1. 線性代數(shù)的核心意義
1.1. 提供了?種看待世界的抽象視角:萬事萬物都可以被抽象成某些特征的組合晴圾，并在由預(yù)置規(guī)則定義的框架之下以靜態(tài)和動態(tài)的方式加以觀察黄绩。
2. 集合
2.1. 定義
是由某些特定對象匯總而成的集體饮六。集合中的元素通常會具有某些共性，因而
可以用這些共性來表示
例子
對于集合 { 蘋果苛蒲，橘子卤橄，梨 } 來說， 所有元素的共性是它們都是水果;
對于集合 {牛臂外，馬窟扑，羊} 來說，所有元素的共性是它們都是動物
數(shù)字或符號
“蘋果”或是“怕┙。”這樣的具體概念顯然超出了數(shù)學(xué)的處理范圍嚎货，因而集合的元
素需要進(jìn)行進(jìn)一步的抽象——用數(shù)字或符號來表示
? 如此一來，集合的元素既可以是單個(gè)的數(shù)字或符號蔫浆，也可以是多個(gè)數(shù)字或符
? 號以某種方式排列形成的組合殖属。
2.2. 標(biāo)量
在線性代數(shù)中，由單獨(dú)的數(shù) a 構(gòu)成的元素被稱為標(biāo)量:一個(gè)標(biāo)量 a可以是整數(shù)瓦盛、實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)
2.3. 向量
如果多個(gè)標(biāo)量 a1,a2,?,an 按一定順序組成一個(gè)序列洗显，這樣的元素就被稱為向量
顯然，向量可以看作標(biāo)量的擴(kuò)展原环。原始的一個(gè)數(shù)被替代為一組數(shù)挠唆，從而帶來了
維度的增加，給定表示索引的下標(biāo)才能唯一地確定向量中的元素嘱吗。
2.4. 矩陣
每個(gè)向量都由若干標(biāo)量構(gòu)成玄组，如果將向量的所有標(biāo)量都替換成相同規(guī)格的向量，
得到的就是如下的矩陣
描述矩陣的?對重要參數(shù)是特征值和特征向量谒麦，對于給定的矩陣A俄讹，假設(shè)其特征值為λ，特征向量為 x則它們之間的關(guān)系如下:Ax=λx
矩陣不僅能夠描述變化弄匕，也可以描述參考系本身颅悉。
引用網(wǎng)絡(luò)上一個(gè)精當(dāng)?shù)念惐?表達(dá)式 Ax 就相當(dāng)于對向量 x做了一個(gè)環(huán)境聲明，用于度量它的參考系是 A
矩陣特征值和特征向量
? 動態(tài)意義在于表示了變化的速度和方向
? 果把矩陣所代表的變化看作奔跑的人迁匠，那么矩陣的特征值就代表了他奔跑的
? 速度剩瓶，特征向量代表了他奔跑的方向
特征值分解
? 求解給定矩陣的特征值和特征向量的過程求解給定矩陣的特征值和特征向量
? 的過程叫做特征值分解
2.5. 張量
相對于向量，矩陣同樣代表了維度的增加城丧，矩陣中的每個(gè)元素需要使用兩個(gè)索
引(而非一個(gè))確定
同理延曙，如果將矩陣中的每個(gè)標(biāo)量元素再替換為向量的話，得到的就是張量亡哄。直
觀地理解枝缔，張量就是高階的矩陣
如果把三階魔方的每一個(gè)小方塊看作一個(gè)數(shù)风瘦，它就是個(gè) 3×3×3 的張量催蝗，3×3的矩陣則恰是這個(gè)魔方的一個(gè)面，也就是張量的一個(gè)切片。相比于向量和矩陣呢诬，張量是更加復(fù)雜晌梨，直觀性也更差的概念中跌。
2.6. 應(yīng)用
計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)條件
向量和矩陣不只是理論上的分析工具，也是計(jì)算機(jī)工作的基礎(chǔ)條件
人類能夠感知連續(xù)變化的大千世界发钝，可計(jì)算機(jī)只能處理離散取值的二進(jìn)制信
息，因而來自模擬世界的信號必須在定義域和值域上同時(shí)進(jìn)行數(shù)字化痛悯，才能
被計(jì)算機(jī)存儲和處理垮衷。
?線性代數(shù)是用虛擬數(shù)字世界表示真實(shí)物理世界的工具仰迁。
? 計(jì)算機(jī)存儲
? 標(biāo)量占據(jù)的是零維數(shù)組;向量占據(jù)的是一維數(shù)組，
? 例如語音信號;矩陣占據(jù)的是二維數(shù)組顽分，例如灰度圖像;張量占據(jù)的是三維
乃至更高維度的數(shù)組徐许，例如 RGB 圖像和視頻。
向量的實(shí)質(zhì)是 n 維線性空間中的靜止點(diǎn)(向量)矩陣的特征值和特征向量描述了變化的速度與方向卒蘸。(矩陣)
3. 特定的數(shù)學(xué)語言
3.1. 范數(shù)
它常常被用來度量某個(gè)向量空間(或矩陣)中的每個(gè)向量的長度或大小雌隅。
L1范數(shù)計(jì)算的是向量所有元素絕對值的和，L2范數(shù)計(jì)算的是通常意義上的向量長度，
L∞ 范數(shù)計(jì)算的則是向量中最大元素的取值3.2. 內(nèi)積
范數(shù)計(jì)算的是單個(gè)向量的尺度恰起，內(nèi)積計(jì)算的則是兩個(gè)向量之間的關(guān)系修械。
兩個(gè)相同維數(shù)向量內(nèi)積的表達(dá)式為?x,y?=∑ixi?yi=x·y=x1y1+x2y2+......+xnyn
在二維空間上，這意味著兩個(gè)向量的夾角為 90度检盼，即相互垂直祠肥。而在高維空間上，這種關(guān)系被稱為正交梯皿。如果兩個(gè)向量正交，說明他們線性無關(guān)县恕，相互獨(dú)立东羹，互不影響。
內(nèi)積能夠表示兩個(gè)向量之間的相對位置忠烛，即向量之間的夾角属提。一種特殊的情況
是內(nèi)積為 0，即 ?x,y?=0
3.3. 線性空間
如果有一個(gè)集合美尸，它的元素都是具有相同維數(shù)的向量(可以是有限個(gè)或無限個(gè))
并且定義了加法和數(shù)乘等結(jié)構(gòu)化的運(yùn)算冤议，這樣的集合就被稱為線性空間
在線性空間中，任意一個(gè)向量代表的都是 n 維空間中的一個(gè)點(diǎn);反過來师坎，
空間中的任意點(diǎn)也都可以唯一地用一個(gè)向量表示恕酸。兩者相互等效。
線性空間中胯陋，變化的實(shí)現(xiàn)有兩種方式:
一是點(diǎn)本身的變化
在第一種方式中蕊温，使某個(gè)點(diǎn)發(fā)生變化的方法是用代表變化的矩陣乘以代表
對象的向量
二是參考系的變化
可是反過來，如果保持點(diǎn)不變遏乔，而是換一種觀察的角度义矛，得到的也將是不
同的結(jié)果，正所謂“橫看成嶺側(cè)成峰盟萨，遠(yuǎn)近高低各不同”凉翻。
在這種情況下，矩陣的作用就是對正交基進(jìn)行變換捻激。因此制轰，對于矩陣和向
量的相乘，就存在不同的解讀方式:Ax=y
表達(dá)式既可以理解為向量 x 經(jīng)過矩陣 A 所描述的變換铺罢，變成了向量 y;
也可以理解為一個(gè)對象在坐標(biāo)系 A 的度量下得到的結(jié)果為向量 x
3.4. 內(nèi)積空間
定義了內(nèi)積運(yùn)算的線性空間則被稱為內(nèi)積空間
3.5. 正交基
在線性代數(shù)中艇挨，一個(gè)內(nèi)積空間的正交基(orthogonal
basis)是元素兩兩正交的基。稱基中的元素為基向量
范數(shù)和內(nèi)積能夠處理這些表示特征的數(shù)學(xué)模型韭赘，進(jìn)而提取出原始對象或原始行為
中的隱含關(guān)系缩滨。(范數(shù), 內(nèi)積)
線性變換描述了向量或者作為參考系的坐標(biāo)系的變化，可以用矩陣表示(線性空
間)
