描述性統(tǒng)計

數(shù)據(jù)分布的特征主要從三個方面進行測度和描述：一是分布的集中趨勢跪帝，反應(yīng)了各數(shù)據(jù)向中心值靠攏或聚集的程度。二是分布的離散程度：反應(yīng)個數(shù)據(jù)遠離中心值的趨勢回论。三是分布的形狀:反應(yīng)數(shù)據(jù)分布的偏態(tài)和峰態(tài)蹦漠。
1.1 集中趨勢的度量
集中趨勢（central tendency）是指某一組數(shù)據(jù)向某一中心點靠攏的程度蹭睡，它反映了一組數(shù)據(jù)的中心點所在。低層次的數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值適用于高層次的數(shù)據(jù)枢舶，反之不可懦胞。

1.1.1 分類的數(shù)據(jù)：眾數(shù)
眾數(shù)（mode）是一組數(shù)據(jù)中最多出現(xiàn)的變量值。主要用于測度分類數(shù)據(jù)的集中趨勢凉泄。也可以作為順序數(shù)據(jù)以及數(shù)值型數(shù)據(jù)集中趨勢的測度值躏尉。一般情況下：只有數(shù)據(jù)量大的情況下，眾數(shù)才有意義后众。并且不受極端值的影響

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1.1.2順序數(shù)據(jù)：中位數(shù)和分位數(shù)
一組數(shù)據(jù)中胀糜，可以找出某個位置上的數(shù)據(jù)。

• 中位數(shù)（median）是一組數(shù)據(jù)排序后處于中間位置上的變量值吼具。適用于測度順序數(shù)據(jù)的集中趨勢僚纷，和數(shù)值型數(shù)據(jù)的集中趨勢，不適用于分類數(shù)據(jù)拗盒。

  
  
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• 四分位數(shù) （quartile）也成四分位點怖竭，它是一組數(shù)據(jù)排序后處于25%上的位置和75%位置上的值。位置確定有如下幾種：

  
  
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  Excel中可以使用QUARTILE函數(shù)計算一組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)陡蝇。
  算法：QUARTILE.INC（array痊臭，quart）

1.1.3 數(shù)值型數(shù)據(jù)：平均數(shù)
平均數(shù)也稱均值（mean），它是一組數(shù)據(jù)相加后除以一組數(shù)據(jù)的個數(shù)的結(jié)果登夫。
平均數(shù)是集中趨勢的測度值广匙，適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，而不適用于順序數(shù)據(jù)和分類數(shù)據(jù)恼策。

1. 簡單平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)
   根據(jù)未經(jīng)分組數(shù)據(jù)計算的平均數(shù)稱之為簡單平均數(shù)（simple mean）

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• 根據(jù)分組數(shù)據(jù)計算的平均數(shù)稱之為加權(quán)平均數(shù)（weighted mean）

  
  
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  2.特殊的平均數(shù)：幾何平均數(shù)

• 幾何平均數(shù)（geometric mean） 是n個變量值乘積的n次方根鸦致，用G表示。
  當(dāng)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)零值或負值時涣楷，不宜計算集合平均數(shù)分唾。主要用于計算平均比率。

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  Excel中GEOMEAN函數(shù)可以計算數(shù)值型的幾何平均數(shù)
  語法：GEOMEAN（number1……）
  當(dāng)所平均的各比率數(shù)值差別不大時狮斗，算數(shù)平均和幾何平均結(jié)果差別不大绽乔，反之差別明顯。

1.1.4 眾數(shù)碳褒，中位數(shù)折砸，平均數(shù)的差別

• 關(guān)系：
  分布角度：眾數(shù)是數(shù)據(jù)分布的最高峰值看疗，中位數(shù)處于數(shù)據(jù)中中間位置上的值，平均數(shù)是算數(shù)平均睦授。
  對于單峰分布而言：如果數(shù)據(jù)對稱：眾數(shù)=平均數(shù)=中位數(shù)两芳。
  如果左偏分布：會出現(xiàn)極小值，關(guān)系為：平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)去枷。
  如果右偏分布 ：眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù)盗扇。

• 應(yīng)用場合：
  眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)分布的峰值，不受極值影響沉填。缺點是不具有唯一性疗隶。適合作為分類數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值。

  中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間位置上的值翼闹，不受極端值影響斑鼻，適合順序數(shù)據(jù)的測度值。

  平均數(shù)：針對數(shù)值型數(shù)據(jù)猎荠，是應(yīng)用最廣泛的集中趨勢測度值坚弱。缺點容易受極端值影響。

  
  
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1.2 離散程度的度量

數(shù)據(jù)的離散程度是數(shù)據(jù)分布的另一個重要特征关摇。反應(yīng)個變量值原理中心值的程度荒叶。越大，集中趨勢測度值代表性就越差输虱；越小些楣，代表性就越好。根據(jù)不同數(shù)據(jù)類型還有的異眾比率宪睹，四分位差愁茁，方差和標(biāo)準(zhǔn)差。還有極差亭病，平均差鹅很，和離散系數(shù)。

1.2.1 分類依據(jù) ：異眾比率（variation ratio）
是指非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比例罪帖。用Vr表示

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異眾比率主要衡量眾數(shù)對一組數(shù)據(jù)的代表程度促煮。越大說明，非眾數(shù)組的頻數(shù)越大整袁，眾數(shù)的代表性越差菠齿。反之，越好葬项。屬于順序和數(shù)值型數(shù)據(jù)也可以計算泞当。

1.2.2順序數(shù)據(jù)：四分位差（quartile deviation）

也稱四分間距（inner -quartile range）迹蛤，是上四分位數(shù)和下四分位數(shù)的差值民珍。Qd表示
Qd = Qu-Ql
其反映了50%的離散程度襟士，數(shù)值越小，說明中間數(shù)據(jù)嚷量；反之陋桂，分散。一定程度上說明了中位數(shù)的影響蝶溶，不適合分類數(shù)據(jù)嗜历。

1.2.3 數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差和標(biāo)準(zhǔn)差

• 極差：一組數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差。也稱全距抖所。用R表示梨州。
  R = max（Xi）-min（Xi）
  容易受極端值影響，不能反映中間數(shù)據(jù)田轧。

• 平均差（mean deviation）
  也稱平均絕對差（mean absolute deviation）暴匠。是個變量值與平均數(shù)差的絕對值。

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  Excel的AVEDEV（number……）可以計算平均差傻粘。

能全面反映數(shù)據(jù)的離散程度每窖。越大說明離散程度越大；反之弦悉，越小窒典。

• 方差和標(biāo)準(zhǔn)差
  方差（variance）是各變量值與平均數(shù)差平方的平均數(shù)。
  標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation）是方差的平方根稽莉。

能更好的反映數(shù)據(jù)的離散程度瀑志。

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Excel的統(tǒng)計函數(shù)STDEV(number……)
總體數(shù)據(jù)：STDEVP（number……）

自由度（degree of freedom）：樣本方差是用樣本數(shù)據(jù)減1后去除離差的平方和。其中n-1稱為自由度污秆。

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• 相對位置的度量
  1.標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)（standard score）：變量值與其平均數(shù)的差除以標(biāo)準(zhǔn)差后室。也稱標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)。設(shè)標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)為z
  

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  標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)給了一組數(shù)據(jù)中的相對位置混狠。

1.2.4 相對離散程度：離散系數(shù)

離散系數(shù)：也稱變異系數(shù)岸霹，它是一組數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差和平均數(shù)之比。

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1.3 偏態(tài)和峰態(tài)的度量

1.3.1 偏態(tài)及其測度

偏態(tài)（skewness）：是對數(shù)據(jù)分布對稱性的測度将饺。測度偏態(tài)的統(tǒng)計量是偏態(tài)系數(shù)（coefficient of skewness ）贡避。記作 SK。

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