是這個分數(shù)的分子
(3)混循環(huán)小數(shù)化為分數(shù):分母要用9與0，其中“9”的個數(shù)等于一個循環(huán)節(jié)數(shù)字的個數(shù)贩虾，“0”的個數(shù)等于不循環(huán)的數(shù)字個數(shù);分子是不循環(huán)的數(shù)字與一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字所組成的數(shù)催烘，再減去不循環(huán)的數(shù)字.

倍減法解決小數(shù)轉(zhuǎn)分數(shù)：同時乘以1000變成有整數(shù)的部分
A=0.427 (27循環(huán))
1000A = 427.27
10A = 4.27
990A = 423

純循環(huán)： $0.45454545...$ = $\frac{45}{99}$

混循環(huán)： $0.457575757...$ = $\frac{457-4}{990}$

6.奇數(shù)、偶數(shù)

奇數(shù)：不能被 2 整除的數(shù)缎罢，可以表示為 2k+1,k為整數(shù)
偶數(shù)：能被2整除的數(shù)伊群，可以表示為2k，k為整數(shù)

a^奇數(shù)<0 <=> a<0
a^偶數(shù) >= 0

性質(zhì)：

奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù);
奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù);
偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù);
奇數(shù)x奇數(shù)=奇數(shù);
奇數(shù)x偶數(shù)=偶數(shù);
偶數(shù)x偶數(shù)=偶數(shù).
若兩個數(shù)相加結(jié)果為偶數(shù)策精，則相加兩個數(shù)同奇同偶
若乘積為偶數(shù)舰始，則相乘數(shù)中至少一個為偶數(shù)!
若兩個數(shù)相加減結(jié)果為奇數(shù)，則相加減兩數(shù)必為一奇一偶
若乘積為奇數(shù)咽袜，則相乘數(shù)必定同為奇數(shù)
兩個數(shù)的和丸卷、差奇偶性一致
aⁿ與a的奇偶性一致（n∈Z+）
三個數(shù)相加若和為奇數(shù)，則可能為1奇2偶或3奇!
三個數(shù)相加若和為偶數(shù)询刹，則可能為2奇1偶或3偶
若奇數(shù)個相鄰整數(shù)谜嫉，則相加的和不固定奇偶
若偶數(shù)個相鄰整數(shù)，學(xué)會兩兩看待凹联，若組合之后為奇數(shù)個組合沐兰，則和為奇數(shù);若組合之后為偶數(shù)個組合，則和為偶數(shù)
奇數(shù)個奇數(shù)相加匕垫，和為奇數(shù);偶數(shù)個奇數(shù)相加僧鲁，和為偶數(shù)
相鄰整數(shù)乘積必為偶數(shù)

0是偶數(shù):兩個相鄰整數(shù)必為一奇一偶,

變化率

連續(xù)變化率公式:原值為a，變化率為p，則連續(xù)變化k次后的值為 a(1+p)^k.

7.質(zhì)數(shù)寞秃、合數(shù)

$正整數(shù)Z+= \begin{cases} 0\\ 質(zhì)數(shù)\\ 合數(shù)\\ \end{cases}$
1.質(zhì)數(shù)
如果一個大于1的正整數(shù)斟叼，只能被1和它本身整除，那么這個正整數(shù)叫作質(zhì)數(shù)(質(zhì)數(shù)也稱素數(shù)).如2春寿，3朗涩，5，7，…
20以內(nèi)質(zhì)數(shù)（8個）：2，3源哩，5，7识腿，11，13造壮，17渡讼，19，
50以內(nèi)（15個）：23耳璧，29成箫，31，37旨枯，41蹬昌，43，47
100以內(nèi)（25個）：53攀隔，59皂贩，61，67竞慢，71先紫，73治泥，79筹煮，83，89居夹，97

質(zhì)數(shù)之和：
如果和為奇數(shù)：則其中必有唯一偶質(zhì)數(shù)2
如果和為偶數(shù)败潦，則兩個質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。

質(zhì)數(shù)之積：
積為偶准脂，則必有2.
積為奇劫扒，則為兩個奇質(zhì)數(shù)

2.合數(shù)
一個正整數(shù)除了能被1和它本身整除外，還能被其他的正整數(shù)整除狸膏，這個正整數(shù)叫作合數(shù).如4沟饥，6，8，9.

連續(xù)合數(shù)

最小的連續(xù)2個合數(shù):8贤旷、9
最小的連續(xù)3個合數(shù):8广料、9、10
最小的連續(xù)4個合數(shù):24幼驶、25艾杏、26、27

3.重要性質(zhì)
(1)質(zhì)數(shù)和合數(shù)都在正整數(shù)范圍盅藻，且有無數(shù)多個.1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù).
(2)2是唯一的既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)的整數(shù)购桑，即是唯一的偶質(zhì)數(shù),大于2的質(zhì)數(shù)必為奇數(shù).
質(zhì)數(shù)中只有一個偶數(shù) 2，最小的質(zhì)數(shù)為 2.
(3)最小的合數(shù)為4:任何合數(shù)都可以分解為兩個或兩個以上質(zhì)數(shù)的積氏淑，能寫成兩個或兩個以上質(zhì)數(shù)的積的正整數(shù)就是合數(shù).
(4)如果兩個質(zhì)數(shù)的和或差是奇數(shù)勃蜘，那么其中必有一個是2;如果兩個質(zhì)數(shù)的積是偶數(shù)那么其中也必有一個是 2.

4.互質(zhì)數(shù)
公約數(shù)只有1的兩個數(shù)稱為互質(zhì)數(shù)，如4和9.

公約數(shù)尋找可以單獨對數(shù)進行質(zhì)因數(shù)分解假残，去看是否存在相同的質(zhì)因數(shù)元旬，不存在相同質(zhì)因數(shù)，則互質(zhì)!

注意：不一定是質(zhì)數(shù)才互質(zhì)

二守问、整除匀归、公約數(shù) 公倍數(shù)

1.定義

數(shù)的整除
當(dāng)整數(shù)a除以非零整數(shù)b，商正好是整數(shù)而無余數(shù)時耗帕，則稱a能被b整除或b能整除 a.
如 18 ÷6 =3穆端，故 18 能被6 整除.

余數(shù)原則:0≤余數(shù)<除數(shù)(非負)，余數(shù)是具有非負性的仿便。

2.常見整除的特點

能被2整除的數(shù)：個位數(shù)為0,2,4,6,8
能被3整除的數(shù)：各位數(shù)字之和能被3整除
能被4整除的數(shù)：末兩位（個位和十位）數(shù)字必能被4整除
1124=11*100+24
能被5整除的數(shù)：個位數(shù)字為0或5
23=2*10+3
能被6整除的數(shù)：同時滿足能被2和3整除的條件
能被8整除的數(shù)：末三位能被8整除
27184=27*1000+184
能被9整除的數(shù)：各位數(shù)字之和能被9整除
23547=2*10000+3*1000+5*100+4*10+7
= 2*(9999+1)+3*(999+1)+5*(99+1)+4*(9+1)+7
= 2*9999+3*999+5*99+4*9+ 2+3+5+4+7
能被10整除的數(shù)：個位數(shù)字為0
能被 11 整除的數(shù): 從右向左体啰，奇數(shù)位數(shù)字之和減去偶數(shù)位數(shù)字之和能被 11 整除(包括 0)

總結(jié)：

$2^n整除特性:末n位數(shù)字能被2^n整除$
$3^n整除特性:各位數(shù)字之和為3^n的倍數(shù)$
多個除數(shù)的整除特征:2、3嗽仪、4荒勇、5、6闻坚、7沽翔、8、9窿凤，只要滿足被除數(shù)為多個除數(shù)的公倍數(shù)即可

3.非整除

當(dāng)整數(shù)a除以非零整數(shù)b仅偎，商為整數(shù)，但余數(shù)r不為0時雳殊，稱為非整除橘沥，其形式為: a ÷ b = c···· r
如20 ÷ 3 = 6····2
為便于做題，可以寫成乘法夯秃，a =b x c + r
當(dāng)整數(shù)a除以非零整數(shù) b座咆，余數(shù)為r時痢艺，則a-r能被b整除.

要求余數(shù)小于除數(shù).當(dāng)余數(shù)為0時，就變成整除了.

非整除中：
一個除數(shù)時：被除數(shù) = 除數(shù)k+余數(shù)r
多個除數(shù)時：

同余：被除數(shù) = 多個除數(shù)的最小公倍數(shù)*k+余數(shù)r
不同余：被除數(shù) = 滿足條件的最小的數(shù)+多個除數(shù)的最小公倍數(shù)*k

一個數(shù)除以3余2介陶，除以5余3腹备。
a = 5k+3
根據(jù)除以3余2： $\frac{a}{3}=\frac{5k+3}{3}=\frac{3k+3+2k}{3}=k+1+\frac{2k}{3}$
所以k+1是商，2k就是余數(shù)（除不盡的）
k=1時為滿足條件最小的數(shù)
a=15k+8（滿足條件的最小的數(shù)）斤蔓，k∈z+
8是滿足條件的最小的數(shù)植酥，被除數(shù)= 最小公倍數(shù)*k+8

4.公倍數(shù)與公約數(shù)

1.倍數(shù)、約數(shù)
當(dāng)a能被b整除時弦牡，稱a是b的倍數(shù)友驮，b是a的約數(shù)

2.公約數(shù)和最大公約數(shù)
幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫作這幾個數(shù)的公約數(shù);其中最大的一個驾锰，叫作這幾個數(shù)的最大公約數(shù)卸留。

3.公倍數(shù)和最小公倍數(shù)
幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫作這幾個數(shù)的公倍數(shù);其中最小的一個椭豫，叫作這幾個數(shù)的最小公倍數(shù).

4.重要公式
如果用a和b表示兩個自然數(shù)耻瑟，那么這兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系是:
（a,b）x [a，b] = a x b赏酥，其中(a喳整，b)表示最大公約數(shù)，[a裸扶，b]表示最小公倍數(shù)

本公式只適用于兩個整數(shù)框都，不能用于多個整數(shù)

a = (a,b)k1
b = (a,b)k2
a x b = (a,b)k1*(a,b)k2 = （a,b）x [a，b]
得到：k1* k2 = [a呵晨，b] /（a,b）
k1和k2互質(zhì)：k1*k2 = [a魏保，b] /（a,b）

5.求最小公倍數(shù)

1.公式法：
兩個數(shù)的乘積=兩個數(shù)的最大公約數(shù)最小公倍數(shù)
15*18=(15,18) [15,18] ，（）是代表兩數(shù)最大公約數(shù)摸屠，[]是代表兩數(shù)最小公倍數(shù)谓罗。
所以求最小公倍數(shù)[15,18]=1518/(15,18)，那最大公約數(shù)(15,18)怎么求呢季二？
最大公約數(shù)就是兩個數(shù)共有約數(shù)中最大的檩咱，15、18共有約數(shù)只是3戒傻，故最小公倍數(shù)=1518/3=90税手。

2.分解質(zhì)因數(shù)法：
就是把幾個數(shù)的質(zhì)因數(shù)寫出來蜂筹，最小公倍數(shù)等于所有質(zhì)因數(shù)的乘積（如果有質(zhì)因數(shù)相同需纳，則比較兩數(shù)中哪個數(shù)該質(zhì)因數(shù)的個數(shù)較多，乘較多的次數(shù)）艺挪。
45和21的最小公倍數(shù)：
45=59=533
21=37
最小公倍數(shù) = 533*7=315

3.短除法：
約數(shù)相乘就是最大公約數(shù)
把余數(shù)也相乘就是小公倍數(shù)

15=35不翩，18=36兵扬，它們的質(zhì)因數(shù)分別是3和5、3和6口蝠，那么相同的質(zhì)因數(shù)是3器钟，都只有1次。

那么妙蔗，最小公倍數(shù)=356=90

兩個數(shù)的乘積=最大公約數(shù)*最小公倍數(shù)

如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)為7傲霸，那么可以設(shè)這兩個數(shù)為 7a 7b（a和b互為質(zhì)數(shù)）；有7a7b = 最大公約數(shù)最小公倍數(shù)

a眉反、b除以m昙啄，n都有余數(shù)q；表示 a-q能同時被m寸五，n整除梳凛，有：
mn的最小公倍數(shù)為z，
a-q = kz

6.求約數(shù)的個數(shù)

將所給的數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)： $M=m_{1}^{k1}m_{2}^{k2}···m_{n}^{kn}（m_{1}梳杏，m_{2}韧拒，···，m_{n}均為質(zhì)數(shù)）十性，則M的正約數(shù)個數(shù)為$
$（k_{1}+1）（k_{2}+1）···（k_{n}+1）$

三叛溢、比與比例

1.正比

若y=kx(k不為零)，則稱y與x成正比劲适，k稱為比例系數(shù).

如果兩個變量相除等于非零常數(shù)雇初，則兩者成正比.

注意并不是x和y同時增大或減小才稱為正比.比如當(dāng)k<0 時,x增大時，y反而減小.

2.反比

若y=k/x(k不為零)减响，則稱y與x成反比靖诗，k稱為比例系數(shù).
本質(zhì) 如果兩個變量相乘等于非零常數(shù)，則兩者成反比.

若兩個變量相除為定值支示，則兩者成正比刊橘；
若兩個變量相乘為定值，則兩者成反比颂鸿。

此外促绵，若y與x成正比，則y與1/x成反比嘴纺，這就是正比與反比的相互轉(zhuǎn)化.

注意：
－正比和反比不要和單調(diào)性混合败晴，正反比只是表示變量關(guān)系
－通過正反比與比例系數(shù)去表達變量
－正比的本質(zhì)是相除!反比的本質(zhì)是相乘
－正比時，比例系數(shù)可看作商栽渴；反比時尖坤，比例系數(shù)可看作乘積

３.比例

1.比例
相等的比稱為比例，記作a:b=c:d或a/b =c/d闲擦，其中a和d稱為比例外項,b和c稱為比例內(nèi)項.
口訣:比例中慢味，外項之積等于內(nèi)項之積 ad=bc

2.比例中項
當(dāng)a:b=b:d時场梆，稱b為a和d的比例中項，顯然當(dāng)a纯路，b,d均為正數(shù)時,b是a和d的幾何平均值.

3.比例的基本性質(zhì)

a:b=c:d => ad = bc
a:b=b:d=> b²=ad

注意：比例中的各項均為非0值

4.合比定理

$\frac{a}或油=\frac{c}3bxlpvd\Longleftrightarrow\frac{a+b} = \frac{c+d}jjplrb1$

推導(dǎo)： $\frac{a}驰唬+1=\frac{c}3h9zd9p+1$

5.分比定理

$\frac{a}顶岸=\frac{c}tzrnlp9\Longleftrightarrow\frac{a-b} = \frac{c-d}hfdzdph$

推導(dǎo)： $\frac{a}叫编-1=\frac{c}9lp917l-1$

6.合分比定理

$\frac{a}蜕琴=\frac{c}ljntzdx\Longleftrightarrow\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$

7.等比定理

$\frac{a}=\frac{c}tjxlpjd=\frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}（b±d\neq0）$
$\frac{a}宵溅=\frac{c}jnrvztp=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f} （b+d+f\neq0）$

不變量法：

當(dāng)某個增多凌简，或者減少；找不變的那個的量的最小公倍數(shù)恃逻，讓比例擴大對應(yīng)倍數(shù)雏搂。
當(dāng)一個增多，一個減少時寇损，總量不變時凸郑，要統(tǒng)一總量，就是讓兩個比例的和求最小公倍數(shù)矛市，讓比例擴大對應(yīng)倍數(shù)芙沥。
當(dāng)同步增多，同步減少時浊吏，差值不變而昨，統(tǒng)一變量要統(tǒng)一差值，找差值的最小公倍數(shù)找田，讓比例同步擴大對應(yīng)的倍數(shù)歌憨。

四、絕對值

1.定義

正數(shù)的絕對值是他本身
負數(shù)的絕對值是他的相反數(shù)
零的絕對值是0

2.數(shù)學(xué)描述

實數(shù)a的絕對值定義為：
$|a| = \begin{cases} a墩衙，a\geq0\\ -a务嫡，a<0\\ \end{cases}$

3.幾何描述

絕對值函數(shù)二維空間畫圖
三步法:
①找使絕對值內(nèi)部為0的點
②從左向右將零點相連
③看|x|系數(shù)：系數(shù)首先要把內(nèi)部系數(shù)變?yōu)檎?然后再求和或者差看是否大于零還是小于零

>0 由內(nèi)而外向上擴展
=0 水平劃線
<0 由內(nèi)而外向下擴展

|x+1|-|2x-3|
1-2 = -1 <0

|3-5x|+|4x-2|
變?yōu)閨5x-3|+|4x-2|
5+4 = 9>0

①|x|的幾何意義
表示在數(shù)軸上x點到原點的距離值

|a-b|表達數(shù)軸上a，b兩點的距離

y=|x|：

image.png

②|x-a|的幾何意義
表示在數(shù)軸上x點到a點的距離值漆改；
如 x+2 表示x到 -2 的距離
y=|x-2|

image.png

③|x-a|+|x-b|的幾何意義
表示在數(shù)軸上x點到a點與b點的距離之和心铃；
如|x+2|+|x-4|表示x到 -2 與4 的距離之和
y=|x-(-2)|+|x-4|

image.png

函數(shù)角度：
圖像是碗狀的，有最小值|a-b|挫剑，沒有最大值

方程角度：討論解的個數(shù)
|x-a|+|x-b|=c

c>|a-b|：兩個解
c=|a-b|：無窮多個解
c<|a-b|：無解

不等式角度

要使|x-a|+|x-b|>c恒成立去扣，c<|a-b|
要使|x-a|+|x-b|<c有解，c>|a-b|
要使|x-a|+|x-b|<c無解暮顺，c<=|a-b|

④|x-a| +|x-b| +|x-c| 的幾何意義
表示在數(shù)軸上x點到a點厅篓、b點與c點的距離之和秀存；
如|x+2|+|x-4| +|x-6| 表示x到-2捶码、4 與6 的距離之和羽氮。

image.png

函數(shù)角度：
三個折點，當(dāng)x=b時有最小值|a-c|惫恼，沒有最大值档押；

方程角度：討論解的個數(shù)
|x-a|+|x-b| +|x-c| = d

d>|a-c|：兩個解
d=|a-c|：一個解
d<|a-c|：無解

不等式角度

要使|x-a|+|x-b| +|x-c|>d恒成立，d<|a-c|
要使|x-a|+|x-b| +|x-c|<d有解祈纯，d>|a-c|
要使|x-a|+|x-b| +|x-c|<d無解令宿，d<=|a-c|

⑤|x-a|-|x-b|的幾何意義
表示在數(shù)軸上x點到a點與b點的距離之差；
如|x+2|-|x-4| 表示x到-2 與4 的距離之差

image.png

函數(shù)角度：
存在最小值 -|a-b|腕窥，也存在最大值 |a-b|粒没；最小值與最大值互為相反數(shù)

方程角度：討論解的個數(shù)
|x-a|-|x-b|= c

c>|a-b|：無解
c=|a-b|：無窮多解
-|a-b| <c < |a-b|：一個解
c=-|a-b|：無窮多解
c<-|a-b|：無解

不等式角度

要使|x-a|-|x-b|>c恒成立，-|a-b|>c
要使|x-a|-|x-b|<c恒成立簇爆，|a-b|<c
要使|x-a|-|x-b|>c有解癞松，c<|a-b|
要使|x-a|-|x-b|<c有解，c>-|a-b|
要使|x-a|-|x-b|>c無解入蛆，c>= |a-b|
要使|x-a|-|x-b|<c無解响蓉，c<-|a-b|

4.絕對值的性質(zhì)

1.對稱性
|-a| = |a|，互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等

2.等價性
根號與平方
$\sqrt{a^2} = |a| = \begin{cases} a哨毁，a\geq0\\ -a枫甲，a<0\\ \end{cases}$

去絕對值的平方： $|a|^2 = a^2$

3.非負性
|a|>=0，任何實數(shù)a的絕對值非負.

具有非負性的數(shù)： $a^2扼褪，a^4想幻，\sqrt{a}，\sqrt[4]{a}$

根號的雙重非負性：
$\sqrt{a}=> \begin{cases} a\geq0\\ \sqrt{a}\geq0\\ \end{cases}$

當(dāng)兩個互為相反數(shù)的代數(shù)式出現(xiàn)在根號內(nèi)部话浇，則代數(shù)式為0：
當(dāng) $\sqrt{a}$ 與 $\sqrt{-a}$ 同時出現(xiàn)举畸，則 $a = 0$

對數(shù)的雙重非負性：
$\log_a b=> \begin{cases} a>0\\ b>0\\ \end{cases}$

若干個具有非負性的數(shù)之和等于零時，則每個非負數(shù)應(yīng)該為零凳枝；有限個非負數(shù)之和仍未非負數(shù)抄沮。

4.自比性
$-|a|\leq a \leq |a|$ ，推而廣之：
$\frac{|x|}{x} = \frac{x}{|x|} = \begin{cases} 1岖瑰，x>0\\ -1叛买，x<0\\ \end{cases}$

自然數(shù)的絕對值等于他本身
無理數(shù)的絕對值必大于0

5.求絕對值加和最小值問題

奇中點，偶中段：
當(dāng) x=1時蹋订，|x-1| 取最小值為 0率挣；
當(dāng) 1<=x<=2 時，|x-1|+|x-2| 取最小值為 1露戒；
當(dāng) x=2 時椒功，|x-1|+|x-2|+|x-3| 取最小值為 2捶箱；
當(dāng) 2<=x<=3 時，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4| 取最小值為 4动漾；
當(dāng) x=3 時丁屎，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5| 取最小值為 6；

6.絕對值三角不等式

①基本形式
三角不等式： $||a|-|b||\leq|a±b|\leq|a|+|b|$

②等號成立條件

表達式	成立條件	示例
$\|a\|+\|b\|=\|a+b\|$	$ab\geq0$	$\|-3\|+\|-5\|=\|-3-5\|$
$\|a\|+\|b\|=\|a-b\|$	$ab\leq0$	$\|3\|+\|-5\|=\|3+5\|$
$\|\|a\|-\|b\|\|=\|a+b\|$	$ab\leq0$	$\|\|-5\|-\|3\|\|=\|-5+3\|$
$\|\|a\|-\|b\|\|=\|a-b\|$	$ab\geq0$	$\|\|-5\|-\|-3\|\|=\|-5+3\|$

等式左右兩側(cè)加減同號旱眯，則ab同號
等式左右兩側(cè)加減互異晨川，則ab異號

③大小成立條件

表達式	成立條件	示例
$\|a\|+\|b\|>\|a+b\|$	$ab<0$	$\|-3\|+\|5\|>\|-3+5\|$
$\|a\|+\|b\|>\|a-b\|$	$ab>0$	$\|-3\|+\|-5\|>\|-3+5\|$
$\|\|a\|-\|b\|\|<\|a+b\|$	$ab>0$	$\|\|-5\|-\|-3\|\|<\|-5-3\|$
$\|\|a\|-\|b\|\|<\|a-b\|$	$ab<0$	$\|\|-5\|-\|3\|\|<\|-5-3\|$

計算技巧

總結(jié):關(guān)于11的乘法計算
原則:任何兩位以上數(shù)字x11，首尾兩個數(shù)字拉開删豺，中間數(shù)位數(shù)字兩兩相加共虑，逢十進一依次計算

最后編輯于：2024.08.26 20:41:58

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$\|\|a\|-\|b\|\|=\|a+b\|$	$ab\leq0$	$\|\|-5\|-\|3\|\|=\|-5+3\|$
$\|\|a\|-\|b\|\|=\|a-b\|$	$ab\geq0$	$\|\|-5\|-\|-3\|\|=\|-5+3\|$

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$\|a\|+\|b\|>\|a-b\|$	$ab>0$	$\|-3\|+\|-5\|>\|-3+5\|$
$\|\|a\|-\|b\|\|<\|a+b\|$	$ab>0$	$\|\|-5\|-\|-3\|\|<\|-5-3\|$
$\|\|a\|-\|b\|\|<\|a-b\|$	$ab<0$	$\|\|-5\|-\|3\|\|<\|-5-3\|$

算術(shù)

一明场、整數(shù)否过、分數(shù)午笛、小數(shù)

1.有理數(shù)Q

2.無理數(shù)

3.整數(shù)

4.分數(shù)

5.小數(shù)

小數(shù)與分數(shù)互化:

6.奇數(shù)、偶數(shù)

變化率

7.質(zhì)數(shù)寞秃、合數(shù)

二守问、 整除匀归、公約數(shù) 公倍數(shù)

1.定義

2.常見整除的特點

3.非整除

4.公倍數(shù)與公約數(shù)

5.求最小公倍數(shù)

6.求約數(shù)的個數(shù)

三叛溢、比與比例

1.正比

2.反比

３.比例

4.合比定理

5.分比定理

6.合分比定理

7.等比定理

四、絕對值

1.定義

2.數(shù)學(xué)描述

3.幾何描述

4.絕對值的性質(zhì)

5.求絕對值加和最小值問題

6.絕對值三角不等式

計算技巧

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