數(shù)據(jù)挖掘-支持向量機

支持向量機（support vector machine麻裁，SVM）是一種出色的分類技術(shù)，也可以用于回歸分析（SVR）嗤锉。這種技術(shù)可以很好的應(yīng)用于高維數(shù)據(jù)渔欢，避免維度災(zāi)難等問題。

SVM有一個特點就是使用訓練集中的一個子集來表示決策邊界档冬，該子集稱作支持向量膘茎。

最大邊緣超平面

SVM的核心目標是找到分類中的最大邊緣超平面，讓其作為決策邊界酷誓，那么什么是最大邊緣超平面呢披坏？

摘自周志華機器學習

可以看到，中間的這些直線把“+”和“-”分隔開來盐数，形成了兩類棒拂，這些直線就叫做超平面，它使得所有的“+”號在超平面的一側(cè)，所有的“-”號在另外一側(cè)帚屉，由于這些超平面都能完美的分隔+和-號的類別谜诫，所以誤差是0.

但是可以發(fā)現(xiàn)，這種超平面有無數(shù)多個（圖中就能看到有好多個）攻旦，如果有一些未知的點需要預(yù)測分類喻旷，那么他們可能未必會被這些超平面完美的分隔：

未知點

以最下側(cè)的超平面為例，如果我們有未知的點按照藍色排布牢屋，那么可以看到且预，最下側(cè)的這個超平面完全不能分類所有藍色點的“-”號，那么如果它作為決策邊界烙无，泛化能力就不是很好锋谐。

我們肯定要從這些超平面中選一個最合理的作為決策邊界，使得未知的點盡量的能被正確預(yù)測分類截酷，那么肯定是上圖中間的這個超平面最好了涮拗，我們目測就可以得到結(jié)果，因為它離兩邊這些點的距離圍成的面積應(yīng)該是最大的迂苛，而且兩邊的面積基本是差不多的三热。（個人理解）所以應(yīng)該能裝得下更多的未知點，也就能得到最好的泛化效果灾部。

為了不用肉眼觀測康铭，能量化的得到這個結(jié)果，我們可以定義最大邊緣超平面赌髓。
下圖中有兩個決策邊界从藤， $B_1$ 和 $B_2$ ，其中每個決策邊界都對應(yīng)著兩個超平面(記作 $b_{11}锁蠕、b_{12}夷野、b_{21}、b_{22}$ )荣倾。其中 $b_{11}悯搔、b_{12}$ 是由 $B_1$ 進行兩側(cè)平移，直到接觸到最近的一個訓練集的點停止舌仍，生成的妒貌，同理 $b_{21}、b_{22}$ 也是铸豁。
我們把兩個超平面（同一個決策邊界生成的）之間的距離叫做分類器的邊緣灌曙，那么下圖中，顯然 $B_1$ 生成的兩個超平面距離應(yīng)該是最大的节芥， $B_1$ 就叫做最大邊緣超平面（ $B_1$ 雖然是決策邊界在刺，但是決策邊界都是超平面）逆害。

通常來說，較大邊緣的超平面具有更好的泛化誤差蚣驼，如果邊緣比較小魄幕，那么決策邊界的輕微擾動都可能對分類產(chǎn)生顯著影響。

SVM算法的核心就是設(shè)計最大化決策邊界邊緣的分類器颖杏，以保證最壞情況下泛化誤差最小纯陨。

線性支持向量機

公式

假設(shè)有一個包含 $N$ 個訓練樣本的二元分類問題，每個樣本表示為一個二元組 $(\boldsymbol{x}_i, y_i) (i=1,2,3···输玷，N)$ , 其中 $\boldsymbol{x}_i = (x_{i1}, x_{i2}, ···, x_{id})^T$ 队丝，對應(yīng)于第i個樣本的屬性集（一個樣本有多個屬性/特征）,設(shè)y有-1和1兩個類別，則一個線性分類器的決策邊界可以寫成如下形式：
$\boldsymbol{w}·\boldsymbol{x} + b = 0$
其中的 $\boldsymbol{w}欲鹏，b$ 為參數(shù)， $\boldsymbol{w}$ 是法向量（垂直于決策邊界）的向量臭墨，代表著超平面的方向赔嚎，而 $b$ 代表超平面與原點之間的距離（可以用一次函數(shù)的公式來理解）。

為什么 $\boldsymbol{w}$ 一定會垂直于決策邊界呢胧弛？我們設(shè)有兩個點 $x_a, x_b$ 是決策邊界上的兩點尤误，那么有： $\boldsymbol{w}·x_a + b = 0$
$\boldsymbol{w}·x_b + b = 0$
二者相減有：
$\boldsymbol{w}·(x_b-x_a) = 0$
因為 $(x_b-x_a)$ 肯定是平行于決策邊界的，那么為了保證內(nèi)積為0结缚， $\boldsymbol{w}$ 肯定要垂直于決策邊界损晤。

注意圖中的w

根據(jù)以上的決策邊界，則肯定有：

在決策邊界上方的點肯定存在 $k>0$ 使得 $\boldsymbol{w}·x + b = k$ （上圖中的方塊點）
在決策邊界下方的點肯定存在 $k<0$ 使得 $\boldsymbol{w}·x + b = k$ （上圖中的圓形點）

如果上方的點是1類红竭，下方是-1類尤勋，則有：
$y = \begin{cases} 1, 如果\boldsymbol{w}·x + b > 0 \\ -1, 如果\boldsymbol{w}·x + b < 0 \\ \end{cases}$

如果我們能得到 $\boldsymbol{w}和b$ ，那么就可以用這個公式對未知點進行預(yù)測分類茵宪。代入公式最冰，如果 $\boldsymbol{w}·x + b > 0$ 就是1類，反之則為-1類稀火。

接下來我們的任務(wù)就是如何求這兩個參數(shù)暖哨，首先，既然是求最大邊緣超平面凰狞，我們要把決策邊界的邊緣算出來篇裁。

決策邊界的邊緣

根據(jù)上圖，考慮那些離決策邊界最近的方形和圓形赡若，我們可以得到兩個平行的超平面表示如下：
$\boldsymbol{w}·x_a + b = 1$
$\boldsymbol{w}·x_b + b = -1$
決策邊界的邊緣就是這兩個超平面的距離达布。
參考上圖的 $x_1，x_2$ 斩熊，不難得出邊緣 $d$ 為： $d = \frac{2}{||\boldsymbol{w}||}$
其中 ${||\boldsymbol{w}||}$ 是w的2范數(shù)往枣。

很顯然，我們想要讓這個 $d$ 最大辱姨，那么就要讓 ${||\boldsymbol{w}||}$ 最小无畔。

于是，接下來我們的求參數(shù)目標就明確了诸衔。

參數(shù)的確定

由于 ${||\boldsymbol{w}||}$ 肯定是非負的雕沉，我們可以改寫一下
$d = \frac{2}{||\boldsymbol{w}||}$ 這個式子集乔，讓它變成求 $\frac{{||\boldsymbol{w}||}^2}{2}$ 的最小值。

既然要求最小值坡椒，就需要有另外一個約束條件扰路，否則是沒辦法求的，我們來看之前總結(jié)的線性SVM分類器的公式：
由于 $\boldsymbol{w}·x_a + b = 1$ 和 $\boldsymbol{w}·x_a + b = -1$ 是決策邊界的兩個超平面倔叼，我們從上圖中可以看出汗唱，所有的點（除了這兩個超平面經(jīng)過的點以外，經(jīng)過的點是離決策邊界最近的點）丈攒，都肯定有 $\boldsymbol{w}·x_a + b >= 1$ 和 $\boldsymbol{w}·x_a + b <= -1$ 哩罪。

我們把y引入進來，那么這兩個式子就能合到一起寫為： $y(\boldsymbol{w}·x_a + b ) >= 1, i=1,2,···巡验，N$

注意不要和之前總結(jié)的公式中的 $\boldsymbol{w}·x_a + b = 0$ 弄混际插，那個條件是最終預(yù)測分類的公式，也就是表明只要在決策邊界的上方就可以進行分類显设，而現(xiàn)在的>=1是在已知訓練集的情況下求模型的參數(shù)框弛。

綜合以上的式子，我們可以得到求參數(shù)的基本式：
$min\frac{{||\boldsymbol{w}||}^2}{2}$
$受限于 y(\boldsymbol{w}·x_a + b ) >= 1, i=1,2,···捕捂，N$

目標函數(shù)是二次的瑟枫，而約束在參數(shù) $\boldsymbol{w}$ 和 $b$ 上是線性的，因此這是一個凸優(yōu)化問題绞蹦，不存在局部優(yōu)化的問題力奋。

求這一套公式的最小值，需要用到拉格朗日乘數(shù)法幽七，這個我也不是很明白景殷，就按照百度百科的定義往里套：

設(shè)給定二元函數(shù)z=?(x,y)和附加條件φ(x,y)=0，為尋找z=?(x,y)在附加條件下的極值點澡屡，先做拉格朗日函數(shù)

猿挚，其中λ為參數(shù)。
令F(x,y,λ)對x和y和λ的一階偏導數(shù)等于零驶鹉，即
F'_x=?'_x(x,y)+λφ'_x(x,y)=0^[1]
F'_y=?'_y(x,y)+λφ'_y(x,y)=0
F'_λ=φ(x,y)=0
由上述方程組解出x,y及λ绩蜻，如此求得的(x,y)，就是函數(shù)z=?(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點室埋。

雖然我們這里的附加條件是大于等于1的办绝，不過不妨改寫一下試試伊约，則有： $F(\boldsymbol{w}, b, \lambda_i) = {\frac{1}{2}}||\boldsymbol{w}||^2 - \sum_{i=1}^{N}\lambda_i(y_i(\boldsymbol{w}·\boldsymbol{x}_i + b) - 1)$

其中的 $\lambda_i$ 就是拉格朗日乘子，理論上來說孕蝉，拉格朗日乘子可以為任何值屡律。

如果約束條件是=0的話，我們就可以直接對 $\boldsymbol{w}$ 和 $b$ 求偏導數(shù)降淮，讓他們等于0超埋，就能求得參數(shù)。

但是目前條件并不是等于0的佳鳖，而是大于等于0的霍殴。

處理不等式約束一種方法就是變換成一組等式約束，根據(jù)KKT條件系吩，可以限制拉格朗日乘子飛赴来庭，把之前的約束變換為： $\lambda_i >= 0$
$\lambda_i[y_i(\boldsymbol{w}·\boldsymbol{x}_i + b) - 1] = 0$

該約束表明，除非訓練樣本滿足方程 $y_i(\boldsymbol{w}·\boldsymbol{x}_i + b) - 1 = 0$ 淑玫，否則拉格朗日乘子必須為0巾腕。

結(jié)合上面展示決策邊界和超平面的圖，我們可以想到絮蒿，滿足這個方程的樣本，肯定都在決策邊界生成的兩個超平面上叁鉴。這些樣本處的拉格朗日乘子肯定夠大于0土涝，而其他樣本的拉格朗日乘子，肯定等于0幌墓，因此問題得到簡化但壮。因為參數(shù)的確定僅依賴于這些在超平面上的樣本。

這些在超平面上的樣本常侣，被稱作支持向量蜡饵，這也就是支持向量機的命名緣由。

有了以上的修改后的約束胳施，我們可以在 $F(\boldsymbol{w}, b, \lambda_i) = {\frac{1}{2}}||\boldsymbol{w}||^2 - \sum_{i=1}^{N}\lambda_i(y_i(\boldsymbol{w}·\boldsymbol{x}_i + b) - 1)$ 對 $\boldsymbol{w}$ 和 $b$ 求偏導溯祸，并讓他們等于0.

$\frac{{\partial{F(\boldsymbol{w}, b, \lambda_i)}}}{\partial{\boldsymbol{w}}} = 0 \rightarrow \boldsymbol{w} = \sum_{i=1}^N\lambda_iy_i\boldsymbol{x}_i$

$\frac{\partial{F(\boldsymbol{w}, b, \lambda_i)}}{\partial{\boldsymbol}} = 0 \rightarrow \sum_{i=1}^N\lambda_iy_i = 0$

我們已知舞肆，這個時候的 $\boldsymbol{x}$ 和 $b$ 是有滿足條件的最優(yōu)解的焦辅，把這兩個式子代入原公式，就能得到 $F$ 的最小值（當然此時因為不知道拉格朗日乘子椿胯，我們是求不出來的）筷登，代入公式可得：
$L_D = \sum_{i=1}^N\lambda_i - \frac{{1}}{{2}}\sum_{i,j}\lambda_i\lambda_jy_iy_j\boldsymbol{x}_i\boldsymbol{x}_j$
該函數(shù)叫做對偶拉格朗日函數(shù)。

用這個函數(shù)哩盲，就是把之前求w和b的公式變換成了求拉格朗日乘子的公式前方，同時需要注意狈醉，這個式子中是求拉格朗日對偶函數(shù)的最大化問題。

我們可以用二次規(guī)劃法或者SMO方法來求拉格朗日乘子惠险。
二次規(guī)劃算法比較通用苗傅，但是計算量比較大，SMO算法的核心就是把復(fù)雜的式子變換成比較簡易的之后莺匠，用二次規(guī)劃來計算金吗。

SMO的基本思路是：先固定 $\lambda_i$ 之外的所有參數(shù)，然后求 $\lambda_i$ 上的極值趣竣，由于存在約束 $\sum_{i=1}^N \lambda_iy_i = 0$ 摇庙，如果固定了 $\lambda_i$ 之外的其他變量，則能求出 $\lambda_i$ 遥缕。
那么對偶函數(shù)里有兩個λ卫袒，我們就可以固定這兩個λ之外的參數(shù)，之后求解 $\lambda_i和\lmabda_j$ 单匣。
其中有一個λ不滿足KKT條件夕凝，則目標函數(shù)就會在迭代后減小，違背程度越大户秤，變量更新后導致的目標函數(shù)值就越大码秉。所以SMO先選取違背KKT條件最大的變量，第二個變量選擇使目標函數(shù)值見效最快的變量鸡号，使選取的兩個變量對應(yīng)樣本之間的間隔最大转砖。
然后可以變換為簡單的二次規(guī)劃問題： $\lambda_iy_i + \lambda_jy_j = c ，其中\(zhòng)lambda_i, \lambda_j >= 0$

找到一組λ后鲸伴，就可以用原公式求得 $\boldsymbol{w}和b$ 的解府蔗，決策邊界可以表示為： $(\sum_{i=1}^N\lambda_iy_i\boldsymbol{x}_i·\boldsymbol{x}) +b = 0$
之后b可以通過 $\lambda_i[y_i(\boldsymbol{w}·\boldsymbol{x}_i + b) - 1] = 0$ 求解。
因為λ通過數(shù)值計算得到汞窗，因此可能存在誤差姓赤，則b可能不唯一。通常我們可以用b的平均值作為決策邊界的參數(shù)仲吏。

例子

如圖所示不铆，這組數(shù)據(jù)集有兩個特征 $x_1,x_2$ 和一個 $y$ 標簽，我們要對其進行建模分類蜘矢，可以得到有兩個拉格朗日乘子（支持向量上的）狂男，其他的均為0.
我們可以得到 $\boldsymbol{w}和b$ 有：
$w_1 = \sum_i\lambda_i{y_i}x_{i1} = 65.5261 * 1 *0.3858 + 65.5261 * -1 * 0.4871 = -6.64$
$w_2 = \sum_i\lambda_i{y_i}x_{i2} = 65.5261 * 1 *0.4687 + 65.5261 * -1 * 0.611 = -9.32$

第一個 $w_1$ 是針對 $x_1$ 的參數(shù)，以此類推品腹。
有了 $\boldsymbol{w}$ 岖食，可以求得 $b$ 有：
$b^(1) = 1 - \boldsymbol{w}·\boldsymbol{x}_1 = 7.93$
$b^(2) = 1 - \boldsymbol{w}·\boldsymbol{x}_2 = 7.9289$
可以根據(jù)兩個b求平均值，得到b=7.93舞吭，因此就能得到分類的模型泡垃。

如果需要做預(yù)測析珊，把對應(yīng)點的x向量代入到模型中，求得結(jié)果為1的話蔑穴，就是方形類忠寻，其他為圓形類。

非線性支持向量機

上面討論的模型最終都會生成一條直線存和，也就是線性的模型奕剃，那么往往需要判斷非線性的如何處理呢，這里需要引入核函數(shù)的技術(shù)捐腿。

核函數(shù)

要把SVM應(yīng)用到非線性決策邊界的數(shù)據(jù)集上纵朋，就要把數(shù)據(jù)集從原來的坐標空間x變換到新的坐標空間中。
我們假定存在一個合適的函數(shù) $\Phi(x)$ 來變化給定的數(shù)據(jù)集茄袖，那么變換之后操软，我們就可以根據(jù) $\Phi(x)$ 來構(gòu)建線性決策邊界（類似于換元法，回憶一下）宪祥。變換之后聂薪，線性決策邊界具有以下的形式： $\boldsymbol{w}·\Phi(\boldsymbol{x}) + b = 0$
根據(jù)線性SVM的參數(shù)計算公式，我們把公式里面的 $\boldsymbol{x}$ 換成 $\Phi(\boldsymbol{x})$ 蝗羊，即可求解藏澳。
不過這種方式往往會涉及到向量對的點積，計算比較麻煩耀找，當特征數(shù)較多時笆载，可能會造成維度災(zāi)難的問題，因此我們要引入核函數(shù)涯呻。

核函數(shù)是一種使用原屬性集計算變換后的空間中的相似度的方法，簡而言之就是腻要，我們?nèi)绻凑丈弦欢握f的算法复罐，則我們需要先計算 $\Phi(\boldsymbol{x})$ ，然后再計算參數(shù)雄家，而我們運用核函數(shù)效诅，可以直接計算\boldsymbol{x}就可以達到變換屬性集的目的。
我們令 $K(u,v) = \Phi(u)·\Phi(v)$ 趟济，這樣就可以把映射的函數(shù)變成了原屬性集的計算乱投。 $K$ 就是核函數(shù)。

但是這個 $\Phi$ 一般我們是不知道的顷编，因此我們要找尋幾種通用的函數(shù)戚炫，讓他們可以實現(xiàn) $K$ 的功能，以便模擬非線性的決策邊界媳纬。

這里我們引入一個Mercer定理双肤，所有的核函數(shù)都必須滿足Mercer定理施掏。

Merver定理
任何半正定的函數(shù)都可以作為核函數(shù)。所謂半正定的函數(shù)f(xi,xj)茅糜，是指擁有訓練數(shù)據(jù)集合（x1,x2,...xn)七芭，我們定義一個矩陣的元素aij = f(xi,xj)，這個矩陣式n*n的蔑赘，如果這個矩陣是半正定的狸驳，那么f(xi,xj)就稱為半正定的函數(shù)。這個mercer定理是核函數(shù)必要條件.

通常有如下幾種核函數(shù)：

摘自周志華機器學習

應(yīng)用的時候缩赛，我們直接把核函數(shù)作為就可以了耙箍，也就是用代替。
另外需要注意峦筒，類似于高斯核函數(shù)這種帶參數(shù)的函數(shù)究西，需要調(diào)整參數(shù)來滿足不同的決策邊界形狀。

我們也可以通過核函數(shù)的組合來形成新的核函數(shù)：

如果 $k_1,k_2$ 為核函數(shù)物喷，那么對于任意正數(shù) * $\gamma_1,\gamma_2$ 卤材，有線性組合 $\gamma_1k_1 + \gamma_2k_2$ 也是核函數(shù)。

如果 $k_1,k_2$ 為核函數(shù)峦失，那么他們的直積也是核函數(shù)扇丛。

如果 $k_1$ 為核函數(shù)，則有任意函數(shù) $g(x)$

也為核函數(shù)尉辑。

軟邊緣

我們直到一般算法都要防止過擬合帆精，防止噪聲帶來的模型泛化能力下降，那么SVM的防止過擬合方法就是軟邊緣隧魄。

image.png

如圖卓练，可以看到，圖中有一些+類跑到了決策邊界的下方购啄，而有一些-類跑到了決策邊界的上方襟企，很明顯這些類是不滿足之前我們確定的約束的，在軟邊緣中狮含，我們允許這種情況發(fā)生顽悼。同時引入一個松弛變量來表明軟邊緣的幅度，則有：

其中就是松弛變量几迄。
很顯然蔚龙，這個變量的意義就是把下側(cè)的超平面向上移動，上側(cè)的向下移動映胁，也就是說代入了誤差估計木羹。
當然，不可能無限制的增加屿愚，那樣的話可能會包括太多錯誤樣本汇跨，我們可以把最開始的目標函數(shù)改寫务荆，不求的最小值，而是改寫成如下的式子：穷遂，其中C和k是指定的參數(shù)函匕，表示對誤分訓練實例的懲罰，一般來說蚪黑，k=1盅惜。
當C為無窮大時，公式迫使所有樣本滿足約束忌穿，而當C取有限值時抒寂，則允許部分樣本不滿足約束。
根據(jù)該公式掠剑，則我們可以改寫拉格朗日函數(shù)為：
其中屈芜，前面兩項是需要最小化的目標函數(shù)，第三項表示與松弛變量相關(guān)的不等式約束朴译，最后一項是要求的值非負的結(jié)果井佑。
其中均大于等于0，是拉格朗日乘子眠寿。

此外躬翁，根據(jù)KKT條件，可以變換約束如下： $\xi_i >= 0, \lambda_i >= 0, \mu_i >= 0$
$\lambda_i{y_i(\boldsymbol{w}·\boldsymbol{x}_i+ b) - 1 + \xi_i} = 0$
$\mu_i\xi_i = 0$
注意盯拱，上述三個式子中的 $\lambda_i$ 是非零的盒发，當且僅當訓練樣本位于直線 $\boldsymbol{w}·\boldsymbol{x}_i + b = \pm1$ 上或者 $\xi_i>0$ 。另外對于誤分類的訓練樣本狡逢， $\mu_i$ 都為0.

我們按照正常優(yōu)化的算法宁舰，對 $w$ , $b$ , $\xi$ 求偏導數(shù)，可以得到參數(shù)：
$w_j = \sum_{i=1}^N\lambda_iy_ix_{ij}$
$\sum_{i=1}^N\lambda_iy_i = 0$
$\lambda_i + \mu_i = C$

代入原公式奢浑，可以得到只包括拉格朗日乘子的對偶拉格朗日函數(shù)明吩。
$L_D = \sum_{i=1}^N\lambda_i - \frac{{1}}{{2}}\sum_{i,j}\lambda_i\lambda_jy_iy_j\boldsymbol{x}_i\boldsymbol{x}_j$
這個式子看上去跟不加軟邊緣的對偶函數(shù)是一樣的，但是約束是不同的殷费。
軟邊緣的對偶函數(shù)約束為 $0 <= \lambda_i <= C$

之后就可以用二次規(guī)劃或者SOM求參數(shù)值了，從而得到模型低葫。
這就是帶軟邊緣的SVM详羡。

多分類

以上提到的都是二元分類的辦法，那么多分類可以參考常用的多分類處理嘿悬，用一對一方法实柠，如果有多分類問題，我們可以分解為K（K-1）/2個二類分類器善涨，每一個分類器用來區(qū)分一對類 $（y_i,y_j）$ 窒盐。（注意這里的y都是單獨的類草则，不是一堆類別的集合）
當為 $（y_i,y_j）$ 構(gòu)建分類器時，其他不屬于這兩類的點都被忽略掉蟹漓。
之后針對需要預(yù)測分類的樣本炕横，我們用不同的分類器進行分類，最后進行投票葡粒，得到結(jié)果份殿。

以上就是SVM（用于分類的支持向量機）的內(nèi)容，最后看看該算法的特點：

特征

SVM是凸優(yōu)化問題嗽交，不存在局部最優(yōu)卿嘲，所以性能比較好。
SVM算法中夫壁，需要制定核函數(shù)類型拾枣，防止過擬合的話我們還需要一個C作為代價函數(shù)。
如果數(shù)據(jù)中存在分類的屬性值（離散化）盒让，可以考慮引入啞變量梅肤，將每個屬性值二元化。

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正文年R本政府宣布镶柱，位于F島的核電站婆硬，受9級特大地震影響，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏奸例。R本人自食惡果不足惜，卻給世界環(huán)境...
茶點故事閱讀 41,249評論 3贊 329
男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望查吊。院中可真熱鬧谐区，春花似錦、人聲如沸逻卖。這莊子的主人今日做“春日...
開封第一講書人閱讀 31,866評論 0贊 22
一樁弒父案，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽评也。三九已至炼杖，卻和暖如春，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間盗迟，已是汗流浹背坤邪。一陣腳步聲響...
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情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國打工，沒想到剛下飛機就差點兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留罚缕，地道東北人艇纺。一個月前我還...
沈念sama閱讀 48,063評論 3贊 370
代替公主和親
正文我出身青樓，卻偏偏與公主長得像邮弹，于是被迫代替她去往敵國和親黔衡。傳聞我的和親對象是個殘疾皇子，可洞房花燭夜當晚...
茶點故事閱讀 44,871評論 2贊 354