橢圓：2020年全國(guó)卷C題20 (12分)
已知橢圓 的離心率為
赶袄，
分別為
的左遗增、右頂點(diǎn).
（1）求 的方程夺鲜；
（2）若點(diǎn) 在
上挖帘，點(diǎn)
在直線
上镐捧，且
淹冰，求
的面積逢净。
【解答問(wèn)題1】
依題意可知：橢圓焦點(diǎn)在 軸上毁习，
代表短半軸烤送。
的方程為：
【解答問(wèn)題2】
兩點(diǎn)的坐標(biāo)為：
直線 的方程可設(shè)為：
兩點(diǎn)滿足以下方程組：
消元后得：
點(diǎn) 在直線
上寒随，可設(shè)其坐標(biāo)為：
解得：
關(guān)于 的面積，存在兩種可能性帮坚。如下圖所示妻往，
如果點(diǎn) 在
之上，則
如果點(diǎn) 在
之下试和，則
定點(diǎn) 的坐標(biāo)為：
.
（1）若 , 則
三個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：
（2）若 , 則
三個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：
與
對(duì)稱讯泣；
與
對(duì)稱。不需要單獨(dú)計(jì)算阅悍。
結(jié)論： 的面積等于
.
【提煉與提高】
『求弦長(zhǎng)』
求弦長(zhǎng)是解析幾何中的常見(jiàn)問(wèn)題好渠。假如直線的 截距為
昨稼，可設(shè)其方程為
在本題中， 截距等于
拳锚，故設(shè)其方程為
靈活應(yīng)用斜截式的兩種形式假栓，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，提高解題效率霍掺。
『如何利用垂直關(guān)系』
若兩線垂直匾荆，則其稅率之積等于 . 這是解析幾何中的一個(gè)常用結(jié)論。需要注意的是：直線
方程中的
等于斜率的倒數(shù)杆烁。
『求三角形的面積』
這個(gè)也是解析幾何中的常見(jiàn)問(wèn)題棋凳，要根據(jù)具體情況靈活處理。
本題中连躏，假如計(jì)算 長(zhǎng)度剩岳，再計(jì)算點(diǎn)
與
的距離，也是可以的入热。但我們采用了一種間接求法拍棕。
先求出兩個(gè)三角形和一個(gè)梯形的面積，再利用幾個(gè)幾何圖形的和差關(guān)系求出 的面積勺良。
這種方法可以稱為「割補(bǔ)法」绰播，在小學(xué)階段就已經(jīng)接觸，高中依然有效尚困。
