這一次閱讀守伸，把第一卷的48個(gè)命題平均分成三個(gè)部分绎秒。每個(gè)部分16個(gè)命題浦妄。
第一部分研究相等關(guān)系，包括三邊相等的三角形见芹，兩個(gè)全等的三角形剂娄，相等的線段，有兩邊相等的三角形玄呛，分角為相等的兩部分阅懦，直線相交成相等的鄰角，等徘铝。
第二部分研究不等關(guān)系和平行關(guān)系耳胎， ≠ ，不等號(hào)是這樣的惕它，研究平行線時(shí)怕午，也是這樣的，用一條斜線交兩線淹魄。
第三部分研究等面積變換郁惜。
先從第三部分開始討論，然后第一部分甲锡，最后第二部分兆蕉。
因?yàn)榈谌糠郑鄬?duì)容易理解缤沦。
等冪變換
這部分的目標(biāo)：化任意多邊形為等面積的正方形虎韵。
內(nèi)容：從第三十三命題到第四十八命題。
因?yàn)檫@些命題缸废，大部分是夾在平行線之間的平行四邊形以及三角形劝术，只要預(yù)先假定
兩平行線之間，距離處處相等呆奕。
由于歐氏幾何獨(dú)特的性質(zhì)养晋，如圖，從S點(diǎn)向直線TV引垂線ST梁钾，這垂線必然也垂直于直線SU绳泉。因此，可以定義平行線之間的距離姆泻。
這些距離零酪，圖中ST,UV,WZ,等冒嫡，都相等。
有了這個(gè)假設(shè)四苇，則大部分命題比較容易理解孝凌。其實(shí)，這個(gè)命題也可以作為公設(shè)月腋，代替?zhèn)髡f中的第五公設(shè)蟀架。這個(gè)命題與第五公設(shè)是等價(jià)的。
有了第五公設(shè)榆骚，就有了平行線的性質(zhì)片拍，這個(gè)假設(shè)也就不是假設(shè)，而是可以證明的定理妓肢。
但書中似乎沒有出現(xiàn)“距離”這樣的字樣捌省。一直用線段度量線段，就是考慮線段與線段的比值碉钠。這一點(diǎn)纲缓，同《九章算術(shù)》明顯不同『胺希《九章》中祝高，（劉徽）在計(jì)算圓周率的時(shí)候，就使用了各種長度單位操禀；在《海島算經(jīng)》中褂策，各種長度單位的轉(zhuǎn)化更是繁復(fù)。
用單位颓屑，實(shí)際上也是規(guī)定了一個(gè)固定的線段斤寂。其它來與之比例。用阿基米德原理公理揪惦，才可能完成度量遍搞。
用比例，就避免了單位的轉(zhuǎn)化器腋。相同單位的兩個(gè)量一比溪猿，單位就消失了。更重要的原因是纫塌，繼承了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的傳統(tǒng)诊县，一定要找到線段和線段之間的“最大公約數(shù)”，就是“可公度量”措左。讓線段之間可以產(chǎn)生比依痊。
那個(gè)時(shí)候，對(duì)比就是除法怎披，就是分?jǐn)?shù)還沒有認(rèn)識(shí)胸嘁。這同無理數(shù)不能精確的用比例表示有關(guān)瓶摆。
無理數(shù)的危機(jī)是如何解決的，等我讀到那一章性宏，再了解群井。
因?yàn)楝F(xiàn)在倒著看這一章書，所以先假定有“距離”這概念毫胜。
下面有幾個(gè)命題书斜，都如“等底等高的三角形面積相等”之類，這些命題中“夾在平行線間”就意味著“等高”指蚁。
命題三十三 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形菩佑。
如圖自晰，只要有SV平行于TU凝化，而且SV=TU，那么這個(gè)四邊形就是平行四邊形酬荞。
一組對(duì)邊平行且相等搓劫，就能保證另一組對(duì)邊也如此。
證明用到三角形全等和平行線的性質(zhì)混巧。在下一個(gè)命題中有體現(xiàn)枪向。
命題三十四 平行四邊形對(duì)邊相等，對(duì)角相等咧党，對(duì)角線平分該四邊形秘蛔。
命題三十三平行四邊形的判定定理，命題三十四是性質(zhì)定理傍衡。利用平行線的性質(zhì)和三角形全等深员，容易證明。
命題三十五 同底且在二平行線之間的平行四邊形面積相等蛙埂。
這種四邊形可以看作下底不動(dòng)倦畅，上底在平行線上移動(dòng)，變化出的所有平行四邊形面積都相等绣的。一個(gè)特殊的位置叠赐，就是恰好為長方形的時(shí)候，面積值也一樣屡江，高與邊重合芭概。
命題三十六 等底且在二平行線之間的平行四邊形面積相等。
平行四邊形的高也可以不在形內(nèi)惩嘉。高也許真的比底要高罢洲。
你一定會(huì)奇怪，這么簡(jiǎn)單的事情為什么要說兩遍宏怔？現(xiàn)代說“等底等高的平行四邊形面積相等”不就解決了奏路？
因?yàn)槌胍菚r(shí)用幾何在運(yùn)算，并非用代數(shù)運(yùn)算「敕郏現(xiàn)代用代數(shù)運(yùn)算斜脂，一個(gè)公式
S=ah可表示平行四邊形的面積，另一個(gè)公式S=ah/2可以表示三角形的面積触机。
但那時(shí)帚戳，在歐幾里得之前，并沒有“平行四邊形是”這東西儡首，“平行四邊形”這種形狀本身就是歐幾里得發(fā)明的片任。
所以，我們不能苛求什么蔬胯。
命題三十七 同底且在二平行線之間的三角形面積相等对供。
命題三十八 等底且在二平行線之間的三角形面積相等。
同上面兩個(gè)命題一樣的道理氛濒。因?yàn)槊總€(gè)平行四邊形都可以剖分成全等的兩個(gè)三角形产场，所以，就成立舞竿。
用面積公式：
平行四邊形面積 = (底 乘以 高)
三角形面積 = (底 乘以 高) 除以 二
從圖形上看京景，等底的情形是更普遍的。兩個(gè)三角形可以平移骗奖，重合一邊确徙，就成了同底的情形。平行線的存在执桌，保證了鄙皇，絕對(duì)會(huì)等高。
命題三十九 同底等面積鼻吮，頂點(diǎn)位于底邊同側(cè)的三角形頂點(diǎn)連線平行于底邊育苟。
面積相等可以得出高相等，進(jìn)而得到平行的結(jié)論椎木。有了這個(gè)命題以后违柏，就可以省略那些步驟了。
省略一些會(huì)比較好香椎，因?yàn)橛械臅r(shí)候漱竖，證明過程中，你會(huì)忘記哪個(gè)命題是先有的畜伐，哪一個(gè)是后來才有的馍惹，容易有一些顛倒因果的做法。
并非所有的角度相等都是通過三角形全等來證明的。通過SAS直接得到一個(gè)角相等万矾，在希爾伯特體系中悼吱，是公理。然后才有SAS全等良狈。假如先用SAS證明了全等后添，然后說“因?yàn)槿龋阅衬辰窍嗟取毙蕉。褪穷嵉沽艘蚬?/p>
這種做法就好比做一個(gè)分解因式的題目遇西，本該提取公因式以繼續(xù)，卻用乘法分配律展開了严嗜，不知道在做什么粱檀，倒回去了。
命題四十 等底等面積漫玄，頂點(diǎn)位于底邊同側(cè)的三角形頂點(diǎn)連線平行于底邊茄蚯。
這兩個(gè)命題分別是命題三十七和命題三十八的逆命題〕平可以利用面積證明平行第队。也是平行判定的一種方法哮塞。
這種證明平行的方法刨秆，要求很嚴(yán)格：
第一，所有三角形的底邊共一條直線;
第二忆畅，所有三角形在平面上直線的同側(cè);
第三衡未，所以三角形面積相等;
第四，所有三角形底邊一樣長家凯。
因?yàn)橐筮@么嚴(yán)格缓醋，很少有機(jī)會(huì)同時(shí)滿足，所以绊诲，我記憶中沒有使用過送粱。
但看來很強(qiáng)大，不但可以證明平行掂之，如果結(jié)合Playfair公理抗俄，簡(jiǎn)直可以證明3點(diǎn)共線、4點(diǎn)共線直到100點(diǎn)共線世舰。
實(shí)際中也許不容易構(gòu)造這樣的三角形动雹。下一次遇到證明共線的題目，一定要嘗試一下構(gòu)造滿足上述四個(gè)條件的三角形跟压。
命題四十一 夾在平行線間的平行四邊形和三角形胰蝠，如果同底，則平行四邊形面積是三角形的兩倍。
這是為本書中為證明勾股定理專門做的鋪墊定理茸塞。
后面很少出現(xiàn)躲庄。
命題四十二 給定平行四邊形一角，可作平行四邊形面積等于已知三角形的面積钾虐。
這兩個(gè)命題就是：保證面積不變读跷，化三角形的平行四邊形的理論依據(jù)。
既然等底等高的平行四邊形面積是三角形的兩倍禾唁，那么效览，如果要把三角形化作面積相等的平行四邊形，只需要底邊折半荡短。
命題四十三 對(duì)角線兩邊的補(bǔ)形面積相等丐枉。
這里，定義了一種特殊的形狀掘托，叫“補(bǔ)形”瘦锹，就是從平行四邊形對(duì)角線上一點(diǎn)，引邊的平行線闪盔，得到對(duì)角線兩側(cè)的平行四邊形弯院。就是圖中有背景的兩個(gè)平行四邊形。通過全等的部分減去全等的部分證明：對(duì)角線AD分平行四邊形為全等的兩部分ABD和ACD泪掀，兩部分中听绳，沒有著色的三角形也分別相等，因此异赫，減去相等的部分以后椅挣，得到補(bǔ)形，仍然相等塔拳。
這個(gè)命題提供了一種方法鼠证，可把一個(gè)平行四邊形改裝成另一個(gè)，面積不變靠抑。
正是因?yàn)椤把a(bǔ)形”的存在量九，才需要畫圖的。不畫圖颂碧，實(shí)在是很難表達(dá)清楚荠列。
命題四十四 給定平行四邊形一角和一邊，可作平行四邊形面積等于已知三角形的面積稚伍。
這個(gè)命題合并了命題四十二和四十三的結(jié)果抛猫，可以作出指定一角和一邊的平行四邊形谜叹。如果指定這個(gè)角為直角，那么，就可以把三角形化為矩形。
先按照按照命題四十二的方法作給定角度的平行四邊形，等于已知三角形面積。然后，向上延長兩邊艳汽，延長的長度是給定的（紅色為延長的長度）。得到大平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)对雪。再作出圖中綠色的對(duì)角線河狐，對(duì)角線與下底所在直線有交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)作為大平行四邊形的第三個(gè)定點(diǎn)瑟捣。
最后作藍(lán)色平行線馋艺，確定大四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)。
同時(shí)迈套，作出了相等的補(bǔ)形捐祠。
命題四十五 給定平行四邊形一角，可以做平行四邊形面積等于已知多邊形桑李。
方法：先把多邊形沿著一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線踱蛀，割成一個(gè)一個(gè)的三角形，用上一個(gè)命題的方法贵白，可以作出給定一邊和一角的一個(gè)一個(gè)平行四邊形率拒。因?yàn)橄裙潭ㄒ贿吅鸵唤牵@些平行四邊形可以很好的拼接在一起禁荒，形成一個(gè)長長的平行四邊形猬膨。如果最初指定一角是直角，那么作出的是矩形圈浇。
至此寥掐，任意的多邊形都可以轉(zhuǎn)化為等面積的平行四邊形（或矩形）。
命題四十六 給定邊長磷蜀，可作正方形。
這個(gè)命題與上一個(gè)命題之間百炬，留下一些空白褐隆。那就是：作一個(gè)正方形，面積等于已知的長方形剖踊。這個(gè)空白將在第二卷的命題十四得到填補(bǔ)庶弃。
是第一命題的后續(xù)。
第一命題做正三角形德澈，這里做正方形歇攻，未來的章節(jié)還有正五邊形，正六邊形等梆造。也就是說缴守，能用尺規(guī)作圖做出的正多邊形，都會(huì)出現(xiàn)。
作正方形屡穗，僅僅只是為了延續(xù)“正多形序列”贴捡，展示幾何的美感，沒有別的意思村砂。作為尺規(guī)作圖能作出的正多邊形的一種烂斋，給人的感覺是方方正正。
命題四十七 勾股定理
將已知兩正方形合并為等面積的一個(gè)正方形础废。
這個(gè)就是壓軸的勾股定理汛骂。證明的時(shí)候用到了平行線的性質(zhì)，上面的各種面積相等评腺，以及簡(jiǎn)單的三角形全等SAS香缺。這個(gè)證明精妙絕倫。
如果把證明過程中用的圖歇僧，著上顏色图张，會(huì)像孔雀開屏。
先延長中間的白色直角三角形斜邊上的高诈悍，把下面的正方形分成黃色和藍(lán)色兩個(gè)部分祸轮。
然后，
黃色的部分用黃藥師代替侥钳，
藍(lán)色的部分用南帝代替适袜，
原來直角三角形肩膀上的兩個(gè)小正方形：
紅色的用洪七公代替，
灰色的用歐陽鋒代替舷夺。
比武的規(guī)則是：
黃藥師與藍(lán)帝聯(lián)手苦酱，對(duì)抗
紅七公與灰色的歐陽鋒聯(lián)手。
大宗師一般都不直接比武给猾，于是排出各自的弟子疫萤。
魯有腳的功夫正好是洪七公的五成。
梅超風(fēng)的功力也正好是黃藥師的五成敢伸。
梅超風(fēng)和魯有腳迫不及待的進(jìn)行了第一場(chǎng)比武扯饶，正好平手。
（這兩個(gè)三角形全等池颈，用SAS證明尾序。旋轉(zhuǎn)90度，剛好可以重合躯砰。)
這就從側(cè)面印證了每币，黃藥師和洪七公的功力一樣。
同時(shí)進(jìn)行的還有琢歇，第二場(chǎng)比武兰怠，由歐陽克代表歐陽鋒梦鉴，由武三通代表南帝：
這兩位的功力也恰好是各自師父的一半，這兩位也恰好打平手痕慢。印證了尚揣，南帝的功力和老毒物一樣。
兩場(chǎng)比武都是平手掖举，所以
黃藥師 + 南帝 = 洪七公 + 老毒物
因此快骗，在華山論劍中（在直角三角中），
黃藥師和南帝方陣（斜邊上的正方形面積）與
洪七公和老毒物葫蘆陣（兩直角邊上的正方形面積之和）
戰(zhàn)平（相等）塔次。
真實(shí)比武的場(chǎng)面是這樣的方篮。
有人說像風(fēng)車，有人說像孔雀開屏励负。
我從這里看到大宗師的手筆藕溅。
在直角三角形中，斜邊上的正方形面積等于兩直角邊上正方形面積之和继榆。
命題四十八 勾股定理逆定理
證明：略
用途：利用面積巾表，可以證明垂直。
第三部分全部內(nèi)容
整理如下
這部分的目標(biāo)是：化任意多邊形為等面積的正方形略吨。邏輯是順序推理的集币，只跳躍了“化長方形為正方形”的步驟。除了跳躍的一個(gè)步驟（跳躍的步驟在第二卷第十四命題得到補(bǔ)充）翠忠，所有任務(wù)都已完成鞠苟。
實(shí)際上，初一整整一個(gè)上學(xué)期的幾何秽之，內(nèi)容相當(dāng)于第一卷的四十八個(gè)命題当娱。
一方面，學(xué)習(xí)幾何語言考榨，諸如“取直線 l 外一點(diǎn)P”之類跨细；
一方面，學(xué)習(xí)證明的邏輯董虱，書寫的格式扼鞋，三段論和反證法；
還有一方面愤诱，就是不斷的練習(xí)，熟悉題目捐友，以應(yīng)對(duì)考試淫半。
計(jì)劃為這四十八個(gè)命題，各挑選一句古詩詞匣砖，來裝飾一下科吭。幾何的美太樸素昏滴，太單純。至少兩個(gè)命題共用一聯(lián)对人。
自寫的打油詩不美觀谣殊，但好記憶。下回分解牺弄。
